广东深圳市新安中学（集团）燕川中学2025-2026学年第二学期高二数学期中考试试题

这是一份广东深圳市新安中学（集团）燕川中学2025-2026学年第二学期高二数学期中考试试题，共4页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．下列求导结果正确的是（ ）
A．exx'=exx−1x2B．csx'=sinx
C．xlnx'=lnx+1xD．sin3'=cs3
2．在1+3x5展开式中，x2的系数为（ ）
A．405B．270C．150D．90
3．已知f'x为函数fx的导函数，若fx=12ex−f'2x+1，则f'2=（ ）
A．e2+12B．e24C．e2+24D．e22
4．某学校从周一至周五中选择2天开展社会实践活动，周一和周二不能同时被选中，则不同的选择方案有（ ）
A．7种B．8种C．9种D．10种
5．已知函数f(x)=x3−2ax2+a2x的极小值点是x=−1，则a=
A．0或−1B．−3或−1C．−1D．−3
6．国际高峰论坛上，组委会要从6个国内媒体团和3个国外媒体团中选出3个媒体团进行提问，要求这3个媒体团中既有国内媒体团又有国外媒体团，且国外媒体团不能连续提问，则不同的提问方式的种数为（ ）
A．306B．198C．268D．378
7．已知a=ln32,b=13,c=e−2，则a,b,c的大小关系为（ ）
A．a>b>cB．a>c>bC．b>a>cD．b>c>a
8．设实数x>1，y∈R，e为自然对数的底数，若exlnx+eyeB．eylnxexD．ey0时，f'x+1>0．若不等式fx+lna>fx−lna在−2,+∞上恒成立，则a的取值范围是 ，
四、解答题
15．已知函数fx=ax+lnx−1,a∈R．
（1）若曲线y=fx在点P1,f1处的切线平行于直线y=−x+1，求实数a的值；
（2）讨论函数y=fx的单调区间．
16．有标号为1，2，3，4，5的五个不同的小球，标号为A，B，C的三个不同的盒子，现在要把球全部放入盒内.
（1）共有多少种不同的放法？
（2）若每个盒子不空，则共有多少种不同的放法？
（3）若标号为1，2的两个小球必须放A号盒子，每个盒子不空，则共有多少种不同的放法？
（注意：请写出式子再写计算结果）
17．已知函数f(x)=x3−x2−ax+2在x=1时取得极值．
（1）求函数f(x)的单调区间；
（2）求函数f(x)在区间[−2,2]上的最小值；
（3）若ℎ(x)=f(x)+m,x∈[−2,2]有两个零点，求m的值．
18．在x−2x2n的展开式中，二项式系数最大的项只有第五项，
（1）求n的值；
（2）若第k项是有理项，求k的取值集合；
（3）求系数最大的项.
19．设函数fx=xa+exa∈R,gx=1+lnx．
（1）试求函数y=f'x的极值；
（2）若函数y=fx+agxa∈R在0,+∞上存在单调减区间，求实数a的取值范围；
（3）若fx≥gx在0,+∞上恒成立，求实数a的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】导数的四则运算；导数的乘法与除法法则；简单复合函数求导法则
【解析】【解答】解：A：根据商的求导法则，exx'=(ex)'⋅x−ex⋅(x)'x2=ex⋅x−ex⋅1x2=ex(x−1)x2，故A正确；
B：余弦函数的导数为(csx)'=−sinx，而非sinx，故B错误；
C：根据乘积的求导法则，(xlnx)'=(x)'⋅lnx+x⋅(lnx)'=1⋅lnx+x⋅1x=lnx+1，而非lnx+1x，故C错误；
D：sin3是常数，常数的导数为0，故(sin3)'=0，而非cs3，故D错误。
故答案为：A。
【分析】A：考查商的求导法则uv'=u'v−uv'v2，结合指数函数的导数公式计算即可验证；B：考查基本三角函数的导数公式，余弦函数的导数为负的正弦函数；C：考查乘积的求导法则(uv)'=u'v+uv'，结合对数函数的导数公式计算即可验证；D：考查常数的导数性质，常数的导数恒为0，与三角函数的导数公式区分开。
2．【答案】D
【知识点】二项式定理；二项展开式的通项
【解析】【解答】解：易知展开式中含x2的项为C52133x2=9C52x2=90x2，
所以x2的系数为90.
故答案为：D
【分析】本题考查二项式展开式的通项公式，解题关键是写出通项并找到含x2的项。
3．【答案】B
【知识点】导数的四则运算；基本初等函数导函数公式
【解析】【解答】解：由fx=12ex−f'2x+1，得f'x=12ex−f'2，
所以f'2=12e2−f'2，解得f'2=e24.
故答案为：B.
【分析】先对函数fx求导，再令x=2，列方程求解即可.
4．【答案】C
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：因为从5天中选2天，共有C52=10种．而周一和周二同时被选的选法，共有1种．
因此，满足条件的方案为10−1=9种．
故答案为：C.
【分析】利用组合数先从5天中选2天，再减去周一和周二同时被选的情况即可.
5．【答案】D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解：函数f(x)=x3−2ax2+a2x定义域为R，求导得f'(x)=3x2−4ax+a2，
由题意可得f'−1=0，解得a=−1或−3，
当a=−1时，f'x=3x2+4x+1=(x+1)(3x+1)，
在−∞,−1,f'x>0,f(x)单调递增，−1,−13,f'x0时，设fx=lnx−x+1，则f'x=1x−1，
当01−23=13，即a>b．
又知13>1e2=e−2，所以b>c，所以a>b>c．
故答案为：A.
【分析】令fx=lnx−x+1，证得lnx≤x−1，进而得到a>b，再根据函数y=1x的单调性比较b,c即可.
8．【答案】C
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】由exlnx+ey0得x>a，令f'x0讨论单调性即可.
（1）fx=ax+lnx−1,a∈R，定义域为0,+∞,
所以f'x=−ax2+1x,x∈0,+∞，
因为直线y=−x+1的斜率为−1，
所以f'1=−a+1=−1，所以a=2.
（2）f'x=−ax2+1x=x−ax2，定义域为0,+∞，
若a≤0，则f'x>0在0,+∞恒成立，故fx在0,+∞递增；
若a>0，令f'x>0得x>a，令f'x0，当−130，当−130，函数y=fx+agx在0,+∞上单调递增，故不存在单调减区间；
②当a0，函数y=fx+agx在x0，+∞上递增，
所以当a0，
所以qx=x2ex+lnx在0,+∞上单调递增，
因为q1e=e1e−2−10，
根据零点存在定理知，存在唯一x0∈1e，1，有x02ex0+lnx0=0，即x0ex0=−lnx0x0，
且在0,x0上有qx0；
由p'x=−x2ex+lnxx2=−qxx2，当x∈0,x0时，p'x>0；当x0,+∞时，p'x0，函数y=fx+agx在0,+∞上单调递增，故不存在单调减区间；
②当a0，函数y=fx+agx在x0，+∞上递增，
所以当a0，
所以qx=x2ex+lnx在0,+∞上单调递增，
因为q1e=e1e−2−10，
根据零点存在定理知，存在唯一x0∈1e，1，有x02ex0+lnx0=0，即x0ex0=−lnx0x0，
且在0,x0上有qx0；
由p'x=−x2ex+lnxx2=−qxx2，当x∈0,x0时，p'x>0；当x0,+∞时，p'x