备战2027年高考数学（2026年）真题分类汇编(全国通用)专题10计数原理与概率统计（解析版）

这是一份备战2027年高考数学（2026年）真题分类汇编(全国通用)专题10计数原理与概率统计（解析版），文件包含江苏扬州市2026年高一下学期期末调研数学试卷pdf、江苏扬州市2026年高一下学期期末调研数学答案pdf等2份试卷配套教学资源，其中试卷共10页， 欢迎下载使用。

考点01 统计
1．（2026·新课标全国Ⅰ卷·高考真题）样本数据的中位数为（ ）
A．5B．6C．8D．9
【答案】B
【分析】结合中位数定义可得.
【详解】将已知数据从小到大排序为，则中位数为.
2．（2026·北京卷·高考真题）现从全校学生中随机抽取200人统计数学成绩，成绩分组及对应人数如下：
以频率估计概率，完成下列问题：
(1)求数学成绩低于120分的概率；
(2)从学校随机抽取4人，求2人不低于120且2人小于94的概率；
(3)每组数据取左端、中间、右端，比较、、的大小关系．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）先求样本中数学成绩低于分的频率，再由频率估计概率；
（2）先分别求事件成绩不低于分的概率和事件成绩小于分的概率，再由独立事件概率乘法公式求结论；
（3）根据方差公式分别求，比较大小可得结论.
【详解】（1）由已知样本中数学成绩低于分的频率为，
所以数学成绩低于分的概率为，
（2）从学校随机抽取一人，该学生成绩不低于分的概率为，
小于分的概率为，
所以从学校随机抽取人，人不低于且人小于的概率为，
（3）每组数据取左端的值记为，，
每组数据取中间的值记为，，
每组数据取右端的值记为，，
由已知，，，，，
所以，
由已知，，，，，
所以，
，，，，，
所以，
，
所以.
考点02 计数原理
1．（2026·新课标全国Ⅱ卷·高考真题）现有甲、乙、丙、丁等8人分成A、B两个技术小组，要求每组4人，且甲、乙必须在一起，丙、丁不能在一起，则不同的分配方案有（ ）
A．10种B．12种C．16种D．24种
【答案】C
【分析】对甲、乙两人都在A小组和B小组进行分类，结合计数原理求解即可.
【详解】情况1：甲、乙两人都在A小组，
安排丙、丁：丙、丁中必须有一个在A组，另一个在 B 组.
若丙在A组，丁在B组：此时A组已有 {甲, 乙, 丙}，还差1人；
B组已有{丁}，还差3人，
则从剩余4人中选1人进A组，方案数为.
若丁在A组，丙在 B 组：同理，方案数为.
所以当甲、乙在A组时，方案数为种.
情况2：甲、乙两人都在 B 小组，
甲、乙在B组的情况与在A组的情况完全一致，
安排丙、丁：同样是丙在A组或丁在A组两种情况，方案数各为 ，
所以当甲、乙在B组时，方案数为 种.
故所有分配方案共有种.
2．（2026·北京卷·高考真题）已知的展开式中的的系数是280，则（ ）
A．2B．-2C．1D．-1
【答案】A
【详解】二项式的展开式的通项为，其中.
令，解得，则项的系数为.
∵ ，，且已知的系数为，
∴ ，即，解得.
3．（2026·上海卷·高考真题）的二项展开式中，的系数为____________.
【答案】
【分析】写出二项展开式的通项公式，令，解出，代入即可得到答案.
【详解】二项式的展开式的通项公式为，
令，解得，
所以的系数为.
故答案为：.
4．（2026·上海卷·高考真题）在5个人中选3个人去演讲，若甲一定去，则一共有____________种选法.
【答案】6
【分析】结合组合知识求解即可.
【详解】由题意，甲一定去，则从剩下的4人中任选2人即可，
则一共有种选法.
故答案为：6.
5．（2026·天津卷·高考真题）展开式中的系数为__________．
【答案】
【分析】根据二项式定理得到展开式的通项公式即可求解.
【详解】根据二项式定理，展开式的通项公式为，
当时，，因此的系数为.
考点03 概率
1．（2026·上海卷·高考真题）事件和事件相互独立，“和至少一个发生”的对立事件是（ ）．
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据事件的独立性及对立定义求解.
