湘教版（2024）八年级上册（2024）第1章 因式分解1.3 公式法第一课时教案及反思

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课题
1.3公式法（1）
单元
第1单元
学科
数学
年级
八年级上册
教材分析
本课时主要是让学生经历通过整式乘法的平方差公式的逆向运用得出因式分解的平方差公式的过程，发展学生的观察能力和逆向思维能力,让学生进一步了解分解因式与整式的乘法运算之间的互逆关系.同时还体现了数学的众多思想,如:“类比”思想、“整体”思想、“换元”思想等.它既是对前面所学知识的应用，又是为后续学习作铺垫,因此本节课在教材中起到了承上启下的重要的作用.
核心素养
能力培养
1.学生能够抽象实际生活的问题中的数量关系，概括提公式法(运用平方差公式因式分解)的实际意义，并运用平方差公式因式分解解决现实中的应用问题;
2.在对平方差公式因式分解的探究中，了解平方差公式的几何意义，以及在实际生活中的应用;通过对运用平方差公式进行因式分解的探究学习，在经历猜想、验证、归纳的学习过程中，体会归纳的数学思想方法，逐步养成用数学语言表达与交流的习惯，感悟数据的意义与价值.
教学目标
1.会用平方差公式进行因式分解.
2.经历探索利用平方差公式进行因式分解的过程，发展学生的逆向思维，渗透数学的“互逆”、“换元”、“整体”的思想，感受数学知识的完整性.
3.在探究的过程中培养学生独立思考的习惯,在交流的过程中学会向别人清晰地表达自己的思维和想法，在解决问题的过程中让学生深刻感受到“数学是有用的”。
教学重点
掌握公式法中的平方差公式进行分解因式.
教学难点
灵活运用公式法或已学过的提公因式法进行分解因式，正确判断因式分解的彻底性.
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
复习回顾
1.什么叫做因式分解？
把一个多项式化成几个整式的积的形式，这样的变形叫做因式分解.
2.我们已学习过什么因式分解的方法？
提公因式法.
学生根据已学知识回答。
复习之前学的知识，为本课时的教学做好铺垫。
新知探究
说一说：
请说出平方差公式.
（x + y）（x - y）= x2 - y2
上述公式中的 x，y，可以分别用任何数或任意多项式代入.
例如，在平方差公式中，将y用5代入得到等式：
（x + 5）（x - 5）= x2 - 52 = x2 - 25.
把这个等式从右到左使用，就可以把多项式x2 - 25因式分解：
x2 - 25 = x2 - 52 =（x + 5）（x - 5）.
公式法:
像上面那样，把乘法公式从右到左使用，就可以把某些形式的多项式因式分解. 这种因式分解的方法叫作公式法.
依据：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积。
a²−b²= (a+b) (a−b)
例1
把多项式25x2 - 4y2因式分解.
分析：由于25x2=（5x）2，4y2=（2y）2，利用平方差公式可得（5x+2y）（5x-2y）=（5x）2-（2y）2，将其从右到左使用就可以把25x2 - 4y2因式分解.
解:25x2 - 4y2=（5x）2 -（2y）2 =（5x + 2y）（5x - 2y）
做一做：
把多项式（x + y）2 -（x - y）2因式分解.
解：由平方差公式得
[（x + y）+（x - y）] [( x + y ) -( x - y ) ]=( x + y )2 -( x - y )2，
于是（x + y）2 -（x - y）2 =［（x + y）+（x - y）］［（x + y）-（x - y）］= 2x⋅2y = 4xy.
议一议：
与同学交流，具有什么特征的多项式可用平方差公式分解因式？
可以用平方差公式分解因式的多项式的特征：
1.多项式有两项；
2.这两项异号；
3.两项是平方差.
平方差公式分解因式：a²−b²= (a+b) (a−b)
注意：公式中的字母 a，b 可以表示数、单项式或多项式.
例2
把多项式x4 - y4 因式分解.
解：x4 - y4 =（x2）2 -（y2）2
=（x2 + y2）（x2 - y2）
=（x2 + y2）（x + y）（x - y）.
