2025-2026学年上海市华东师大二附中高一（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2025-2026学年上海市华东师大二附中高一（上）期末数学试卷（含解析）试卷主要包含了填空题.，选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．已知全集，4，6，8，，集合，6，，则 ．
2．已知，则是第 象限角．
3．已知、是方程的两个根，则 ．
4．函数的定义域为 ．
5．已知，则 ．
6．已知集合，14，，，．若，则实数 ．
7．若，，则表达式的最大值为 ．
8．已知，，函数的定义域为，且是偶函数，则的值是 ．
9．若存在实数使成立，则实数的取值范围是 ．
10．设，集合，，若，则符合条件的实数组成的集合为 ．
11．已知，且．若，则的最小值为 ．
12．在某人工智能图像处理系统中，原始图像尺寸经过函数变换为目标尺寸；同时系统存在一个逆向变换函数，能将目标尺寸还原为原始尺寸．在某次测试中，系统日志记录了三个尺寸对：，，．若每个尺寸对可能来自正向变换（原始尺寸目标尺寸）或逆向变换（目标尺寸原始尺寸），则的最小值为 ．
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13~14题每题4分，第15~16题每题5分）
13．下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（ ）
A．B．C．D．
14．若扇形的半径为2，圆心角为，关于弧长与扇形面积正确的结果为．
A．B．C．D．
15．若，，则“”是“”的条件．
A．充要B．充分非必要
C．必要非充分D．既不必要也不充分
16．对于定义域为的函数，记，，．若任取，，都有，，则称为“晨晖函数”．判断下列两个命题：命题①：“晨晖函数”一定是奇函数；命题②：存在“晨晖函数” ，使得．则下面说法正确的是（ ）
A．命题①正确，命题②正确B．命题①错误，命题②正确
C．命题①正确，命题②错误D．命题①错误，命题②错误
三、解答题（本大题共有5题，满分78分）
17．（1）若角的终边经过点，，求的值；
（2）已知，且为第二象限角，分别求和的值．
18．若，，，．
（1）若，求；
（2）若，求实数的取值范围．
19．可知．
（1）求的值；
（2）求的值．
20．（17分）已知．
（1）若，求函数的定义域；
（2）当时，解关于的不等式；
（3）若关于的方程的解集恰有一个元素，求的取值范围．
21．（17分）在人工智能领域，神经网络被广泛应用于图像识别、语音识别等任务．为了让神经网络能在计算能力有限的设备上运行，工程师们使用“量化“技术．量化就是将神经网络中的浮点数（小数）转换为整数，这样计算更快、更省电．考虑一个简单的量化神经网络，它只有一个输入和一个输出．输入是经过标准化处理的有理数，输出是整数．我们用函数来表示这个过程：输入一个有理数，经过量化网络后输出整数．
对于定义域为的函数，若对任意，，当时，都有，则称在上单调递增；若对任意，，当时，都有，则称在上单调递减．
（1）设其中表示不超过的最大整数，设，其中，，且，互质．分别判断和在上是否单调递增，（无需说明理由）；
（2）设量化神经网络表示最接近输入值的整数（当输入恰好在两个整数中间时，规定输出值向偶数取整），例如：，，．判断的奇偶性，以及在有理数集上是否单调递增？说明理由．
（3）证明：对于任意量化神经网络，一定存在输入，，满足，使得输出满足：，，其中，表示，中最大的数．
参考答案
一、填空题（满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）
1．已知全集，4，6，8，，集合，6，，则， ．
解：由题意可知，全集，4，6，8，，集合，6，，
所以，．
故答案为：，．