【详解】根据已知至少有一个发生，
则对立事件为都不发生，所以的对立事件为.
2．（2026·上海卷·高考真题）
已知事件，互斥，，，则__________．
【答案】/
【详解】因为互斥，所以.
3．（2026·天津卷·高考真题）箱子里有一个红球，两个黄球，三个白球，有放回的取三次，三次都没取到黄球的概率是__________；在三次都没取到黄球的条件下，至少取到一次红球的概率是__________．
【答案】
【分析】第一空：计算出每次取到不是黄球的概率，即可得出三次都没取到黄球的概率；第二空：计算出至少取到一次红球的概率，借助条件概率即可得出结论.
【详解】由题意，
第一空：
箱子里总共有6个球，其中黄球2个，非黄球共4个。
设事件表示没取到黄球，事件表示三次都没取到黄球，
有放回抽取，每次取到非黄球的概率为，
三次都没取到黄球的概率：.
第二空：
设事件表示至少取到一次红球，事件表示三次都取到白球，
，
∵三次都没取到黄球的条件下，至少取到一次红球的概率：，
，
∴，
∴在三次都没取到黄球的条件下，至少取到一次红球的概率是.
4．（2026·上海卷·高考真题）某兴趣班共150人，年龄分布及兴趣爱好统计如下：
(1)现采用分层抽样抽取30人，其中抽到年龄在岁的有多少人？
(2)该兴趣班150人的平均年龄是多少？
(3)现从150人中任意抽选1人，记抽到的学员年龄在为事件，记抽到学员爱好摄影为事件.事件与是否独立？请说明理由.
【答案】(1)9；
(2)；
(3)不相互独立，理由见解析.
【分析】（1）由题意，计算年龄段占总体比例，据此可得答案.
（2）利用年龄区间中点作为该区间年龄平均值，再由各年龄段人数占总体比例可得答案；
（3）验证，是否等于可得答案.
【详解】（1）年龄段占总体比例为： ，则抽取人数为：；
（2）由题可得人的平均年龄为：；
（3）由题可得，，，
注意到，则事件A与事件B不相互独立.
考点04 随机变量及其分布列
1．（2026·新课标全国Ⅰ卷·高考真题）设为空间中64个点构成的集合，点，记样本空间，从中随机取一个点，定义随机变量如下：对中的每个点，令，则的数学期望值为（ ）
A．B．C．0D．
【答案】A
【分析】由题意可知.解法一：根据古典概型求相应的概率，进而可得期望；解法二：可得，，根据对称性运算求解；解法三：根据点的特征结合古典概型运算求解.
【详解】由题意可知：，且随机变量的取值为，，，，，，0，1，2，3，4，5，6.
解法一：依题意，可得，
，
，，
，，
所以；
解法二：根据对称性可知：，，，，，
又，，
所以；
解法三：因为，，
对于任意一点，均存在与之对应，可知这两点的坐标和为0，
因为，样本空间，
可知样本空间中存在唯一点与点对应，
所以中所有点的坐标和的总和为，
故.
2．（2026·上海卷·高考真题）已知随机变量的分布为，且，则__________．
【答案】/
【分析】根据分布列性质及数学期望公式计算求解.
【详解】因为随机变量的分布为，且，
所以，且，
解得.
3．（2026·新课标全国Ⅰ卷·高考真题）设整数．某同学用一个球进行投篮练习，至多投篮次，当且仅当投中1次时或次均未投中时，停止练习．设该同学每次投中的概率为，各次投中与否相互独立．记为停止练习时该同学的投篮次数．
(1)当，时，求的分布列；
(2)设，均为自然数．
（i）当时，求；
（ii）当时，证明：．
【答案】(1)的分布列如下图所示：
(2)（i）
（ii）由题意及（2）（i）证明如下：
即.
【分析】（1）求出的可能取值，计算出不同取值下的概率，即可得出分布列.
(2)（i）等价于前次投篮全部未中，利用各次投篮的独立性，可求出.
（ii）利用条件概率公式，结合 (i) 的结论与事件的包含关系即可证明结论.
