2025-2026学年上海市浦东新区川沙中学高一（下）期末数学试卷（含解析）

这是一份2025-2026学年上海市浦东新区川沙中学高一（下）期末数学试卷（含解析）试卷主要包含了填空题，单选题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．已知，，则 ．
2．已知复数满足，则 ．
3．已知圆锥的高为4，底面半径为3，则圆锥的侧面积为 ．
4．如图，△是水平放置的△的斜二测直观图，若，，则△的面积为 ．
5．设，，则向量在方向上的投影向量的坐标为 ．
6．如图，在三棱台的9条棱所在直线中，与直线是异面直线的共有 条．
7．已知正四棱柱，，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为 ．
8．如图所示，为梯形，，，，现在将这个图形绕着直线旋转一周，得到一个几何体，那么这个几何体的体积是 ．
9．已知复数满足，则的最小值为 ．
10．如图是正方体的平面展开图，在这个正方体中：
①与平行；
②与是异面直线；
③与成角；
④与垂直．
以上四个命题中，正确命题的序号是 ．
11．已知平面向量，，，且，已知向量与所成的角为，对任意实数恒有，则的最小值为 ．
12．如图，正方体绕直线旋转，直线旋转至直线，则直线与直线所成角的大小为 ．
二、单选题（本大题共4小题，满分12分，每小题3分，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，否则一律得零分．）
13．已知，为非零向量，命题和命题，则是的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
14．已知直线、和平面、，且，，则下列命题中正确的是（ ）
A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则
15．设，函数在区间上没有最大值和最小值，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
16．如图，在棱长为2的正方体中，点、分别在线段和上，给出下列命题：①有且仅有一条直线与垂直；②存在点、，使△为等边三角形，则（ ）
A．①、②均为真命题B．①、②均为假命题
C．①为真命题，②为假命题D．①为假命题，②为真命题
三、解答题（本大题共有5题，满分72分，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．）
17．已知向量与的夹角为，，，求：
（1）；
（2）若，求实数的值．
18．已知，为虚数单位，复数．
（1）当复数为纯虚数时，求的值；
（2）已知，，当时，若是关于的方程的一个根，求与的值．
19．如图，四边形为长方形，平面，，．
（1）若、分别是、的中点，求证：平面；
（2）边上是否存在点，使得直线与平面所成的角的大小为？若存在，求长；若不存在，说明理由．
20．（17分）已知函数为奇函数，且的周期为．
（1）求的解析式；
（2）将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象．当时，求函数的值域；
（3）对于第（2）问中的函数，记方程在上的根从小到大依次为：，，，，．试确定的值，并求的值．
21．如图，在矩形中，，，是线段上的一动点，将沿着折起，使点到达点的位置，满足点平面且点在平面内的射影落在线段上．
（1）当点与点重合时，
①证明：平面；
②求二面角的余弦值；
（2）设直线与平面所成的角为，二面角的平面角为，求的最大值．
参考答案
一、填空题（本大题共12小题，满分36分，每小题3分，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得分，否则一律得零分．）
1．已知，，则 ．
解：因为，，所以，则．
故答案为：．
2．已知复数满足，则 ．
解：由题意，，则．
故答案为：．
3．已知圆锥的高为4，底面半径为3，则圆锥的侧面积为 ．
解：圆锥的高位4，底面半径为3，所以圆锥的母线为：5
圆锥的侧面积：
故答案为：
4．如图，△是水平放置的△的斜二测直观图，若，，则△的面积为 12 ．
解：把△还原为△，如图所示：
所以，
，
所以△的面积为．
故答案为：12．
5．设，，则向量在方向上的投影向量的坐标为 ．
解：因为，，
所以，，
可得向量在方向上的投影向量为，，．
故答案为：．
6．如图，在三棱台的9条棱所在直线中，与直线是异面直线的共有 3 条．
解：如图，在三棱台的9条棱所在直线中，
与直线是异面直线的有：
，，，共3条．
故答案为：3．
7．已知正四棱柱，，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为 ．
解：由为正四棱柱，且，
得正四棱柱的体对角线长为，
则正四棱柱外接球半径，
所以球的表面积为．
8．如图所示，为梯形，，，，现在将这个图形绕着直线旋转一周，得到一个几何体，那么这个几何体的体积是 ．
解：将直角梯形绕着直线旋转一周，所得几何体为组合体，
上半部分为圆锥，下半部分为圆柱，圆柱、圆锥的底面半径都是2，高都是2，
其轴截面如下图，
则这个几何体的体积．
故答案为：．
9．已知复数满足，则的最小值为 2 ．
解：设复数在复平面内对应的点为，
因为，即点到点和的距离相等，
所以在复平面内，点的轨迹为轴，
又表示点到点的距离，
所以的最小值为轴上的动点到定点距离的最小值，最小值为2．
故答案为：2．
10．如图是正方体的平面展开图，在这个正方体中：
①与平行；
②与是异面直线；
③与成角；
④与垂直．
以上四个命题中，正确命题的序号是 ③④ ．
解：展开图复原的正方体如图，不难看出：
①与平行；错误的，是异面直线；
②与是异面直线，错误；是平行线；
③从图中连接，，由于几何体是正方体，故三角形是等边三角形，所以与的夹角是，又，故与成；正确；
④与垂直．正确
判断正确的答案为③④．
故答案为：③④．
11．已知平面向量，，，且，已知向量与所成的角为，对任意实数恒有，则的最小值为 ．
解：由，向量与所成的角为，得，
由，两边平方得，
化简得对任意实数恒成立，