2．已知，则是第 三 象限角．
解：，所以角与角的终边相同，是第三象限角．
故答案为：三．
3．已知、是方程的两个根，则 1 ．
解：、是方程的两个根，
，，
则．
故答案为：1．
4．函数的定义域为，， ．
解：由题意可得，，解得，，．
答案为：，，．
5．已知，则 ．
解：，
．
故答案为：
6．已知集合，14，，，．若，则实数 7 ．
解：，所以，
所以或，
时，，此时，14，，，满足题意；
时，，无解，
所以．
故答案为：7．
7．若，，则表达式的最大值为 ．
解：易知，其中，
因为，，
当时，取得最大值为．
故答案为：．
8．已知，，函数的定义域为，且是偶函数，则的值是 ．
解：根据题意，函数的定义域为，
必有，所以．
故答案为：
9．若存在实数使成立，则实数的取值范围是 ，． ．
解：在数轴上，表示横坐标为的点到横坐标为的点距离，就表示点到横坐标为1的点的距离，
，
要使得不等式成立，只要最小值就可以了，
即，
．
故实数的取值范围是．
故答案为：，．
10．设，集合，，若，则符合条件的实数组成的集合为 ．
解：由题意可知，集合，，因为，
当时，，符合题意，
当时，，
则或，
解得或，
综上，实数组成的集合为．
故答案为：，，．
11．已知，且．若，则的最小值为 8 ．
解：由得，故．
由，通分变形得，即．
将其代入的表达式，得．
由可知，因此，即．
令，则目标式可化为：
，
令，则，代入得：
，
当且仅当即，对应时取等号，满足．
故答案为：8．
12．在某人工智能图像处理系统中，原始图像尺寸经过函数变换为目标尺寸；同时系统存在一个逆向变换函数，能将目标尺寸还原为原始尺寸．在某次测试中，系统日志记录了三个尺寸对：，，．若每个尺寸对可能来自正向变换（原始尺寸目标尺寸）或逆向变换（目标尺寸原始尺寸），则的最小值为 ．
解：因为函数与均为单调函数，
所以三个尺寸对，，中，
，来自同一个变换函数，来自另一个变换函数．
若，来自正向变换函数，来自逆向变换函数，
则，
由和两式相减得，即，
所以，
化简得，解得，则，，所以．
若，来自逆向变换函数，来自正向变换函数，
则，
由和两式相减得，即，
因为，故，即，所以，即，
由，得，
所以，化简得，即，
所以，又，解得，
所以，
，
所以．
综上，的最小值为．
故答案为：．
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13~14题每题4分，第15~16题每题5分）
13．下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（ ）
A．B．C．D．
解：函数不是奇函数，不满足题意；
函数不是增函数，不满足题意；
函数不是增函数，不满足题意；
函数是奇函数且是增函数，满足题意；
故选：．
14．若扇形的半径为2，圆心角为，关于弧长与扇形面积正确的结果为．
A．B．C．D．
解：因为，半径为2，所以，解得，
则．
故选：．
15．若，，则“”是“”的条件．
A．充要B．充分非必要
C．必要非充分D．既不必要也不充分
解：由“”可得，但当时，，不满足“”，
因此充分性不成立；
必要性：由“”可得，所以，即，可知必要性成立．
故选：．
16．对于定义域为的函数，记，，．若任取，，都有，，则称为“晨晖函数”．判断下列两个命题：命题①：“晨晖函数”一定是奇函数；命题②：存在“晨晖函数” ，使得．则下面说法正确的是（ ）
A．命题①正确，命题②正确B．命题①错误，命题②正确
C．命题①正确，命题②错误D．命题①错误，命题②错误
解：根据题意，依次分析2个命题：
对于①：根据题意，若为“晨晖函数”，
任取，，有，，
结合“晨晖函数”的定义，则有，，必有，，必有，，
则一定有，，即，变形可得，
所以“晨晖函数”一定是奇函数，故①正确；
对于②，由可知，点在函数图象上，
根据“晨晖函数”定义，点、、也必在函数图象上，