【详解】（1）由题意，
整数，某同学进行投篮练习，至多投篮次，
当且仅当投中1次时或次均未投中时，停止练习，
∴的可能取值为1，2，3，4，
当时，表示第一次就投进球，，
当时，表示第2次投进球，第1次没有投进，，
当时，表示第3次投进球，前两次没有投进，，
当时，表示在第次停止，此事件等价于前次投篮均未投中，，
作出的分布列如下图所示：
（2）（i）由题意及（1）得，
整数，某同学进行投篮练习，至多投篮次，
当且仅当投中1次时或次均未投中时，停止练习，
当时，表示前次均未投中，
∴.
（ii）略.
4．（2026·新课标全国Ⅱ卷·高考真题）某工厂抽取一批电子元件检测，记录第一次出故障的时间（天），然后绘制出如下有关于“首次故障时间”与“对应频率”的频率分布直方图：
(1)求第一四分位数和中位数；
(2)设为首次故障时间小于365天的概率估计值．
（ⅰ）求；
（ⅱ）已知该工厂向某用户销售了100件电子元件，X为这100件产品首次出现故障时间小于365天的件数，若X~B100,p，求和．
【答案】(1)第一四分位数为 ，中位数为 ；
(2)（ⅰ）；（ⅱ），．
【分析】（1）根据百分位数的定义，先确定其大致位置，然后列方程求解；
（2）根据直方图，先求出小于365天的频率，作为概率的估计值，然后利用二项分布的期望和方差求解.
【详解】（1）由直方图可知，的频率为，
的频率为，
故第一四分位数在上，设为，则，解得；
的频率为，
的频率为，
故中位数在上，设为，则，解得.
故第一四分位数为370，中位数为381；
（2）由直方图可知，小于365天的频率为，故p=0.15，
根据二项分布的期望和方差公式，
，
考点05 统计案例
1．（2026·天津卷·高考真题）调查候鸟和温度的关系，在不同温度下统计候鸟的数量，所得数据如图所示，其中相关系数，根据最小二乘法算得：，下列说法正确的是（ ）
A．与负相关B．当时，一定为1359
C．当时，一定小于1359D．两变量无线性关系
【答案】A
【详解】因为相关系数，且散点图从左到右呈现下降趋势，且整体分布在较窄的带状区域，
所以y与x负相关，所以A正确，D错误；
当时，，所以约为，
所以B，C错误.
2．（2026·上海卷·高考真题）某工厂为进行环境保护和改善，对2023年前九年间空气中颗粒物密度和二氧化硫密度进行了监测和记录，数据如下：
(1)为进一步研究，从这 9 年间随机抽取一年，该年份颗粒物的密度大于二氧化硫密度的概率是多少？
(2)为研究颗粒物密度与二氧化硫密度的相关性，该工厂应选取茎叶图、扇形图、散点图中的哪一种进行分析，并请你判断相关系数在 ，，哪个区间内？（直接写结论）
(3)2023年前9年的年份()的平均数为 2018，(颗粒物密度) 关于(年份) 的回归方程拟采用，或. 已知2023年实际颗粒物密度为3.88，则哪个回归方程对于2023年的预测值与实际值的差值绝对值更小？
参考数据：
【答案】(1)；
(2)散点图；
(3)的预测值与实际值之差的绝对值更小.
【分析】（1）结合古典概型概率公式求解即可；
（2）根据图表数据可以判断用散点图分析；结合相关系数的性质判断区间；
（3）根据题意分别求解两种方程下的预测值与实际值的差值绝对值即可.
【详解】（1）9年间共有7年颗粒物密度大于二氧化硫密度，故概率为.
（2）统计图表需要呈现出随着二氧化硫密度变化时，颗粒物密度的变化趋势，故需要散点图进行呈现.
随着二氧化硫密度增加，颗粒物密度呈现增加趋势，故二者正相关，相关系数为正，
又因为相关系数，故相关系数在区间上.
（3）采用方程时，2023年预测值为，
预测值与实际值差值绝对值为；
因为
，
所以，可得.
故采用方程时，
2023年预测值为，
预测值与实际值差值绝对值为；
因为，故方程对于2023 年的预测值与实际值的差值绝对值更小.
一、单选题
1．（2026·湖南长沙·三模）一组数据升序排列为：，已知这组数据中位数是，的值为（ ）
A．5B．6C．7D．8
【答案】B
【详解】已知这组数据升序排列为：，中位数是，
这组数据中间两个数是5和x，根据中位数的计算方法：，
解得：．
2．（2026·浙江绍兴·模拟预测）在的展开式中，含有项的系数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】直接由二项式展开式的通项公式计算可得.