例3
把多项式x5 - x3 y2因式分解.
分析：多项式x5 - x3 y2的各项有公因式x3，故应先提公因式，然后运用公式法进行因式分解.
解:x5 - x3 y2= x3（x2 - y2）= x3（x + y）（x - y）.
例4
把多项式x4 - 9因式分解.
解：x4 - 9=（x2）2 - 32
=（x2 + 3）（x2 - 3）
=（x2 + 3）［x2 -（ 3）2］
=（x2 + 3）（x + 3）（x - 3）
在进行因式分解时，必须进行到每一个因式都不能分解为止。
做一做：
用简便方法计算：
（1） 6. 12 - 3. 92； （2） 0. 122 - 0. 882.
解：（1）原式=（6.1+3.9）（6.1-3.9）=10×2.2=22
（2）原式=（0.12+0.88）（0.12-0.88）=1×（-0.76）=-0.76
利用平方差公式因式分解的步骤：
1.若多项式中有公因式，应先提取公因式，再进一步分解因式；
2.剩余因式若有两项，异号，两项是平方差，则用平方差公式继续分解因式.
注意：每个因式要分解到不能继续分解为止.
学生思考回答。
在教师的引导下，学生总结。
学生尝试用平方差公式分解因式。
学生总结利用平方差公式因式分解的步骤。
从平方差公式引出因式分解的公式法。
提高学生的总结概括能力。
引导学生用自己的语言叙述所发现的公式特点，允许学生之间互相补充，教师不
急于概括，对表现好的同学进行鼓励，引导学生往正确的方向走.让学生通过观察、归纳，鼓
励他们发现这个公式的一些特点，如公式左右边的结构特征，为下一步运用公式进行简单计算打下基础.
培养学生学会用整体法的意识，深化对平方差公式在因式分解中的应用.凡是能满足公式特点的都能用公式求解，进一步强调公式字母a，b可以是具体数，也可以是单项
式、多项式，加深学生的印象.
学生根据本节知识及例题总结概括，提高总结能力，树立自信心。
课堂练习
1.把下列多项式因式分解：
（1） 1 - 25y2； （2） x2 - 16y2；
（3）（x - y）2 -（x + y）2；
（4） x4 - 81y4；（5） x3 - xy2； （6） x6 - 3x4
解：(1)原式=（1 - 5y）(1 + 5y)
(2)原式=（x -4y）(x+4y)
(3)原式=（x - y-x - y）(x - y+x + y) =-2y·2x=-4xy
(4)原式=（x2 - 9y2）(x2 +9y2)=(x+3y)(x-3y)(x2 +9y2)
(5)原式=x（x2 -y2）=x（x -y）（x +y）
(6)原式=x4（x2 - 3）=x4（x-3）（x+3）
2.用简便方法计算：
（1） 49. 62 - 50. 42； （2） 13. 32 - 11. 72；（3） 0. 152 - 0. 352.
解：(1)原式=（49.6+50.4）(49.6-50.4)=100×（-0.8）=-80
(2)原式=（13.3 - 11.7）(13.3 + 11.7) =1.6×25=40
(3)原式=（0.15 - 0.35）(0.15 + 0.35) =-0.2×0.5=-0.1
学生利用已学知识解答，小组交流讨论，派代表展示答案。
通过练习巩固本课所学，及时发现学生掌握新知识的情况，巩固并学习新知识。
课堂小结
公式法:
定义：把乘法公式从右到左使用，就可以把某些形式的多项式因式分解. 这种因式分解的方法叫作公式法.
2.平方差公式因式分解：
a²−b²= (a+b) (a−b)
步骤：（1）若多项式中有公因式，应先提取公因式，再进一步分解因式；
（2）剩余因式若有两项，异号，两项是平方差，则用平方差公式继续分解因式.
学生回顾总结本节知识点，教师系统归纳。
帮助学生归纳总结，巩固所学知识。
作业布置
必做题：教材习题1.3--学而时习之 1题
选做题：教材习题1.3--温故而知新 4题