2023-2024学年上海市浦东新区华东师大二附中高一（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年上海市浦东新区华东师大二附中高一（下）期中数学试卷（含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.设θ∈R，则“θ=π6，是“sinθ=12”的( )
A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
2.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2+c2−b2=ac，ac=4，则AB⋅BC=( )
A. 3B. − 3C. 2D. −2
3.若平面单位向量a1，a2，…，an，满足对任意的1≤iA. 3B. 4C. 5D. 6
4.已知函数f(x)=csx+1x的定义域为(0,+∞)，将f(x)的所有零点按照由小到大的顺序排列，记为：x1，x2，…，xn…，对于正整数n有如下两个命题：
甲：(n−1)π乙：|xn−(2n−1)π2|>|xn+1−(2n+1)π2|恒成立，则( )
A. 甲正确，乙正确B. 甲正确，乙错误C. 甲错误，乙正确D. 甲错误，乙错误
二、填空题：本题共12小题，共54分。
5.若角α的终边经过点P(1,−2)，则tanα=______．
6.满足等式sinx=−14,π7.化简：cs(π−α)sin(π2+α)⋅sin(3π2−α)cs(π+α)⋅ct(2π+α)tan(α−π2)= ______．
8.若α为第二象限角，sinα=cs2α，则sinα= ______．
9.已知m=(2,λ)，n=(−1,2)，若(m+3n)⊥n，则λ= ______．
10.已知a=(1,2),b=(3,4)，则a在b方向上的投影向量的坐标为______．
11.已知α−β=π3，csα+csβ=15，则csα+β2= ______．
12.如图，正方形ABCD的边长为6，E是AB的中点，F是BC边上靠近点B的三等分点，AF与DE交于M，则cs∠EMF= ______．
13.若将函数y=sin(2x+φ)(0<φ<π)向右平移π6个单位后其图像关于y轴对称，则φ= ______．
14.函数y=tan(π4x−π2)的部分图象如图所示，则OA⋅AB= ______．
15.平面内互不重合的点A1、A2、A3、B1、B2、B3、B4，若|A1Bi+A2Bi+A3Bi|=i，其中i=1，2，3，4，则|B1B2|+|B2B3|+|B3B4|的最大值与最小值之和为______．
16.设a为常数，函数f(x)=2cs2x−asinx−1在区间(0,nπ)上恰有2024个零点，求所有可能的正整数n的值组成的集合为______．
三、解答题：本题共5小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题14分)
已知平面向量a=(1,2),b=(3,−2),c=a+3b,d=ka+b．
(1)若c/​/d，求k的值；
(2)若c与d的夹角为锐角，求k的取值范围．
18.(本小题14分)
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，b= 6，B=π3．
(1)若a=2，求sinA的值；
(2)△ABC的面积等于 3，求a的值．
19.(本小题14分)
如图所示，ABCD是一声边长为100米的正方形地皮，其中ATPS是一半径为90米的扇形草地，P是弧TS上一点，其余部分都是空地，现开发商想在空地上建造一个有两边分别落在BC和CD上的长方形停车场PQCR．
(1)设∠PAB=α，长方形PQCR的面积为S，试建立S关于α的函数关系式；
(2)当α为多少时，S最大，并求最大值．
20.(本小题18分)
已知函数f(x)=lg12(2sinx+1)−3．
(1)求f(x)的定义域；
(2)若x∈[0,π6]，求f(x)的值域；
(3)设a∈R，函数g(x)=x2−3a2x−2a，x∈[0,1]，若对于任意x1∈[0,π6]，总存在唯一的x0∈[0,1]，使得g(x0)=f(x1)成立，求a的取值范围．
21.(本小题18分)
已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π)，f(x)图像上相邻的最高点与最低点的横坐标相差π2，x=−π3是f(x)的一条对称轴，且f(π6)>f(1)．
(1)求f(x)的解析式；