【详解】由二项式展开的通项公式，
令，得，含有项的系数为.
3．（2026·山东泰安·模拟预测）5名同学站成一排拍照，其中甲、乙两人必须相邻，则不同排法种数为（ ）
A．24B．48C．72D．96
【答案】B
【分析】应用捆绑法计算求解.
【详解】将甲、乙视为一个整体，与其他3人共同组成4个“单位”，这4个单位的排列数为.
由于甲、乙两人内部可以互换位置，需额外乘以2，因此总排列数为：.
4．（2026·江苏无锡·模拟预测）已知为两个随机事件，，，则下列结论错误的是（ ）
A．若，则B．若独立，则
C．若独立，则D．若互斥，则
【答案】C
【详解】对于A，由，得，A正确；
对于B，由独立，得，B正确；
对于C，由独立，得，C错误；
对于D，由互斥，得，D正确.
5．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）若随机变量，已知，则为（ ）
A．1B．2C．4D．8
【答案】D
【详解】若随机变量服从二项分布，则其期望公式为，
而因为，所以，解得，
该随机变量的方差为，
因为，所以.
6．（2026·湖南常德·一模）已知变量 和 有较强的线性相关关系，根据下表中两个变量间的相关数据可以得到经验回归方程为 y=2.2x+a ，则（ ）
A．经验回归直线必过点 B．
C．对应的样本点的残差为D．当时，预测值 y=15.6
【答案】D
【分析】先求即可判断A，由即可判断B，求出的残差即可判断C，由回归方程求出即可判断D.
【详解】由题意得：，
所以经验回归直线必过点，故A错误；
由，故B错误；
所以，当时，，
所以对应的样本点的残差为，故C错误；
当时，，故D正确.
7．（2026·山东东营·模拟预测）已知随机变量X服从正态分布，若，则的最大值为（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】A
【分析】由正态分布以及二次函数的性质求解即可.
【详解】由随机变量X服从正态分布，所以，
又因为，所以，
由对称性可知，即，所以，
当时，可得，等号成立时.
8．（2026·上海杨浦·模拟预测）一个边长为5的正方形被分割成四个不同的小矩形（如图），现用红蓝两种颜色对小矩形的边进行染色，若要使每个小矩形均有2条红色边和2条蓝色边，则不同染色的方法数为（ ）

A．32B．48C．64D．82
【答案】D
【分析】分①②③④四边同色、①②③④只有三边同色另一边不同色和①②③④每两个同色三种情况分别求解即可.
【详解】如图所示：

当①②同色时，矩形A另外两边有1种方法染色；
当①②不同色时，矩形A另外两边有2种方法染色；
同理其他区域也一样，
所以：①②③④四边同色，此时共有种；
当①②③④只有三边同色时，另一边与其不同色时，
此时共有种；
当①②③④每两个同色时，此时共有种；
综上，共有种.
二、多选题
9．（2026·湖北武汉·三模）关于多项式的展开式，下列结论正确的是（ ）
A．各项系数之和为32B．常数项为80
C．项的系数为D．展开式一共有21项
【答案】AC
【分析】由多项式展开式令代入计算判断A；令或或，计算可判断B；令或，计算可判断C；由的指数取值范围求解可判断D.
【详解】由题意得多项式展开式的通项如下，
为 ，
即，
对于A，令得，
所以各项系数之和为32，故A正确；
对于B，常数项中的次数为0，则或或，
则，故B错误；
对于C，令，得或，
所以项为，
故项的系数为，故C正确；
对于D，因为，的指数为的整数，
化简可得，
所以展开式一共有9项，故D错误；
10．（2026·山西忻州·模拟预测）有一组样本数据，，…，，其平均数为，方差为（）．现向这组数据中加入两个新数据，（），得到一组新的样本数据，其平均数为，方差为，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．新样本数据的中位数一定等于原样本数据的中位数
C．若，则
D．
【答案】AD
【分析】先根据平均数定义计算加入和 后的新平均数，据此判断A选项；再结合原方差公式推导新方差的表达式，进而判断C、D选项；最后根据原样本容量的奇偶性分析中位数的变化情况，判断B选项.
