广东深圳实验学校高中部2025-2026学年第二学期期中考试高一数学

这是一份广东深圳实验学校高中部2025-2026学年第二学期期中考试高一数学，共4页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知AB=(2,3)，AC=(3,3)，则AB⋅BC=（ ）
A．15B．−2C．2D．3
2．已知复数z满足1−2iz=1+i，则z=（ ）
A．55B．25C．255D．105
3．如图是一个正方体的展开图，若将它还原为正方体，则（ ）
A．AB//CDB．EF//ABC．GH//ABD．GH//EF
4．如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=2BC=2CC1=4，E，F分别为BC，CC1的中点，点P在矩形BCC1B1内运动（包括边界），若A1P//平面AEF，则动点P的轨迹长度为（ ）
A．2B．2C．22D．23
5．如图，矩形ABCD中，AB=8,AD=6,M､N分别为边BC､CD上的动点，且MN=4.则AM+AN的最小值为（ ）
A．8B．16C．413D．85
6．沙漏是古代的一种计时仪器，根据沙子从一个容器漏到另一容器的时间来计时.如图，沙漏可视为上下两个相同的圆锥构成的组合体，下方的容器中装有沙子，沙子堆积成一个圆台，若该沙漏高为6，沙子体积占该沙漏容积的1954，则沙子堆积成的圆台的高为（ ）
A．1B．32C．2D．43
7．如图，为了测量两个信号塔塔尖M，N之间的距离，选取了同一水平面内的两个测量基点P与Q（M，N，P，Q在同一铅垂平面内）．已知在点P处测得点M的仰角为15∘，点N的仰角为45∘，在点Q处测得点M的仰角为30∘，点N的仰角为15∘，PQ=400米，则MN=（ ）米
A．2002+2B．4003+1C．4006D．4005
8．已知在直三棱柱ABC−A1B1C1中，E，F分别为BB1，A1C1的中点，AA1=2，AB=2，BC=32，AC=4，如图所示，若过A、E、F三点的平面作该直三棱柱ABC−A1B1C1的截面，则所得截面的面积为（ ）
A．10B．15C．25D．30
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．任何一个复数z=a+bi（其中a,b∈R，i为虚数单位）都可以表示成z=rcsθ+isinθ的形式，通常称之为复数z的三角形式．法国数学家棣莫弗发现：zn=rcsθ+isinθn=rncsnθ+isinnθn∈N+，我们称这个结论为棣莫弗定理．根据以上信息，下列说法正确的是（ ）
A．z2=z2
B．z3的实部为cs3θ
C．z⋅z=r2
D．若r=1，θ=π4时，若n为偶数，则复数zn为纯虚数
10．如图，在等边△ABC中，AB=3，点O在边BC上，且OC=2BO．过点O的直线分别交射线AB，AC于不同的两点M，N，AB=mAM，AC=nAN．则以下选项正确的是（ ）
A．AO=23AB+13ACB．cs〈OA,OC〉=714
C．m+n=3D．1m+2n的最小值是83
11．已知半径为R的球与圆台的上下底面和侧面都相切.若圆台上下底面半径分别为r1和r2，母线长为l，球的表面积与体积分别为S1和V1，圆台的表面积与体积分别为S2和V2.则下列说法正确的是（ ）
A．l=r1+r2B．R=r1r2
C．S1S2=V1V2D．S1S2的最大值为23
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知向量a,b,c均为单位向量，且a+b=c，则a和b的夹角大小为 .
13．某同学用3个全等的小三角形拼成如图所示的等边△ABC，已知EF=3，cs∠ACF=1314，则△ABC的边长为 ．
14．如图，棱长为5的立方体无论从哪一面看，都有两个直通的边长为1的正方形孔，则这个有孔立方体的表面积（含孔内各面）是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E,F分别为A1B1，A1D1的中点.
（1）求五面体ABD−A1EF的体积；
（2）若P在线段A1C1上，CP//平面BDEF，求C1P的长度.