(2)将函数f(x)的图像向右平移π12个单位得到函数t(x)的图像，若存在x1，x2，…，xm满足0≤x1(3)令h(x)=f(x)−cs2x，g(x)=h[h(x)]，若存在x∈[π12,π3]使得g2(x)+(2−a)g(x)+3−a≤0成立，求实数a的取值范围．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】【分析】
根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可．
本题考查了充分条件和必要条件的判定，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
【解答】
解：设θ∈R，若“θ=π6时，则“sinθ=sinπ6=12”，
故“θ=π6，能推出“sinθ=12”，
若“sinθ=12”则“θ=π6+2kπ，k∈Z，或θ=5π6+2kπ，k∈Z；
故：“sinθ=12”不能推出“θ=π6，
由充分条件和必要条件的定义可判断：θ∈R，“θ=π6，是“sinθ=12”的充分不必要条件，
故选：B．
2.【答案】D
【解析】解：由余弦定理得csB=a2+c2−b22ac=12，
又因为B∈(0,π)，
所以B=π3，
故AB⋅BC=accs(π−B)=−2．
故选：D．
根据余弦定理可得B=π3，进而根据数量积的定义即可求解．
本题考查了余弦定理，重点考查了数量积的定义，属基础题．
3.【答案】C
【解析】解：依题意，设单位向量ai，aj的夹角为θ，
由ai⋅aj<12，得ai⋅aj=|ai||aj|csθ=csθ<12，
则π3<θ≤π，
得正整数n的最大值为2ππ3−1=5．
故选：C．
先求出θ取值范围，求出θ的最小值，再利用向量夹角的范围构造关于n的不等式求解．
本题考查平面向量的数量积的计算，夹角公式以及学生的逻辑推理能力，属于中档题．
4.【答案】A
【解析】解：函数f(x)的零点，即为函数y=csx与函数y=−1x图像在(0,+∞)交点的横坐标．
又注意到x∈(0,+∞)时，−1x<0，k∈N时，cs(π+2kπ)=−1<1π+2kπ，k∈N*，
当x∈(0,π2)∪(−π2+2kπ,π2+2kπ)时，csx>0．
据此可将两函数图像画在同一坐标系中，如下图所示．
甲命题，注意到k∈N时，f(π2+2kπ)=1π2+2kπ>0，
当n=2k，k∈N*，xn∈((n−1)π,(n−12)π)⊆((n−1)π,nπ).故甲正确；
乙命题，|xn−(2n−1)π2|表示两点(xn,0)与((n−12)π,0)间距离，
由图像可知，随着n的增大，两点间距离越来越近，即|xn−(2n−1)π2|>|xn+1−(2n+1)π2|恒成立．故乙命题正确．
故选：A．
直接利用函数的定义域画出函数y=csx和函数y=1x的图象，最后判断甲和乙的结论．
本题考查的知识点：函数的图象和性质，函数的零点和方程的根的转换，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
5.【答案】−2
【解析】解：∵角α的终边经过点P(1,−2)，
∴tanα=−21=−2．
故答案为：−2．
由三角函数的定义，tanα=yx，求出值即可
本题考查三角函数的定义tanα=yx，利用公式求值题．
6.【答案】π+arcsin14
【解析】解：当π由sinx=−14，得sin(π−x)=−14，
则π−x=arcsin(−14)=−arcsin14，
因此x=π+arcsin14，
所以所求方程的解为π+arcsin14．
故答案为：π+arcsin14．
根据给定条件，利用反三角函数求出x即得．
本题主要考查了反三角函数的应用，属于基础题．
7.【答案】1
【解析】解：cs(π−α)sin(π2+α)⋅sin(3π2−α)cs(π+α)⋅ct(2π+α)tan(α−π2)=−csαcsα⋅−csα−csα⋅ctα−ctα=1，
故答案为：1．
由条件利用诱导公式进行化简所给的式子，可得结果．
本题主要考查诱导公式的应用，属于基础题．
8.【答案】12
【解析】解：∵sinα=cs2α，
∴sinα=1−2sin2α，解得sinα=12或sinα=−1，
∵α为第二象限角，
∴sinα=12．
故答案为：12．
利用二倍角的余弦公式得到关于sinα的方程，解得即可．
本题主要考查了二倍角的余弦公式在三角函数求值中的应用，属于基础题．
9.【答案】−132
【解析】解：由题意得，m+3n=(−1,λ+6)，
∵(m+3n)⊥n，
∴1+2λ+12=0，解得λ=−132．
故答案为：−132．
利用向量垂直的坐标运算，求λ的值．
本题主要考查向量垂直的性质，属于基础题．