【详解】在A选项中，原数据总和为，加入两个新数据后新总和为：，
则新平均数，A正确；
在B选项中，设原数据为：，原中位数为，平均数，
取，加入的新数据为和，新数据排序为，
新中位数为，B错误；
在D选项中，原方差，得，
根据A选项可知，新平均数仍为，因此新方差：
，D正确；
在C选项中，若，代入D选项的结论可得：，C错误.
11．（2026·江苏南京·三模）已知，当时，可以认为，如果，当，可以认为.某校高中有学生人，近视人数有人.从中随机抽取人，记这人中近视人数为随机变量；若从中有放回的一个一个的抽查人，这人中近视人数为随机变量.则（ ）
附：若随机变量ξ服从正态分布，则，，．
A．B．
C．随机变量的取值在之间的概率大于0.6826D．
【答案】BCD
【分析】由题意符合超几何分布的特征，先确定参数，再验证是否小于，判断能否近似为二项分布；由题意符合二项分布的特征，先确定参数，再验证和是否均大于，判断能否近似为正态分布，计算对应正态分布的参数和；对于涉及概率计算的选项，先确定正态分布的和，再将所求区间转化为的形式，结合所给正态分布的概率取值规则计算对应概率；计算期望时，根据超几何分布和二项分布的期望公式分别计算和，验证对应选项的正确性即可.
【详解】由题意X服从超几何分布，
选项A：题目规定只有时，才可近似认为服从二项分布，
本题，不满足条件，因此A错误；
选项D：超几何分布的期望公式为，
代入得，因此D正确；
由题意Y服从二项分布，
选项B：计算得，，满足题目条件，
可近似认为，因此B正确；
选项C：由，得： ，，
即区间， ，
所以，故C正确.
12．（2026·河北保定·三模）某科技公司推出了一项全民互动体验项目，该项目利用AI技术为用户生成个性化数字人形象.已知每位用户生成的数字人形象相互独立，且遵循以下生成规则：①风格类型分为国风、科技风、萌趣风三类，每种类型生成的概率分别为 ②动作特效分为抱拳、奔跑、比心三类，动作特效的生成概率与风格类型相关，其规律如下，若生成的风格类型为国风，则生成的动作特效为抱拳、奔跑、比心的概率分别为 ；若生成的风格类型为科技风，则生成的动作特效为抱拳、奔跑、比心的概率均为 ；若生成的风格类型为萌趣风，则生成的动作特效为抱拳、奔跑、比心的概率分别为 ③隐藏款判定，若生成的数字人形象的风格类型与动作特效满足国风配抱拳或科技风配奔跑或萌趣风配比心，则该数字人形象为隐藏款，否则为普通款.下列说法正确的是（ ）
A．随机抽取 1位用户，则事件“数字人形象风格类型为科技风”与事件“数字人形象动作特效为奔跑”相互独立
B．随机抽取1位用户，则该用户的数字人形象为隐藏款的概率是
C．随机抽取9位用户，记生成的数字人形象为隐藏款的人数为随机变量，则最大
D．随机抽取 2位用户，记生成的数字人形象为隐藏款的人数为随机变量，另外随机抽取3位用户，记生成的数字人形象为普通款且动作特效为奔跑的人数为随机变量η，则
【答案】ABD
【分析】记“生成的数字人形象风格类型为国风、科技风、萌趣风”分别为事件，记“生成的数字人形象动作特效为抱拳、奔跑、比心”分别为事件，根据全概率公式和二项分布知识计算即可.
【详解】对于A，记“生成的数字人形象风格类型为国风、科技风、萌趣风”分别为事件，
记“生成的数字人形象动作特效为抱拳、奔跑、比心”分别为事件，
则由题意得.
又，所以，
所以事件“数字人形象风格类型为科技风”与事件“数字人形象动作特效为奔跑”相互独立，所以A正确；
对于B，记“数字人形象是隐藏款”为事件，
则.
所以随机抽取1位用户，该用户的数字人形象为隐藏款的概率是，所以B正确；
对于C，由选项B及二项分布的知识知，设最大，
则，即.
解得，又，所以，所以最大，所以C错误；
对于D，记“生成的数字人形象为普通款且动作特效为奔跑”为事件，
则，则.