16．P是△ABC所在平面内一点，O,G分别为△ABC的外心和重心，且AP=34BC−23BA．
（1）用AB，AC来表示AP和GP；
（2）若△ABC的面积为3，求△PBC的面积；
（3）若BC=26，求GP⋅OC的值．
17．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且3asinC+ccsA−c=0．
（1）求角A的值．
（2）若△ABC的面积为43，BD=2DC，求线段AD长度的最小值．
18．几何体E−ABCD是四棱锥，△ABD为正三角形，BC=CD=2，∠BCD=120°，M为线段AE的中点.
（1）求证：DM//平面BEC；
（2）线段EB上是否存在一点N，使得D,M,N,C四点共面？若存在，请求出BNBE的值；若不存在，并说明理由.
19．如图，半圆O的直径为2，A为直径延长线上一点，OA=2，B为半圆上任意一点，以AB为一边作等边三角形ABC.
（1）当OB⊥OA时，
①求三角形OAC的面积.
②若OC=mOA+nOB，求m、n.
（2）若OC=mOA+nOB，求m+n的最小值.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】平面向量的坐标运算；平面向量数量积的坐标表示
【解析】【解答】解：因为AB=(2,3)，AC=(3,3)，所以BC=AC−AB=(3,3)−(2,3)=(1,0)，
所以AB⋅BC=2×1+3×0=2.
故答案为：C
【分析】本题考查平面向量的线性运算与数量积坐标运算，关键是先用AC−AB求出BC的坐标，再代入数量积公式完成计算。
2．【答案】D
【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数的模；共轭复数
【解析】【解答】解：因为1−2iz=1+i，所以z=1+i1−2i=1+i1+2i1−2i1+2i=−1+3i5，
所以z=z=−152+352=105.
故答案为：D.
【分析】本题考查复数共轭、复数模长计算，关键是先求出共轭复数z，利用共轭复数模长与原复数模长相等，代入模长公式求值。
3．【答案】B
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系
【解析】【解答】解：以EF所在平面作为下底面还原，则C,E重合，B,H重合，还原成如图正方体：
A，由图可得AB,CD异面不平行，故A错误；
B，显然EF//AB，故B正确；
C，GH∩AB=B，故C错误；
D，由图可得GH,EF异面不平行，故D错误.
故答案为：B
【分析】先还原正方体，标记重合顶点，再逐一判断直线位置关系：异面、相交、平行三类区分，平行棱互相平行，异面 / 相交直线不平行。
4．【答案】B
【知识点】直线与平面平行的判定；平面与平面平行的判定
【解析】【解答】解：取BB1的中点M，B1C1的中点N，连接MN，A1M，A1N，
根据正方体的结构特征，易得EF//MN，A1N//AE，
因为MN⊂平面AEF，EF⊂平面AEF，
故MN//平面AEF，同理A1N//平面AEF，
又A1N∩MN=N，A1N，MN⊂平面A1MN，
所以平面A1MN//平面AEF，又A1P//平面AEF，且A1∈面A1MN，
所以A1P⊂平面A1MN，即点P在平面A1MN与平面BCC1B1的交线MN上，
由题知MN=2，所以动点P的轨迹长度为2.
故答案为：B.
【分析】本题考查面面平行判定与立体几何动点轨迹，关键是构造与平面AEF平行的平面，找到两平面与面BCC1B1的交线，该线段即为P的轨迹，再结合长方体棱长计算线段长度。
5．【答案】B
【知识点】向量的模；平面向量的数量积运算；向量在几何中的应用
【解析】【解答】解：取线段MN的中点O，连接AO、OC、AC，如下图所示：
因为CM⊥CN，所以OC=12MN=2，
因为四边形ABCD为矩形，则AC=AB2+AD2=82+62=10，
因为AM+AN=AO+OM+AO+ON=2AO，
所以AM+AN=2AO=2AC+CO≥2AC−CO=2×10−2=16，
当且仅当AC与CO方向相反时，等号成立，故AM+AN的最小值为16.
