初中数学人教版（2024）八年级上册（2024）综合与实践 最短路径问题优质课件ppt

这是一份初中数学人教版（2024）八年级上册（2024）综合与实践 最短路径问题优质课件ppt，共28页。PPT课件主要包含了我们以前学过，问题转化为，作图过程，同侧转化异侧，实际问题，数学问题，MN平移到AA′，AM+NB最短，AMA′N，连接A′B等内容，欢迎下载使用。
1. 掌握直线同侧两点到线上一点的距离和最小问题，了解运用平移法解决造桥问题，在解决实际问题的过程中强化应用意识. (重点、难点)2. 通过轴对称变换、平移变换体会转化思想.
大唐边陲，烽火连绵。将军受命戍边，白日登山瞭望烽火，黄昏需至交河饮马，再返回宿营地。因战马长途奔袭体力有限，如何规划 “山脚下出发→交河饮马→宿营地” 路线，让总路程最短，成了将军与随行幕僚常琢磨的事儿，也成了军中探讨的趣味智题 。
①两点的所有连线中，线段最短.
我们称这种问题为最短路径问题.今天我们将探究新情境下的最短路径问题.
②连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.
活动探究一： 将军饮马问题
当点 C 在 l 的什么位置时，AC 与 CB 的和最小.
如何把这个问题抽象为数学问题？
问题1：如图，点 A，B 是直线 l 异侧的两个点，如何在 l 上找到一个点，使得这个点到点 A、点 B 的距离的和最小？依据是什么？
连接 AB ，交直线 l 于点 C ，则 AC ＋BC 最小．
依据：两点之间，线段最短.
问题2：如果 A，B 位于直线 l 的同侧时，如何使得这个点到点 A、点 B 的距离的和最小 .
如图，我们可作出点 B 关于 l 的对称点 B′，利用轴对称的性质，可以得到 B′C＝BC . 则 AC ＋ BC＝ AC＋B′C .
当点 C 在 l 的什么位置时，AC 与 B′C 的和最小？
问题3：根据上面的分析，当点 C 在 l 的什么位置时，AC 与 BC 的和最小？
在连接 A，B′ 两点的所有线段中，线段 AB′ 最短．因此，线段 AB′ 与直线 l 的交点 C 的位置即为所求，即此时AC ＋ BC 最小．
(1) 作点 B 关于直线 l 的对称点 B′；
(2) 连接 AB′，与直线 l 相交于点 C．则点 C 即为所求．
思考：你能用所学的知识证明：AC + BC 最短吗？
证明：如图，在直线 l 上任取一点 C′ (与点 C 不重合)，连接 AC′，BC′，B′C′.
由轴对称的性质知 BC = B′C，BC′ = B′C′．
∴ AC + BC = AC + B′C = AB′， AC′ + BC′ = AC′ + B′C′．
在△AB′C′ 中，AB′＜AC′ + B′C′，
∴ AC + BC＜AC′ + BC′，即 AC + BC 最短．
通过轴对称将同侧点转化为异侧
利用两点之间，线段最短，化折为直
变式探究：如图 ，将军牵马从军营 P 处出发，到河流OA 饮马，再到草地 OB 吃草，最后回到 P 处，试分别在边 OA 和 OB 上各找一点 E 、F，使得走过的路程最短．
如图所示，分别作点 P 关于 OA ，OB 的对称点 C 、D ，连接 CD 分别交 OA ，OB 于 E、F，则路线 PE ，EF，PF 即为所求 .
拓展探究：如图，牧民从 A 地出发，先到草地边 m 某一处牧马，再到河边 n 饮马，最后回到 B 处. 牧民怎样走可使所走的路径最短？
解：作点 A 关于直线 m 的对称点 A'，作点 B 关于直线 n 的对称点 B'，连接 A'B'，分别交 m，n 于 P，Q 两点，牧民沿折线 A→P→Q→B 可得走可使所走的路径最短。
情境探究：如图，A 和 B 两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥 MN. 桥造在何处可使从 A 到 B 的路径 AMNB 最短(假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直)？
活动探究二： 造桥选址问题
问题1：把上述问题抽象为数学问题，河的两岸是平行的直线，桥与河垂直．那么 AM ＋MN＋NB 最小能否进一步转化？
当点 N 在直线 b 的什么位置时，AM+MN+NB 最小？
MN 的长度是固定的，即求 AM + NB 最小值 .
A′N + NB 最短
A′、N、B 三点共线
问题2：能否通过图形的变化(轴对称、平移等)将这个问题简化？
问题3：你能找到所要求的 N 点的位置吗？
(2) 连接 A′B ，交直线 b 于点 N ，则点 N 即为所求．即在点 N 处建桥 MN .
(1) 将 MN 平移至 AA′ ，
活动探究二 造桥选址问题
A. B. C. D.
4．如图，一个人从C点骑马出发到D点，但他必须先到河岸边l1的P点让马饮水，然后再到河岸边l2的Q点，再次让马饮水，最后骑马到D点．他应如何选择饮水点P，Q，才能使所走的路程CP＋PQ＋QD最短？请说明理由．
解：如图，作点C关于l1的对称点C′，作点D关于l2的对称点D′，连接C′D′，分别交l1，l2于点P、点Q，连接CP，QD，此时所走的路程CP＋PQ＋QD最短．
理由：因为C和C′关于直线l1对称，所以对于直线l1上任意一点P′，都有CP′＝C′P′.因为D和D′关于直线l2对称，所以对于直线l2上任意一点Q′，都有DQ′＝D′Q′，所以所走路程为CP′＋P′Q′＋Q′D＝C′P′＋P′Q′＋Q′D′≥C′D′，故当C′，P′，Q′，D′四点共线，即点P′在点P处，点Q′在点Q处时，所走路程CP＋PQ＋QD最短．
A. B. C. D.