又，所以，
故，所以D正确.
三、填空题
13．（2026·山东聊城·模拟预测）已知，则___________．
【答案】
【分析】根据题意，分别令和，得到运算结果，两式相加，进而得到答案.
【详解】由，
令，则 ①；
令，则，
即 ②．
，得．
14．（2026·陕西西安·模拟预测）某AI公司有男性30人，女性10人，在一次知识竞技团建中，男性平均成绩为110分，方差为55，女性平均成绩为130分，方差为95，则在这次团建中，该公司的平均成绩为__________分，方差为__________．
【答案】 115 140
【分析】根据分组数据平均数，方差计算公式可得答案.
【详解】因为公司有男性30人，女性10人，
男性平均成绩为110分，方差为55，女性平均成绩为130分，方差为95，
所以该公司的平均成绩为：；
该公司成绩的方差为：.
15．（2026·福建泉州·模拟预测）为弘扬志愿服务精神，学校鼓励同学们积极参与志愿服务活动.现安排甲、乙、丙、丁共四名同学参加某日早上、中午、晚上三个时段的志愿服务，每个时段需安排2名同学，分别负责接待和登记.若每位同学至少安排一个时段，且甲不能排早上，乙丙不能排同一时段，则安排方法总数为__________.
【答案】208
【分析】先考虑早上，只能有乙丁，或丙丁，再结合对称性只需先考虑早上是乙丁的情况，在此基础上考虑中午与晚上每个时段有10种排法，再减去不满足的情况得中午和晚上共有种排法，即可根据分步乘法原理求解.
【详解】第一步，先考虑早上，只能有乙丁，或丙丁，
由对称性可知，只需先考虑乙丁，则有种；
第二步，考虑中午和晚上，除掉乙丙，每个时段共有种组合，
故中午晚上共有种，需扣掉以下几种情况：
第一，中午晚上没有甲，则只有乙丙丁，每个时段有种排法，共有16种；
第二，中午晚上没有丙，则每个时段有种排法，共有36种；
第三，中午晚上没有甲丙，则只有乙丁，共有种排法；
所以中午和晚上共有种排法，
所以安排方法总数为种.
16．（2026·山东日照·模拟预测）若甲、乙两名同学进行投篮游戏，甲投球入篮的概率为，乙投球入篮的概率为.经过两人约定，游戏规则如下：若甲投球未入篮，则下一球由乙投球；若乙投球未入篮，则下一球等可能地由甲、乙投球，如此循环，直到一名同学投球入篮，则该学生获胜.通过硬币裁定，由甲先进行投篮.若甲、乙两名同学的投篮次数不限，则最终乙获胜的概率为________.
【答案】
【分析】分别设定轮到甲和乙投篮时乙最终获胜的概率为，根据游戏规则的转移概率列出方程组并求解即可
【详解】设为当轮到甲投篮时，最终乙获胜的概率，为当轮到乙投篮时，最终乙获胜的概率，
当轮到甲投篮时，有两种情况:
甲投中（概率为）：游戏结束，甲获胜，此时乙获胜的概率为0，
甲未中（概率为）：根据规则，下一球必由乙投，状态转移到乙投篮，
由此可得，化简得，
当轮到乙投篮时，有三种情况:
乙投中（概率为）：游戏结束，乙获胜，此种情况下乙最终获胜的概率为1，
乙未中，且下一球抽到甲投（概率为）：状态转移到甲投篮，
乙未中，且下一球抽到乙投（概率为）：状态继续留在乙投篮，
由此可得，化简得，
联立，解得.
四、解答题
17．（2026·湖北·模拟预测）台灯是夜晚学习的好搭档，台灯照射的光通常为两类：白光和黄光.白光的亮度通常高于黄光，而黄光能够有效地保护视力.某校对学生的近视情况与夜晚台灯光照的颜色进行问卷调查，得到下表：
(1)根据小概率值的独立性检验，分析学生的近视情况是否与夜晚台灯光照的颜色有关；
(2)用频率估计概率，从使用发出白光的台灯的学生中抽取3名，求他们中近视人数为2的概率.
附：，
【答案】(1)学生的近视情况与夜晚台灯光照颜色有关
(2)
【分析】（1）计算出卡方，并与临界值比较大小，结合独立性检验思想分析判断即可.