故答案为：B
【分析】本题考查向量线性运算与模长最值，核心是利用中点转化AM+AN=2AO，结合直角三角形斜边中线定值、向量三角不等式求解最小值。
6．【答案】A
【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：根据题意，沙漏是由两个圆锥组成的几何体，两部分体积相等，则两部分圆锥的高分别为3，
设沙漏下半部分圆锥的体积为V，沙子上方圆锥的体积为V1，
因为沙子体积占该沙漏容积的1954，即V−V1=1954×2V=19V27，可得V1V=827，
设沙子堆积成的圆台的高为ℎ，所以3−ℎ3=82713=23，解得ℎ=1，
所以沙子堆积成的圆台的高为1.
故答案为：A.
【分析】相似圆锥性质：利用 “相似圆锥体积比等于相似比的立方”，将空白小圆锥与大圆锥的体积比转化为高的比例.
体积占比转化：沙子体积 = 下方圆锥体积 - 空白小圆锥体积，结合总体积占比，建立方程.
简化计算：通过设定单个圆锥体积，利用体积比与相似比的立方关系，快速求解空白小圆锥的高，进而得圆台的高.
7．【答案】D
【知识点】解三角形；解三角形的实际应用
【解析】【解答】解：如图，过M作MM1⊥PQ，垂足为M1，过N作NN1⊥PQ，垂足为N1.
由题意可知，∠MQM1=30∘，∠NQN1=15∘，∠MPM1=15∘，∠NPN1=45∘,PQ=400m，
∴∠MQN=180∘−∠MQM1=150∘，
∴在△MQN中，∠QMP=180∘−150∘−15∘=15∘，
即∠QMP=∠QPM=15∘，∴MQ=PQ=400m；
在△QPN中，∠QPN=180∘−∠NPN1=135∘，
且∠PNQ=180∘−135∘−15∘=30∘，
由正弦定理得，PQsin∠PNQ=NQsin∠NPQ，
即400sin30∘=NQsin135∘，即NQ=4002m，
在△QMN中，∠MQN=180∘−30∘−15∘=135∘，
又MQ=400m，NQ=4002m.
由余弦定理得，MN2=MQ2+NQ2−2MQ×NQcs∠MQN，
解得MN=4005m.
故答案为：D
【分析】本题考查解三角形实际测量问题，先利用等角对等边求出MQ，正弦定理求NQ，最后在△MQN中用余弦定理计算MN。
8．【答案】B
【知识点】平面的基本性质及推论；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：延长AF，CC1且AF与CC1相交于G，连接EG，并与B1C1相交于D，连接FD，则四边形AEDF为所求的截面.
在Rt△ABE中，由AB=2，BE=1，得AE=5.
在Rt△AA1F中，由AA1=2，A1F=2，得AF=22.
因为F为A1C1的中点，所以由平面几何知识可知，△AA1F≌△FGC1.
所以AA1=GC1，FG=AF，即F为AG的中点，所以AG=42.
又由B1E//GC1，可得△B1ED∽△GDC1，
又GC1=2B1E，B1C1=32，所以DC1=22.
在Rt△GDC1中，由DC1=22，GC1=2，得GD=23，所以GE=33.
所以在△AEG中，有AG=42，GE=33，AE=5，
即GE2+AE2=AG2，所以AE⊥GE.又注意到S△AEG=12AG⋅EG⋅sin∠AGE，
S△FDG=12FG⋅DG⋅sin∠AGE=12×12GA⋅23GE⋅sin∠AGE=13S△AEG，
则四边形AEDF的面积为23S△AEG=23×12×33×5=15.