10.【答案】(3325,4425)
【解析】解：a=(1,2),b=(3,4)，
则a⋅b=3+8=11，|b|= 32+42=5，
故a在b方向上的投影向量的坐标为a⋅b|b|×b|b|=1125(3,4)=(3325,4425)．
故答案为：(3325,4425)．
根据已知条件，结合投影向量的公式，即可求解．
本题主要考查投影向量的公式，属于基础题．
11.【答案】 315
【解析】解：∵α−β=π3，csα+csβ=2csα+β2csα−β2=2csα+β2⋅csπ6=15，
∴csα+β2= 315，
故答案为： 315．
由条件利用和差化积公式求得csα+β2的值．
本题主要考查和差化积公式的应用，属于基础题．
12.【答案】 210
【解析】解：如图所示，建立以点A为原点的平面直角坐标系，
则D(0,6)，E(3,0)，A(0,0)，F(6,2)，
∴DE=(3,−6)，AF=(6,2)，
由于∠EMF就是DE，AF的夹角，
∴cs∠EMF=18−12 9+36⋅ 36+4= 210.，
∴∠EMF的余弦值为 210．
故答案为： 210．
如图所示，建立以点A为原点的平面直角坐标系，∠EMF就是DE，AF的夹角，利用向量的夹角公式求解
本题考查向量数量积的应用，属于中档题．
13.【答案】5π6
【解析】解：函数y=sin(2x+φ)(0<φ<π)向右平移π6个单位后，
得到函数y=sin[2(x−π6)+φ]=sin(2x−π3+φ)的图像，
此时函数图像关于y轴对称，则−π3+φ=π2+kπ，k∈Z，
即φ=5π6+kπ，k∈Z，
又0<φ<π，所以k=0时，φ=5π6．
故答案为：5π6．
根据三角函数的图像变换及三角函数的性质求解即可．
本题考查三角函数图像的变换及三角函数的性质，属于基础题．
14.【答案】6
【解析】解：由函数y=tan(π4x−π2)的部分图象(如图所示)知：
设A(xA,0)，B(xB,1)，则π4xA−π2=ππ4xB−π2=π+π4，
解得xA=6，xB=7，
∴A(6,0)，B(7,1)，
OA=(6,0)，AB=(1,1)，
∴OA⋅AB=6．
故答案为：6．
设A(xA,0)，B(xB,1)，则π4xA−π2=ππ4xB−π2=π+π4，求出A(6,0)，B(7,1)，从而OA=(6,0)，AB=(1,1)，由此能求出OA⋅AB．
本题考查向量的数量积的求法，涉及到正切函数的图象与性质、向量数量积公式等基础知识，考查运算求解能力等核心素养，是基础题．
15.【答案】6
【解析】解：设G为△A1A2A3的重心，则A1Bi+A2Bi+A3Bi=A1G+GBi+A2G+GBi+A3G+GBi=3GBi，
因为|A1Bi+A2Bi+A3Bi|=i，所以|GBi|=i3=ri，即Bi在以点G为圆心，ri=i3为半径的圆上，
不妨设点G与坐标原点重合，作出半径分别为13，23，1，43的同心圆，如图所示，
则|B1B2|+|B2B3|+|B3B4|≤r4−r1=43−1=1，当且仅当B1，B2，B3都在线段OB4上，等号成立，
而|B1B2|+|B2B3|+|B3B4|≤(r1+r2)+(r2+r3)+(r3+r4)=13+2×23+2×1+43=5，
当且仅当B1，O，B2在线段B3B4上，且B1在线段OB3上，B2在线段OB4上时，等号成立．
综上所述，|B1B2|+|B2B3|+|B3B4|的最大值与最小值之和为5+1=6．
故答案为：6．
根据三角形重心的性质，推导出|GBi|=i3=ri，可知点Bi在以点G为圆心、ri=i3为半径的圆上面，然后根据向量加减法的几何意义与三角形的性质，算出|B1B2|+|B2B3|+|B3B4|的最大值与最小值，可得答案．
本题主要考查三角形重心的性质、向量的加法则、向量的模及其性质，考查了图形的理解能力，属于中档题．
16.【答案】{1012,1349,2023,2024,2025}
【解析】解：由题意f(x)=2cs2x−asinx−1=−2sin2x−asinx+1，令t=sinx，t∈[−1,1]，
所以f(t)=−2t2−at+1，Δ=a2+8>0，所以f(−1)=−1+a，f(0)=1，f(1)=−a−1，
记f(t)=−2t2−at+1的两零点为t1<0，t2>0，
当t1=−1，即a=1时，得t2=12，f(x)在(0,2kπ)(k为正整数)内零点个数为3k，
在(0,(2k+1)π)内零点个数为3k+2，因为2024=3×674+2，所以n=674×2+1=1349；
当t2=1，即a=−1时，t1=−12，f(x)在(0,2kπ)(k为正整数)内零点个数为3k，