（2）利用二项分布的概率公式计算即可求解.
【详解】（1）零假设：学生的近视情况与夜晚台灯光照颜色无关，
，
根据小概率值的独立性检验，推断不成立，
即认为学生的近视情况与夜晚台灯光照颜色有关.
（2）使用发射白光的台灯的学生患近视的概率为，
记近视人数为，显然该类学生近视情况服从二项分布，
可得.
18．（2026·山西运城·模拟预测）设某幼苗从观察之日起，第天的高度为，测得的一些数据如下表所示：
作出这组数据的散点图发现：（）与（天）之间近似满足关系式，其中，均为常数．
(1)试借助一元线性回归模型，根据所给数据，用最小二乘法对，作出估计，并求出关于的经验回归方程；
(2)在作出的这组数据的散点图中，甲同学随机圈取了其中的3个点，记这3个点中幼苗的高度大于的点的个数为，其中为表格中所给的幼苗高度的平均数，试求随机变量的分布列和数学期望．
参考数据：令，，，，．
参考公式：经验回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：，．
【答案】(1)，，；
(2)
【分析】（1）令，则，求出，，计算， 由回归直线过点，求出，从而得到关于的回归方程.
（2）求出的取值，求出的取值的概率， 列出的分布列，根据分布列求出随机变量的期望值.
【详解】（1）令，则，
因为，所以，
因为，所以，
，，
通过上表计算可得：b^=i=17 μiyi−nμyi=17 μi2−nx2=283−7×4×8140−7×16=5928，
因为回归直线过点，所以，
则 关于的回归方程，
又，
故关于的回归方程；
（2）（2）7天中幼苗高度大于的有4天，小于等于8的有3天，
从散点图中任取3个点，即从这7天中任取3天，
所以这3个点中幼苗的高度大于的点的个数的取值为0，1，2，3，
；；
；.
所以随机变量的分布列为：
随机变量的期望值.
19．（2026·陕西·一模）年被业界公认为“具身智能元年”，得益于硬件成本的雪崩式下降和视觉-语言-动作大模型的成熟，人工智能已经不再是概念和愿景，而是开始真实地走进企业和家庭，重新定义人类的工作和生活．新华中学为激发学生进一步对人工智能的了解，举办知识竞赛活动，活动分两轮进行．第一轮通过后方可进入第二轮，两轮通过后即可获得代表学校参加比赛的资格．已知小明、小华、小方3位同学通过第一轮的概率均为，在通过第一轮的条件下，他们通过第二轮的概率依次为，假设他们之间通过与否相互独立．
(1)求这3人中至多有2人通过第一轮的概率；
(2)从3人中随机选出一人，求他通过第二轮的概率；
(3)设这3人中通过第二轮的人数为，求的分布列及期望．
【答案】(1)
(2)
(3)分布列为：
数学期望为
【分析】（1）先求出“3人中最多2人通过第一轮”的对立事件的概率，进而求出“3人中最多2人通过第一轮”的概率；
（2）先由乘法公式求出三人通过第二轮的概率，再利用全概率公式计算求解；
（3）求出的可能取值为，计算各可能值的概率，进而求出分布列及期望．
【详解】（1）“3人中最多2人通过第一轮”的对立事件为“3人全部通过第一轮”，
每人通过第一轮的概率为，且相互独立，故全部通过的概率为：，
“3人中最多2人通过第一轮”的概率为：．
（2）小明通过第二轮的概率为：，
小华通过第二轮的概率为：，
小方通过第二轮的概率为：，
从3人中任选1人，每人被选中概率为，由全概率公式：
．
（3）的可能取值为，三人通过第二轮的事件相互独立，
，
，
，
，
分布列为：
期望为：．
20．（2026·陕西西安·模拟预测）一个袋子中装有个大小相同的小球，编号分别为，且，.进行两次实验：第一次：从中不放回地随机取出个球，记所取球的编号组成的集合为；第一次实验完成后，将球放回袋中，再进行第二次实验；第二次：从中不放回地随机取出个球，记所取球的编号组成的集合为.设随机变量表示的元素个数.