故答案为：B．
【分析】首先延长辅助线找到完整截面四边形，利用直角三角形、相似三角形求出全部关键边长，然后通过勾股定理判定直角，简化三角形面积计算，最后根据线段比例拆分大三角形，得到截面四边形面积。
9．【答案】A,C
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算；复数的模
【解析】【解答】解：A，因为z=a+bi，a,b∈R，则z2=a+bi2=a2+2abi−b2=a2−b2+2abi，
所以z2=a2−b2+2abi=a2−b22+4a2b2=a2+b22=a2+b2，
又z2=a2+b22=a2+b2，所以z2=z2，故A正确，
B，令z=rcsθ+isinθ，则z3=r3cs3θ+isin3θ，所以z3的实部为r3cs3θ，故B错误，
C，令z=rcsθ+isinθ，则z=rcsθ−isinθ，
所以z⋅z=r2csθ+isinθcsθ−isinθ=r2cs2θ+sin2θ=r2，故C正确，
D，若r=1,θ=π4时，则zn=csnπ4+isinnπ4，
当n为偶数时，设n=2k,k∈N+，zn=cskπ2+isinkπ2,k∈N+，
所以k∈N+且为奇数时，zn为纯虚数；k∈N+且为偶数时，zn为实数，故D错误.
故答案为：AC
【分析】A：代数形式分别计算模长验证等式；B：用棣莫弗定理写出z3，指出实部含模的三次方；C：共轭复数三角形式相乘，利用同角平方和化简；D：举偶数n=4的反例推翻命题。
10．【答案】A,B,D
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；平面向量的共线定理；平面向量的基本定理；数量积表示两个向量的夹角
【解析】【解答】解：A、由OC=2BO，可得AC−AO=2(AO−AB)，
则AO=23AB+13AC，故A正确；
B、令AB=a,AC=b，在等边△ABC中，a⋅b=3×3×cs60∘=92，
由选项A得|AO|=13(2a+b)2=134a2+b2+4a⋅b=134×9+9+4×92=7，
OC=23BC=23(AC−AB)=23(b−a)，OA=−13(2a+b)，|OC|=2，
OA⋅OC=29(2a+b)⋅(a−b)=29(2a2−a⋅b−b2)=29(2×9−92−9)=1，
则cs〈OA,OC〉=OA⋅OC|OA||OC|=17×2=714，故B正确；
C、由选项A知，AO=23AB+13AC，而AB=mAM，AC=nAN，
AO=2m3AM+n3AN，而M,O,N共线，则2m3+n3=1，即2m+n=3，故C错误；
D、由选项C知，13(2m+n)=1,m>0,n>0，1m+2n=13(2m+n)(1m+2n)
=13(4+nm+4mn)≥13(4+2nm⋅4mn)=83，当且仅当n=2m时取等号，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】由题意，利用向量的线性运算，以{AB,AC}为基底表示向量AO即可判断A；利用向量的数量积运算律以及向量的夹角公式求解即可判断B；由选项A的结论，结合共线向量定理推论求解即可判断C；由C可知13(2m+n)=1，利用基本不等式“1”的妙用求最小值即可判断D.
11．【答案】A,B,C
【知识点】球的表面积与体积公式及应用；圆柱/圆锥/圆台的表面积及应用；台体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：A：由切线长定理易得l=r1+r2，A正确；
B：由勾股定理知(2R)2=r1+r22−r1−r22=4r1r2，解得R=r1r2，B正确；
C：因为S1S2=4πR2πr12+r22+r1+r2l=4πR22πr12+r22+r1r2=2R2r12+r22+r1r2，
V1V2=43πR313πr12+r22+r1r2ℎ=43πR32Rπ3r12+r22+r1r2=2R2r12+r22+r1r2，
所以S1S2=V1V2,C正确；
D：因为S1S2=2r1r2r12+r22+r1r2=2r1r2+r2r1+1≤23，当且仅当r1=r2时，等号成立，
这与圆台的定义矛盾，故D错误.
故答案为：ABC.