令，则恒成立，
由于函数图象抛物线开口向上，需使△，所以，
由向量的三角不等式，得，
当且仅当与方向相反时等号成立，
又，所以，
所以的最小值为．
故答案为：．
12．如图，正方体绕直线旋转，直线旋转至直线，则直线与直线所成角的大小为 ．
解：根据题意，将绕直线旋转到，
则（或其补角）就是直线与直线的所成角．
在正方体中，．
设、是圆锥的两条母线，，
设，在△中，，可得，
所以，
在△中，，，所以△是正三角形，可得．
在△中，由余弦定理得．
所以，即直线与直线的所成角等于．
故答案为：．
二、单选题（本大题共4小题，满分12分，每小题3分，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，否则一律得零分．）
13．已知，为非零向量，命题和命题，则是的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
解：若成立，则或，
当时，，此时，充分性不成立；
若成立，因为是非零向量，，则，
结合得，即两向量同向，因此，必要性成立．
故选：．
14．已知直线、和平面、，且，，则下列命题中正确的是（ ）
A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则
解：因为直线、和平面、，且，，
所以若，则或与异面或相交，所以选项错误；
若，则或，所以选项错误；
若，则，所以选项正确；
若，则与可以成，的任意角，所以选项错误．
故选：．
15．设，函数在区间上没有最大值和最小值，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
解：在区间上没有最大值和最小值，
则函数在上单调，
当单调递增时，
令，，则，，
因为，当时，可得，
则，即，
经检验，或时，不存在；
当函数单调递减时，同理可得，函数单调递减区间为，，，
当时，可得且，
解得，
经检验或时，不存在，
故或．
故选：．
16．如图，在棱长为2的正方体中，点、分别在线段和上，给出下列命题：①有且仅有一条直线与垂直；②存在点、，使△为等边三角形，则（ ）
A．①、②均为真命题B．①、②均为假命题
C．①为真命题，②为假命题D．①为假命题，②为真命题
解：对于①，点在平面上的射影的轨迹是线段，所以平面，
又平面，所以，所以的一个充要条件是，
当射影位于线段上的任意位置时，过点作垂线，垂足为，则，
又，且都在平面上，则平面，
而平面，所以，
即这样的直线不唯一，所以命题①为假；
对于②，由，，
由上知，
又，要使△为正三角形，只需即可，
设，则，，且，
所以
，
令，
可得，解得，（负值舍），
又，
只需比较大小，
将它们平方有，，
进而比较，的大小，
将它们平方有，
，
显然，
即，则，
所以，
即，
综上，，即所求，满足要求；
所以存在点、，使△为等边三角形，命题②正确．
故选：．
三、解答题（本大题共有5题，满分72分，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．）
17．已知向量与的夹角为，，，求：
（1）；
（2）若，求实数的值．
解：（1）因为，，与的夹角为，
所以，
所以，所以．
（2）因为向量与互相垂直，
所以，
所以，即，解得．
18．已知，为虚数单位，复数．
（1）当复数为纯虚数时，求的值；
（2）已知，，当时，若是关于的方程的一个根，求与的值．
解：（1）因为为纯虚数，所以，解得．
（2）时，．
因为是方程的一个根，
所以代入得：，则，解得，．
19．如图，四边形为长方形，平面，，．
（1）若、分别是、的中点，求证：平面；
（2）边上是否存在点，使得直线与平面所成的角的大小为？若存在，求长；若不存在，说明理由．
【解答】（1）证明：取中点，连接、，
可得，，
所以，
又因为、分别是、的中点，
所以四边形为平行四边形，
所以，
又因为平面，平面，
所以平面；
（2）解：作，垂足为，连接，
因为平面，平面，
所以，又，为平面内两条相交直线，
所以平面，
所以直线与平面所成的角为，
所以，，
可得，
所以，
所以边上存在点，使得直线与平面所成的角为，．
20．（17分）已知函数为奇函数，且的周期为．
（1）求的解析式；
（2）将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象．当时，求函数的值域；
（3）对于第（2）问中的函数，记方程在上的根从小到大依次为：，，，，．试确定的值，并求的值．
解：（1）由于函数周期，且，
可得，可得，
又为奇函数，可得，
可得，
又因为，
可得，
所以函数；
（2）将的图象向右平移个单位长度，可得的图象，
再把横坐标缩小为原来的，得到函数的图象，
当时，可得，
当，即时，函数取得最小值，最小值为，
当，即时，函数取得最大值，最大值为，
所以在区间上的值域为；
（3）由方程，可得，
因为，所以，
设，则，，
作出正弦函数的图象如图所示，
由图可知方程在区间上有3个根，
所以，
其中，，
即，，
解得：，，
所以．
21．如图，在矩形中，，，是线段上的一动点，将沿着折起，使点到达点的位置，满足点平面且点在平面内的射影落在线段上．
（1）当点与点重合时，
①证明：平面；
②求二面角的余弦值；
（2）设直线与平面所成的角为，二面角的平面角为，求的最大值．
解：（1）①证明：
当点与端点重合时，由可知，
由题意知平面，平面，所以，
又，，平面，平面，
所以平面，又平面，可知，
，平面，平面，
所以平面．
②
过作于点，连接．
因为平面，平面，所以，
因为，，，所以平面，所以
所以为二面角的平面角，
且在四边形中，、、三点共线．
因为，由几何关系可得
所以在△中，
即二面角的余弦值为．
（2）
过点作交于，
所以直线与平面所成的角即为直线与平面所成的角，
过作于点，连接．
由②同理可得平面，平面，
所以平面平面，
作，垂足为，
由平面平面，平面，可得平面，
连接，是直线与平面所成的角，即，
因为，满足，
设，
所以，，，，
因为在△中，斜边大于直角边，即，
所以，
所以，
，
在△中由等面积，，
所以，
因为，，
所以是二面角平面角，
即，，
所以，当且仅当时“”成立，
故的最大值．