广东广州市第十六中学2025学年第二学期高中中段教学质量反馈高二年级数学试卷

这是一份广东广州市第十六中学2025学年第二学期高中中段教学质量反馈高二年级数学试卷，共4页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1．某物体的位移y(单位：m)与时间t(单位：S)满足函数关系式y=asint−t，其中a为常数.若当t=0时，该物体的瞬时速度为1m/s，则当t=π2时，该物体的瞬时速度为（ ）
A．1m/sB．−1m/sC．3−1m/sD．3+1m/s
2．函数fx的大致图象如图所示，设fx的导函数为f'x，则f'xfx0有两个零点，记作x1,x2，若00)恒成立，
f″(x)=−(2x+ax)+a≤0(a≥8,x>0)恒成立，即−22a+a≤0，
即a2−8a≤0，解得0≤a≤8，由于a≥8保证拐点，则a=8，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】求二阶导，令导数等于零，结合拐点概念计算即可判断A；函数f(x)=2xcsx−1，求导，利用导数研究函数f'(x)在区间(0,π2)上单调性，根据“上凸函数”即可判断B；求阶导，令f″(x)=0，得拐点，由“拐点”在y轴右侧，得到a>0，令f'(x)0，得x>−ln2，
则函数fx极小值点为x=−ln2，无极大值点；
（2）解：函数fx=2ae2x+2a−1ex−x，求导可得f'x=4ae2x+2a−1ex−1，
化简可得f'x=2aex−12ex+1，
当a≤0时，易知f'x0时，令f'x=0，解得x=−ln2a，
由f'x1恒成立.
又f'x=2−1x2+mx，则f'x0=2−1x02+mx0>1恒成立，即m>1x0−x0恒成立，
因为x0∈a,b⊆1,3，
故令Px=1x−x，显然Px在1,3上单调递减，
所以∀x∈1,3,Pxf2a+b3，即证2fa+fb>3f2a+b3，
即证fb−f2a+b3>2f2a+b3−2fa，
又1f'ξ1⋅2b−a3，
即fb−f2a+b3>2f2a+b3−2fa，所以命题得证.
（2）证明：函数gx=xlnaexx+aex−x有两个零点，即方程xlnaexx+aex−x=0有两个根，即方程lnaexx+aexx−1=0有2个根.
令φx=lnx+x−1x>0,φ'x=1x+1>0，
所以φx在0,+∞上单调递增，且φ1=0，即方程aexx=1有2个根，且这两根即为方程lnaexx+aexx−1=0的根，
所以aex1=x1aex2=x2，则ex1ex2=x1x2=t，则由05ln2，
又x1+2x2=t+2lntt−1，令mt=t+2lntt−1,m't=−3lnt+t−2t+1(t−1)2，
令ut=−3lnt+t−2t+1,u't=−3t+1+2t2=t−1t−2t2，
又t∈0,12，所以u't>0，故ut在0,12上单调递增，
所以∀t∈0,12,ut1恒成立.
又f'x=2−1x2+mx，则f'x0=2−1x02+mx0>1恒成立，即m>1x0−x0恒成立，
因为x0∈a,b⊆1,3，
故令Px=1x−x，显然Px在1,3上单调递减，
所以∀x∈1,3,Px