广东中山市第一中学2026届高三高考模拟考试（校二模）数学试题

这是一份广东中山市第一中学2026届高三高考模拟考试（校二模）数学试题，共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合A=x∈Z∣xx−32}，则A∩∁RB=（ ）
A．（0，2]B．2,3C．1,2D．1,2
2．已知复数z=ia−i，若z2−i是纯虚数，则实数a=（ ）
A．-1B．0C．2D．1
3．已知向量a=−2,4,b=2,x，若a//b，则a−b=（ ）
A．45B．46C．36D．27
4．已知sinα−β=12，sinβcsα=16，则cs2α+2β=（ ）
A．718B．−718C．79D．−79
5．随机抛掷质地均匀的两枚骰子，向上点数分别记为a和b，则直线y=ax+b与圆x2+y2=1有2个公共点的概率为（ ）
A．718B．1118C．712D．518
6．南宋数学家杨辉在《详解九章算术》中提出了高阶等差数列的问题，即一个数列an本身不是等差数列，但从数列an中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列bn（则称数列an为一阶等差数列），或者bn仍旧不是等差数列，但从数列bn中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列cn（则称数列an为二阶等差数列），依次类推，可以得到高阶等差数列．根据以上定义，解决如下问题．已知数列an为二阶等差数列，a1=1,a2=2且cn=2n−1(n∈N∗)，则a6=（ ）
A．35B．36C．37D．38
7．在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，P，Q分别为棱A1D1，CD的中点，过直线PQ的平面α截该正方体所得截面β，则当平面α与平面A1B1C1D1所成的锐二面角最小时，截面β的面积为（ ）
A．33B．26C．4D．3
8．若∃m∈R使得不等式lnxx−mln2−ln24x−m≤0对任意x∈0,a恒成立，则实数a的最大值为（ ）
A．1B．eC．4D．2e
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．在直三棱柱ABC−A1B1C1中，∠ACB=90∘，AC=BC=CC1，E为CC1的中点，F为线段A1B1上的动点，下列结论正确的是（ ）
A．AB1//BE
B．AC1⊥平面A1BC
C．平面BFC⊥平面ACC1A1
D．存在点F，使得C1F//平面A1BE
10．在△ABC中，三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，若sin2A+sin2B=1+cs2C，csBcsC=12，△ABC的面积为1，则（ ）
A．bc=2B．A=π3C．csC=csA−BD．bcsC+ccsB=2
11．已知抛物线C：y2=2pxp>0的焦点为F，准线l与x轴的交点为K，过点K的直线与抛物线交于两点P，Q，过P，Q作l的垂线，垂足分别为T，S，若点A是抛物线上的一动点，且满足FA的最小值为12，则（ ）
A．y2=xB．OP2+OQ2>52
C．PFPK>22D．∠PFQ=2∠SFT
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．已知函数fx=a⋅5x−25xsinx是偶函数，则a= ．
13．已知F1−2，0，F22，0是椭圆C：x2a2+y2b2=1a>b>0的两个焦点，P为第一象限内椭圆C上的一个动点，Q为ΔPF1F2的内心，过F1作直线PQ的垂线，垂足为M，若OM=43，PF1=F1F2，则椭圆C的离心率e=
14．学校食堂每餐推出A、B两种套餐，某同学每天中午都会在食堂提供的两种套餐中选择一种套餐，若他前1天选择了A套餐，则第2天选择A套餐的概率为14；若他前1天选择了B套餐，则第2天选择了A套餐的概率为34．已知他开学第1天中午选择A套餐的概率为23，在该同学第3天选择了A套餐的条件下，他第2天选择A套餐的概率为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．已知数列an中，a1=1，满足an+1−3an−1=0n∈N∗．
（1）证明数列an+12是等比数列，并求数列an的通项公式：
（2）设bn=lg32an+1，Tn为数列2bnbn+1的前n项和，求T2026．
16．随着科技的发展，人工智能生成的虚拟角色正逐步取代传统的真人直播带货．某公司使用虚拟角色直播带货后销售金额逐步提升，根据该公司使用虚拟角色直播带货后18个月的销售金额的情况统计，得到一组样本数据xi,yii=1,2,⋯,18，其中xi和yi分别表示月份编号和销售金额数量（单位：万元），并计算得i=118xi−x2=66，i=118yi−y2=7500,i=118xiyi=950,18x⋅y=270 .
（1）求样本xi,yii=1，2，⋯，18的相关系数（精确到0.01），并推断销售金额y（单位：万元）和月份编号x是否线性相关（当r≥0.75时，即可认为线性相关）；
（2）已知这18个月中有10个月的销售金额高于平均数，从这18个月中随机抽取2个月的销售金额，记抽到销售金额高于平均数的月份数为X，求随机变量X的分布列．
附：相关系数r=i=1nxi−xyi−yi=1nxi−x2i=1nyi−y2=i=1nxiyi−nx⋅yi=1nxi2−nx2i=1nyi2−ny2,22≈4.7．
17．如图，在四棱锥E−ABCD中，底面是直角梯形ABCD,AB∥DC，∠ADC=90∘,AB=2,CD=1,AD=3,AE=6,△BCE为正三角形，且平面BCE⊥平面ABCD．
（1）求证：BC⊥AE；
（2）求直线AB和平面ADE所成角的正弦值；
（3）设点P是三棱锥E−ABC外接球上一点，求点P到平面ADE距离的最大值．
18．已知曲线C上的动点M满足MF2−MF1=4，且F1−5,0,F25,0，
（1）求C的方程；
（2）已知A−2,0，B2,0，P为C上的动点（点P与A不重合），直线BP和直线x=−1交于点N，直线NA交C于点Q．
（i）求证：直线PQ过定点；
（ii）设直线PQ的倾斜角为θ，△APQ,△APB的面积分别为S1,S2，当θ∈π6,5π6时，求S1S2取值范围．
19．已知函数fx=sinx−12sin2x．
（1）求fx在0,π上的最大值；
（2）求证：∀x∈[0,+∞），fx≤12x3恒成立；
（3）若∀x∈0,π2都有fx>ax3csx恒成立，求a的最大值．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】交、并、补集的混合运算；一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】解：由xx−30，即fx在0,2π3上单调递增，
当x∈2π3,π时，f'x0.
令t=csx∈0,1，ut=2t2+t−6a，则u't=−4t3+1=t3−4t33−3=0恒成立.故φx=ℎ'x在x∈0,π2上单调递增，
且φx=ℎ'x>ℎ'0=0.所以ℎx=g'x在x∈0,π2上也单调递增，且ℎx=g'x>g'0=0，
所以gx>g0=0，故fx>ax3csx恒成立.
②若a>12，则φ'0=3−6a0，即fx在0,2π3上单调递增，
当x∈2π3,π时，f'x0.
令t=csx∈0,1，ut=2t2+t−6a，
则u't=−4t3+1=t3−4t33−3=0恒成立.
故φx=ℎ'x在x∈0,π2上单调递增，
且φx=ℎ'x>ℎ'0=0.
所以ℎx=g'x在x∈0,π2上也单调递增，且ℎx=g'x>g'0=0，
所以gx>g0=0，
故fx>ax3csx恒成立.
②若a>12，则φ'0=3−6a