2025-2026学年上海市徐汇区紫竹园中学高一（上）期中数学试卷（含解析）

这是一份2025-2026学年上海市徐汇区紫竹园中学高一（上）期中数学试卷（含解析）试卷主要包含了填空题，选择，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．设是实数，集合，，若，则 ．
2．设全集，已知集合，则 ．
3．陈述句：“且”的否定形式是 ．
4．幂函数的图象经过点，则的值为 ．
5．设，，是的充分条件，则实数的取值范围是 ．
6．已知正实数、满足，则的最大值为 ．
7．已知一元二次不等式的解集为，则不等式的解集是 ．
8．设，则 ．
9．已知，则实数的取值范围为 ．
10．设集合，则 ．
11．设，若对任意，都有成立，则的取值范围为 ．
12．设集合，，，，若集合的所有非空子集的元素之和是40，则 ．
二、选择
13．如果，下列不等式成立的是（ ）
A．B．C．D．
14．下列函数中图像关于原点对称，并且在上严格递减的是（ ）
A．B．C．D．
15．已知，．则等于（ ）
A．B．C．D．
16．在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足，其中星等为的星的亮度为．已知太阳的星等是，天狼星的星等是，则太阳与天狼星的亮度的比值为（ ）
A．B．10.1C．D．
三、解答题
17．设，若，求实数的取值范围．
18．已知集合，集合．
（1）若，求；
（2）若，求实数的取值范围．
19．已知幂函数的定义域为．
（1）求实数的值；
（2）若不等式的解集是，，求的值．
20．高铁体现了中国装备制造业的水平，是一张亮丽的名片．已知甲、乙两个城市相距，假设高铁列车从甲地匀速行驶到乙地，速度不超过．高铁列车每小时运输成本（元由可变部分和固定部分组成，可变部分每小时运输成本与速度的平方成正比（其中比例系数为，固定部分每小时运输成本为10125元．
（1）写出全程运输成本（元关于速度的函数表达式，并指出函数的定义域；
（2）当高铁列车时速大约为多少时，全程运输成本（元最小．
21．（1）解不等式：；
（2）设集合表示不等式对任意恒成立的的集合，求集合；
（3）设关于的不等式的解集为，试探究是否存在，使得不等式．与的解都属于，若不存在，说明理由．若存在，请求出满足条件的的所有值．
参考答案
一、填空题
1．设是实数，集合，，若，则 ．
解：因为集合，，若，
则，解得．
故答案为：．
2．设全集，已知集合，则 ．
解：全集，集合，
．
故答案为：．
3．陈述句：“且”的否定形式是或 ．
解：陈述句：“且”的否定形式是：或．
故答案为：或．
4．幂函数的图象经过点，则的值为 ．
解：设幂函数，
其函数图象经过点，
，
解得，
；
．
故答案为：．
5．设，，是的充分条件，则实数的取值范围是 ， ．
解：，，
若是的充分条件，则．
实数的取值范围是，．
故答案为：，．
6．已知正实数、满足，则的最大值为 ．
解：因为正实数、满足，所以，
当且仅当，即时，取到最大值．
故答案为：．
7．已知一元二次不等式的解集为，则不等式的解集是 ．
解：由一元二次不等式的解集为，知方程的两根为2和3．
由根与系数的关系，得，，故．
将，代入不等式，得，
因式分解得，其对应方程的根为和，解得或，
所以不等式的解集为．
故答案为：．
8．设，则 1 ．
解：，，，．
故答案为1．
9．已知，则实数的取值范围为 ．
解：当，时，即时，
，原等式成立；
当，时，即时，
，解得，此时时原等式成立；
当，时，即时，
，解得，此时时原等式成立；
当，时，此时无解；
综上，．
故答案为：．
10．设集合，则 ．
解：集合，
，，
．
故答案为：．
11．设，若对任意，都有成立，则的取值范围为 ， ．
解：由恒成立，可得恒成立，
当时，恒成立；
当，的图象为开口向下的抛物线，不可能恒成立；
当时，只需△，即，解得，
综上可得，的取值范围是，．
故答案为：，．
12．设集合，，，，若集合的所有非空子集的元素之和是40，则 5 ．
解：设集合，，，，
由一个集合中有个元素，则它有个子集，非空子集有个可得：
含有元素的集合有个，
含有元素的集合有个，
含有元素的集合有个，
含有元素的集合有个，
若集合的所有非空子集的元素之和是40，
则集合的所有元素和为，
则；
故答案为：5．
二、选择
13．如果，下列不等式成立的是（ ）
A．B．C．D．
解：当，时，满足，但，，，，，错误，
对于：由于，所以，正确．
故选：．
14．下列函数中图像关于原点对称，并且在上严格递减的是（ ）
A．B．C．D．
解：对于，，是偶函数，不符合题意；
对于，，其定义域为，，其图象不关于原点对称，不符合题意；
对于，，是奇函数，图像关于原点对称，在上递增，不符合题意；
对于，，是奇函数，图像关于原点对称，在上递减，符合题意．
故选：．
15．已知，．则等于（ ）
A．B．C．D．
解：，，又，联立解得．
．
故选：．
16．在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足，其中星等为的星的亮度为．已知太阳的星等是，天狼星的星等是，则太阳与天狼星的亮度的比值为（ ）
A．B．10.1C．D．
解：由题意得两颗星的星等与亮度满足，
令，，
则，
故选：．
三、解答题
17．设，若，求实数的取值范围．
解：，，
，即．
求得或，
可得实数的范围为，，．
18．已知集合，集合．
（1）若，求；
（2）若，求实数的取值范围．
解：由，解得，即集合，
（1）当时，集合，
；
（2）当时，，则满足题意，
当时，，
，，解得，
综上所述，实数的取值范围为，．
19．已知幂函数的定义域为．
（1）求实数的值；
（2）若不等式的解集是，，求的值．
解：（1）函数为幂函数，
，，或，
定义域为，．
（2）由（1）得，
不等式的解集是，
的解集是，，
，，．
20．高铁体现了中国装备制造业的水平，是一张亮丽的名片．已知甲、乙两个城市相距，假设高铁列车从甲地匀速行驶到乙地，速度不超过．高铁列车每小时运输成本（元由可变部分和固定部分组成，可变部分每小时运输成本与速度的平方成正比（其中比例系数为，固定部分每小时运输成本为10125元．
（1）写出全程运输成本（元关于速度的函数表达式，并指出函数的定义域；
（2）当高铁列车时速大约为多少时，全程运输成本（元最小．
【解答】（1）解：由题意得：高铁行驶的时间为小时，每小时的运输成本为元，
所以全程运输成本（元关于速度的函数表达式为：，函数的定义域，；
（2），当且仅当，即时，等号成立，
所以当高铁列车时速大约时，全程运输成本（元最小．
21．（1）解不等式：；
（2）设集合表示不等式对任意恒成立的的集合，求集合；
（3）设关于的不等式的解集为，试探究是否存在，使得不等式．与的解都属于，若不存在，说明理由．若存在，请求出满足条件的的所有值．
解：（1）设，
当时，，符合题意，
当时，，解得，
故，
当时，，无解，
综上所述，的解集为．
（2）根据三角不等式可得，，
不等式对任意恒成立，
，解得或，
故集合或．
（3）由可得，，由可得，，
故，
若，，解得，符合题意，
若，设，
，，
，即，解得或2，
综上所述，或或．