由于这四个点的横坐标2025，，，2026各不相同，不违背函数的定义，
故可以构造出满足条件的“晨晖函数” ，因此存在这样的函数，②正确．
故选：．
三、解答题（本大题共有5题，满分78分）
17．（1）若角的终边经过点，，求的值；
（2）已知，且为第二象限角，分别求和的值．
解：（1）由题意，可得，
所以，
所以；
（2）由于，
两边平方，可得，
可得，
可得，
由，解得或，
由于是第二象限角，可得，，
可得，
可得．
18．若，，，．
（1）若，求；
（2）若，求实数的取值范围．
解：（1）解不等式得或，
所以，，．
当时，，，
解不等式得，
所以，
所以，，．
（2）解方程得或，
当时，，此时，不满足题意；
当时，，因为，则，解得；
当时，，显然不成立．
综上，的取值范围为，即，．
19．可知．
（1）求的值；
（2）求的值．
解：（1）因为，所以，
可得；
（2）因为，
所以
．
20．（17分）已知．
（1）若，求函数的定义域；
（2）当时，解关于的不等式；
（3）若关于的方程的解集恰有一个元素，求的取值范围．
解：（1）当时，，
当时该函数才有意义，即，
所以，
解得，
故函数的定义域是；
（2）当时，，
此时，
即，，
解得，故定义域为．
由，
得，即，
解得．
综上，所求解集为．
（3）由，
得，
即，
则，即．
当时，经检验确为原方程的解，成立；
当时，经检验确为原方程的解，成立；
当且时，考虑和．
由，得总为原方程的解，
故此时一定不满足原方程，从而，即．
综上所述：的取值范围是，，．
21．（17分）在人工智能领域，神经网络被广泛应用于图像识别、语音识别等任务．为了让神经网络能在计算能力有限的设备上运行，工程师们使用“量化“技术．量化就是将神经网络中的浮点数（小数）转换为整数，这样计算更快、更省电．考虑一个简单的量化神经网络，它只有一个输入和一个输出．输入是经过标准化处理的有理数，输出是整数．我们用函数来表示这个过程：输入一个有理数，经过量化网络后输出整数．
对于定义域为的函数，若对任意，，当时，都有，则称在上单调递增；若对任意，，当时，都有，则称在上单调递减．
（1）设其中表示不超过的最大整数，设，其中，，且，互质．分别判断和在上是否单调递增，（无需说明理由）；
（2）设量化神经网络表示最接近输入值的整数（当输入恰好在两个整数中间时，规定输出值向偶数取整），例如：，，．判断的奇偶性，以及在有理数集上是否单调递增？说明理由．
（3）证明：对于任意量化神经网络，一定存在输入，，满足，使得输出满足：，，其中，表示，中最大的数．
【解答】（1）解：由函数的定义可知．
任取，，，假设，因为，，所以，
因为，，所以，
所以，与假设矛盾，
所以，在上单调递增；
取，所以，
因为，所以在上不是单调递增的；
（2）解：由题意，量化神经网络的定义域为，关于原点对称．
任取，不妨设，，所以，，所以，，其中，
下面分情况讨论：
当时，，
又，所以；
当时，设整数和中的偶数为，因此，
又，
所以此时整数和中的偶数为，故；
当时，，
又，所以，
综上所述，对于任意，恒有，因此是奇函数；
任取，，且，不妨设，，其中．
下面对分类讨论：
当，时，因此，由的定义可知；
当时，由于，，而，因此．
综上所述，在上单调递增；
（3）证明：给定量化神经网络，不妨设（1），因此可考虑新的量化神经网络，
若（1）（2），取，，，1，，因此得，，
下面只需考虑（1）（2）的情形：
若，使得（a）（1），取，，，1，，因此得（1），（a）；
若，，都有（1）（a）（2），因此在，上的取值范围为（1），（2）；
若，使得（a）（2），取，，，，，因此得（a）（1），（2），
又函数值，故在，上只能取有限个函数值，
因为，中包含无限多个有理数，
所以存在整数（1），（2）使得是在，中无限个点处的函数值，
所以必定存在，，，，且满足，使得，
所以，，
综上所述，原命题成立．