【分析】A：内切圆台切线长性质直接得母线；B：轴截面直角三角形勾股定理推导球半径；C：分别写出表面积、体积比值，化简后表达式完全相同；D：均值不等式求上界，但取等条件与圆台定义冲突，故最大值取不到。
12．【答案】120∘
【知识点】平面向量的数量积运算；数量积表示两个向量的夹角
【解析】【解答】解：由于 a， b， c 均为单位向量，故 a→=1， b→=1， c→=1.
给定 a+b=c，对两边取模的平方得：a→+b→2=c→2代入 c→=1，
可得：a→+b→2=a→⋅a→+2a→⋅b→+b→⋅b→=1+2a→⋅b→+1=2+2×1×1×csa→,b→=1，
解得：csa,b=−12 ，a⃗,b⃗∈0,π,a⃗,b⃗=120∘.
故答案为：120∘
【分析】本题考查向量模长与数量积运算，核心是对向量等式两边平方，利用单位向量模长为 1 求出夹角余弦值，再结合夹角取值范围得到夹角大小。
13．【答案】212
【知识点】解三角形；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：在△AFC中，∠AFC=180∘−60∘=120∘，
又cs∠ACF=1314，则sin∠ACF=3314，
设AF=CE=t>0，则CF=3+t，
在△AFC中，由正弦定理得AFsin∠ACF=ACsin∠AFC，解得AC=73t，
在△AFC中，由余弦定理得AC2=AF2+CF2−2AF⋅CF⋅cs∠AFC，
即499t2=t2+(3+t)2−2t⋅(3+t)⋅−12，
又t>0，解得t=92，则AC=212.
故答案为：212
【分析】本题结合全等三角形、等边三角形性质与正、余弦定理解三角形，先利用正弦定理建立AC与AF的比例，再通过余弦定理构造一元二次方程求出线段参数，最终算出等边三角形边长。
14．【答案】222
【知识点】组合几何体的面积、表面积、体积问题；棱柱/棱锥/棱台的侧面积、表面积及应用
【解析】【解答】解：由题意得，正方体表面去掉每个面上的两个边长为1的正方形后，面积S1=6×52−12×12=138，
6个直通的正四棱柱去掉6个交汇处的小正方体后的侧面积为S2=6×4×5−6×6=84，
所以这个有孔立方体的表面积为S1+S2=138+84=222.
故答案为：222
【分析】本题分两部分算表面积：①立方体外表面，减去每个面开孔缺失的小正方形；②内部孔洞侧壁面积，扣除通道交叉重叠重复计算的面积，两部分相加得到完整含孔表面积。
15．【答案】（1）解：将五面体ABD−A1EF拆成三棱锥E−ABD和四棱锥E−A1ADF，
在三棱锥E−ABD中，可得S△ABD=12×1×1=12，
又由正方体ABCD−A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，A1B1//AB，且E为A1B1的中点，
所以E到平面ABCD的距离等于A1到平面ABCD的距离，即三棱锥的高为1，
在四棱锥E−A1ADF中，可得SA1ADF=12×(1+12)×1=34，
又由正方体ABCD−A1B1C1D1中，A1B1⊥平面ADD1A1，且E为A1B1的中点，
所以E到平面ADD1A1的距离等于为12，即四棱锥E−A1ADF的高为12，
所以五面体ABD−A1EF的体积V=13×12×1+13×34×12=724；
（2）解：设BD∩AC=O，EF∩A1C1=O1，则平面ACC1A1∩平面BDFE=OO1，
又因为CP//平面BDFE，且CP⊂平面ACC1A1，所以CP//OO1，
在矩形ACC1A1中，由AA1=1,AC=2，可得CO=22,A1O1=24，
又因为CP//OO1，所以四边形OO1PC为平行四边形，所以O1P=CO=22，
所以C1P=C1A1−A1O1−O1P=2−24−22=24.