在(0,(2k+1)π)内零点个数为3k+1，此时不存在n；
当a>1，则t1<−1，0所以n=2023或2024；
当−1所以n=k=1012；
当a<−1时，则−11，f(x)在(0,2kπ)和(0,(2k+1)π)(k为正整数)内零点个数均为2k，
因为2024=2×1012，所以n=2024或2025；
综上n的所有可能值为1012，1349，2023，2024，2025．
转化为二次函数，分情况讨论n的取值情况．
本题考查函数的零点与方程的根之间的关系，属于难题．
17.【答案】解：(1)因为a=(1,2),b=(3,−2),c=a+3b,d=ka+b，
所以c=(10,−4)，d=(k+3,2k−2)，
又因为c/​/d，
所以k+310=2k−2−4，解得k=13．
(2)因为c=(10,−4)，d=(k+3,2k−2)，
所以c⋅d=10(k+3)−4(2k−2)=2k+38，
因为c与d的夹角为锐角，
所以c⋅d>0，且夹角不为0．
当c⋅d>0时，2k+38>0，解得k>−19；
当c与d的夹角为0时，k+310=2k−2−4k+3>0，解得k=13，
故c与d的夹角不为0时，k≠13；
综上可得：k的取值范围是(−19,13)∪(13,+∞)．
【解析】(1)先计算出向量c，d，再根据向量平行列出方程求解即可．
(2)先根据c与d的夹角为锐角得出c⋅d>0，且夹角不为0，再分别求出c⋅d>0和夹角不为0时k的取值范围即可．
本题主要考查了向量平行及向量数量积的性质的坐标表示，属于中档题．
18.【答案】解：(1)在△ABC中，b= 6，B=π3，a=2，
由正弦定理asinA=bsinB，得sinA=asinBb=2× 32 6= 22，
所以sinA的值是 22；
(2)因为由△ABC的面积等于 3，得S△ABC=12acsinB= 34ac= 3，
解得ac=4，
由余弦定理b2=a2+c2−2accsB，得a2+c2−ac=6，即a2+c2=10，
解得a=2 2,c= 2或a= 2,c=2 2，
所以a= 2或a=2 2．
【解析】(1)根据给定条件，利用正弦定理求解即得sinA的值；
(2)利用三角形面积公式、余弦定理列出方程组求解即得．
本题主要考查了正弦定理，余弦定理以及三角形的面积公式在解三角形中的应用，属于基础题．
19.【答案】解：(1)延长RP交AB于M，设∠PAB=α(0°<α<90°)，
则AM=90csα，MP=90sinα，
PQ=100−90csα，PR=100−90sinα．
∴SPQCR=PQ⋅PR=(100−90csα)(100−90sinα)
=10000−9000(csα+sinα)+8100csαsinα，{θ|0≤α≤π2}.
(2)设t=csα+sinα，
∵0°≤α≤90°，知t∈[1, 2]，csαsinα=t2−12，
∴SPQCR=10000−9000t+8100×t2−12=4050(t−109)2+950．
∴当t= 2时，SPQCR有最大值14050−9000 2．
答：长方形停车场PQCR面积的最大值为14050−9000 2平方米．
【解析】(1)延长RP交AB于M，设∠PAB=α(0°<α<90°)，则AM=90csα，MP=90sinα，PQ=100−csα，PR=100−90sinα.由SPQCR=PQ⋅PR能求出四边形RPQC的面积S关于α的函数表达式，并能写出定义域．
(2)设t=csα+sinα.由0°≤α≤90°，知t∈[1, 2]，csαsinα=t2−22，由此能求出停车场面积的最大值．
本题考查函数在生产实际中的具体运用，解题时要认真审题，仔细解答，注意分析数量间的相互关系，合理地建立方程．易错点是忽视数学表达式在生产实际中的定义域的范围．
20.【答案】解：(1)令2sinx+1>0，解得sinx>−12，
解得2kπ−π6所以函数的定义域为(2kπ−π6,2kπ+7π6)，k∈Z；
(2)当x∈[0,π6]时，2sinx+1∈[1,2]，
所以f(x)=lg12(2sinx+1)−3∈[−4,−3]，
故函数的值域为[−4,−3]；
(3)g(x)=x2−3a2x−2a，x∈[0,1]，对称轴为x=3a22，
当3a22∈[0,1]，即− 63≤a≤ 63时，
要满足题意，只需g(0)=−2a<−4g(1)=1−3a2−2a≥−3，或g(1)=1−3a2−2a<−4g(0)=−2a≥−3
解得a无解，
当3a22>1，即a> 63或a<− 63时，
要满足题意只需：g(0)=−2a≥−3g(1)=1−3a2−2a≤−4,
解得a≤−53或1≤a≤32，
综上，满足题意是实数a的取值范围为(−∞,−53]∪[1,32].