(1)若，，求所有的；
(2)若，，求的分布列和数学期望；
(3)若，且，求.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）直接列举即可；
（2）根据古典概型概率公式，结合组合数公式求出概率，然后可得分布列和期望；
（3）根据已知概率列方程计算可得.
【详解】（1）依题意，从编号为1，2，3，4的四个球中，随机取出2个球，所取球的编号组成的集合有以下可能：
.
（2）X的所有可能取值为0，1，2
，，
∴X的分布列为
∴；
（3）当时，，
整理得，∴，
即，∵，∴.
21．（2026·陕西咸阳·三模）某新华书店为庆祝“六一”儿童节，推出购图书参与抽奖的活动，抽奖的奖券分为10元和5元两种“现金抵用券”.规则如下：顾客每购买一本图书可获得1次抽奖机会，且每次抽到10元券的概率为p（）.已知某顾客购买了n本图书，用X表示该顾客在n次抽奖中获得的奖券金额总和，每次抽奖相互独立.
(1)若，，求该顾客抽得的奖券金额总和为30元的概率；
(2)求X的分布列与数学期望；
(3)若，设事件A表示“该顾客前两次抽奖都抽到5元券”，事件B表示“该顾客抽到10元券的总次数不少于2”，证明：.
【答案】(1)
(2)的分布列为：其中；
(3)证明见解析.
【分析】（1）利用二项分布求解即可；
（2）对变量进行转换，用n次抽奖中抽到10元券的次数进行转换求解；
（3）作差法进行比较，注意不同项的正负关系.
【详解】（1）设该顾客抽得的奖券金额总和30元为事件，
则为四次抽奖中，10元和5元各有2张，
则.
（2）不妨设为n次抽奖中抽到10元券的次数，则，且 ，
由题意可知，可能的取值为：，对应的取值为，
所以的分布列为： 其中；
因为，所以，
即：数学期望.
（3）由题意得：事件为前两次都抽到5元券，故，
事件为抽到10元券的总次数不少于2次，即：，
故，
事件表示前两次都抽到5元券，且10元券总次数不少于2次，即：后次抽奖中抽到10元券的次数不少于2次，
设后次抽奖中抽到10元券的次数不少于2次为事件，则，
由条件概率公式得：，
要证，即： ，即证：，
即证：，
左边减右边合并化简得：，
因为，，所以，
当，时， ，因为，
所以，因此，即得证.
考点分类
2026年高考命题解读
创新考法
考点01 统计
侧重基础统计量（中位数、平均数）的计算与频率分布直方图的应用。强调利用样本数据估计总体特征，如通过频率估计概率。
数据情境生活化：引入学校学生成绩、电子元件故障时间等真实数据，考查学生从实际表格中提取信息的能力。
考点02 计数原理
重点考查分组分配问题中的“特殊元素”处理（如甲乙在一起）及二项式定理求特定项系数。
逻辑约束复杂化：不再单纯考查排列组合数计算，而是增加了“必须在一起”、“不能在一起”等多重逻辑限制条件，考查分类讨论的严谨性。
考点03 概率
考查互斥事件、对立事件、独立事件的概率计算，以及条件概率的定义与应用。
多事件关系综合判断：如上海卷真题，将独立性、互斥性与集合运算结合，考查学生对抽象事件逻辑关系的理解，而非单纯数值计算。
考点04 随机变量及分布列
重点考查离散型随机变量的分布列、数学期望，以及二项分布的实际应用。
模型选择与决策：给出不同回归方程（如指数与线性），要求学生通过计算残差绝对值来判断哪个模型预测更精准，体现数据分析的决策导向。
成绩分组
人数
40
60
60
32
8
年龄
剪纸
摄影
画画
人数
8
45
10
55
6
50
1
2
3
4
1
2
3
4
颗粒物密度
101.02
87.02
57.47
21.85
11.76
8.86
5.03
4.63
3.86
二氧化硫密度
119.47
81.94
53.20
9.16
6.60
4.40
3.31
3.35
3.86
2
3
5
6
5
7
9
15
白光
黄光
近视
80
60
不近视
40
60
0.05
0.01
0.001
3.841
6.635
10.828
第天
1
4
9
16
25
36
49
高度
0
4
7
9
11
12
13
0
1
2
3
0
1
2
3
0
1
2
3
0
1
2
3
X
0
1
2
P
X
0
1
2
P