【知识点】直线与平面平行的性质；平面与平面平行的性质；锥体的体积公式及应用
【解析】【分析】（1）由图，将五面体ABD−A1EF拆成三棱锥E−ABD和四棱锥E−A1ADF，再根据锥体的体积公式求解即可；
（2）设BD∩AC=O，EF∩A1C1=O1，根据线面平行的性质证得CP//OO1，再在矩形ACC1A1中，求得CO,A1O1的长，根据CP//OO1，OO1PC为平行四边形，O1P=CO=22，再根据C1P=C1A1−A1O1−O1P求解即可.
（1）解：如图所示，将五面体ABD−A1EF拆成三棱锥E−ABD和四棱锥E−A1ADF，
在三棱锥E−ABD中，可得S△ABD=12×1×1=12，
又由正方体ABCD−A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，A1B1//AB，且E为A1B1的中点，
所以E到平面ABCD的距离等于A1到平面ABCD的距离，即三棱锥的高为1，
在四棱锥E−A1ADF中，可得SA1ADF=12×(1+12)×1=34，
又由正方体ABCD−A1B1C1D1中，A1B1⊥平面ADD1A1，且E为A1B1的中点，
所以E到平面ADD1A1的距离等于为12，即四棱锥E−A1ADF的高为12，
所以五面体ABD−A1EF的体积V=13×12×1+13×34×12=724.
（2）解：设BD∩AC=O，EF∩A1C1=O1，则平面ACC1A1∩平面BDFE=OO1，
又因为CP//平面BDFE，且CP⊂平面ACC1A1，所以CP//OO1，
在矩形ACC1A1中，由AA1=1,AC=2，可得CO=22,A1O1=24，
又因为CP//OO1，所以四边形OO1PC为平行四边形，所以O1P=CO=22，
所以C1P=C1A1−A1O1−O1P=2−24−22=24.
16．【答案】（1）解：由已知AP=34BC−23BA=34AC−AB+23AB=−112AB+34AC，
G为△ABC重心，所以AG=13AB+AC.
GP=AP−AG=AP−13AB+AC=−112AB+34AC−13AB+AC=−512AB+512AC.
（2）解：由（1）GP=−512AB+512AC=512BC，所以GP→//BC→，
所以S△PBC=S△GBC=13S△ABC=13⋅3=1.
（3）解：O为△ABC的外心，设BC中点M，则OM⊥BC，
GP⋅OC=512BC⋅OC=512BC⋅OCcs∠OCB=512BC⋅MC=512BC⋅12BC=524BC2=5 .
【知识点】平面向量的共线定理；平面向量的线性运算；平面向量的基本定理；平面向量的数量积运算
【解析】【分析】(1) 将BC,BA统一转化为AB,AC线性组合得到AP，利用重心向量公式写出AG，通过向量减法GP=AP−AG化简得到GP；
(2) 整理GP表达式发现其与BC共线，得到两三角形同高，面积比等于底边长之比，结合已知△ABC面积求出△PBC面积；
(3) 利用外心性质，取BC中点得到垂直关系，将数量积转化为线段长度运算，代入|BC|的数值计算出GP⋅OC。
（1）由已知AP=34BC−23BA=34AC−AB+23AB=−112AB+34AC，
G为△ABC重心，所以AG=13AB+AC.
GP=AP−AG=AP−13AB+AC=−112AB+34AC−13AB+AC=−512AB+512AC.
（2）由（1）GP=−512AB+512AC=512BC，所以GP→//BC→，
所以S△PBC=S△GBC=13S△ABC=13⋅3=1.
（3）O为△ABC的外心，设BC中点M，则OM⊥BC，
GP⋅OC=512BC⋅OC=512BC⋅OCcs∠OCB=512BC⋅MC=512BC⋅12BC=524BC2=5 .
17．【答案】（1）解：3asinC+ccsA−c=0，由正弦定理可得3sinAsinC+sinCcsA−sinC=0，
因为C∈0,π，所以sinC≠0，所以csA+3sinA−1=0，所以212csA+32sinA=1，
即2csπ3csA+sinπ3sinA=1，即csA−π3=12，
因为0