【解析】本题考查了对数型的函数的性质，涉及到三角函数以及二次函数的性质，考查了学生的运算转化能力．
(1)令2sinx+1>0，解不等式即可求解；
(2)根据函数的定义域以及正弦函数的性质即可求解；
(3)对函数g(x)的对称轴讨论，再利用已知条件建立不等式关系，解不等式即可求解．
21.【答案】解：(1)由题意，周期T=2×π2=π，故ω=2ππ=2,f(x)=sin(2x+φ)，
且2×(−π3)+φ=π2+kπ(k∈Z)，即φ=7π6+kπ(k∈Z)，
因为|φ|<π，故φ=7π6−π=π6或φ=7π6−2π=−5π6，
故f(x)=sin(2x+π6)或f(x)=sin(2x−5π6).当f(x)=sin(2x+π6)时，f(π6)=sin(2×π6+π6)=1,f(1)=sin(2+π6)<1，
故f(x)=sin(2x+π6)成立；当f(x)=sin(2x−5π6)时，
f(π6)=sin(2×π6−5π6)=−1,f(1)=sin(2−5π6)>−1.综上有f(x)=sin(2x+π6)；
(2)由题意，t(x)=sin[2(x−π12)+π6]=sin2x，根据题意，要使m的值尽量小，
则|t(xm−1)−t(xm)|要尽量大．又|t(xm−1)−t(xm)|≤2，
结合t(x)=sin2x的图象可得，当x1=0,x2=π4,x3=3π4,x4=5π4,x5=7π4,x6=9π4,x7=11π4，
x8=13π4,x9=15π4,x10=17π4,x11=19π4,x12=5π时，
m的取值最小为12，
(3)由(1)f(x)=2sin(2x+π6)，
所以h(x)=f(x)−cs2x=sin(2x+π6)−cs2x= 32sin2x+12cs2x−cs2x= 32sin2x−12cs2x=sin(2x−π6)，
当x∈[π12,π3]时，0≤2x−π6≤π2，
∴0≤h(x)≤1，所以，−π6≤2h(x)−π6≤2−π6，
所以，g(x)=h[h(x)]=sin[2h(x)−π6]∈[−12,sin(2−π6)]，
∴g(x)+1∈[12,1+sin(2−π6)]，
∵π2<2<2π3，∴π3<2−π6<π2，则 32由g2(x)+(2−a)g(x)+3−a≤0，可得g2(x)+2g(x)+3≤a[g(x)+1]，
所以，a≥g2(x)+2g(x)+3g(x)+1=[g(x)+1]2+2g(x)+1=g(x)+1+2g(x)+1，
由基本不等式可得g(x)+1+2g(x)+1≥2 [g(x)+1]⋅2g(x)+1=2 2，
当且仅当g(x)+1= 2∈[12,1+sin(2−π6)]时，等号成立，
所以，a≥2 2.即a∈[2 2,+∞)．
【解析】(1)根据题意可得周期，代入x=−π3可得φ=π6或φ=−5π6，再分别代入f(x)判断是否满足f(π6)>f(1)即可；
(2)先求得t(x)=sin2x，再数形结合分析xm满足的条件求解即可
(3)化简可得h(x)=sin(2x−π6)，根据x∈[π12,π3]可得g(x)的解析式与值域，再参变分离得到a≥g(x)+1+2g(x)+1
结合基本不等式求解即可
本题考查利用导数研究函数的极值，考查学生的综合能力，属于难题．