初中湘教版（2024）3.6 一次函数的应用教案

这是一份初中湘教版（2024）3.6 一次函数的应用教案，共3页。教案主要包含了知识技能类作业，综合拓展类作业等内容，欢迎下载使用。
课型
新授课☑ 复习课☐ 试卷讲评课☐ 其他课☐
教学内容分析
《利用一次函数解决预测类型问题、双函数问题》是湘教版八年级下册第3章《一次函数》的第六节第一课时的内容。本节课承接一次函数表达式与性质的学习，通过指尖距与身高、行程问题等实际情境，引导学生建立一次函数模型解决问题，让学生体会函数建模的实用性，强化“从实际问题到函数模型再到解决问题”的完整流程，为后续复杂函数应用奠定基础。
学习者分析
学生已掌握一次函数表达式的求法和图象性质，具备初步的方程建模能力，但在从实际情境中提取变量、确定自变量取值范围、分析函数意义时仍有困难，对“如何将生活问题转化为数学函数”的逻辑不够清晰，需要教师引导梳理建模步骤。
教学目标
1.能从实际情境中提取变量，建立一次函数模型并求出表达式。
2.会利用一次函数表达式解决实际问题，理解自变量取值范围的意义。
3.能结合函数图象分析实际问题，体会数形结合思想。
4.提升数学建模能力，感受函数在生活中的应用价值。
教学重点
从实际情境中建立一次函数模型并解决问题。
教学难点
准确提取实际问题中的变量关系，确定自变量取值范围。
学习活动设计
教师活动
学生活动
环节一：新知导入
教师活动1：
回顾：1.一次函数与正比例函数的一般形式是什么？
2.有什么方法确定一次函数与正比例函数的表达式？
教师讲授：
1.形如y=kx+b（k，b为常数，k≠0）的函数称为一次函数.
形如y=kx（k为常数，k≠0）的函数称为正比例函数.
2.待定系数法
学生活动1：
快问快答，举手回答问题
认真听讲
活动意图说明：复习导入有利于衔接新旧知识，提高学习效率。通过旧知识引入新的知识有利于活跃课堂教学氛围，激发学生学习动机。
环节二：探究新知
教师活动2：
探究：一次函数的应用
【思考】伸出一只手掌，把大拇指与小拇指尽量张开，测量两指指尖间的最大距离，这个距离简称为指尖距.假设指尖距与身高具有如下关系：
指距 x/cm
19
20
21
身高 y/cm
151
160
169
(1) 身高y与指尖距x之间可用函数关系式刻画吗？如果可以，其表达式是怎样的？
(2) 若李华的指尖距为22cm，你能估计他的身高吗？
教师提问：
问题1：指距每增加1cm,身高增加多少？这说明了什么？
问题2：怎么求它的函数表达式？
解：∵指尖距每增加1cm，身高对应增加9cm，
∴身高y与指尖距x的函数关系可以尝试用一次函数来刻画.
设一次函数表达式为y=kx+b(k，b为常数，k≠0).
将x=19，y=151与x=20，y=160代入上式，得19k+b=151，20k+b=160.
解得k=9，b=−20.
于是y=9x−20.
将x=21，y=169代入上式，也符合.
故y=9x−20就是身高y与指尖距x之间的函数表达式.
解： (2)当x=22时，y=9×22−20=178.
因此，李华的身高大约是178cm.
【归纳】建立一次函数模型解决实际问题的一般步骤：
1.分析已知数据的变化规律，确定合理的函数模型；
2.设出函数表达式，利用待定系数法，代入已知数据求出函数表达式；
3.进行检验，验证其他数据是否符合求得的函数表达式；
4.应用这个函数模型解决实际问题.
学生活动2：
认真阅读
认真思考，举手回答问题
认真思考，独立完成习题
认真听讲
认真听讲，了解建立一次函数模型解决实际问题的一般步骤
活动意图说明：通过指尖距与身高的实际问题，引导学生掌握一次函数建模步骤，提升用数学解决实际问题的能力，体会数学的实用性。
环节三：例题精讲
教师活动3：
例1已知甲、乙两地相距40km，小徐8:00骑自行车由甲地去乙地，平均车速为8km/h；小李10:00坐公共汽车也由甲地去乙地，平均车速为40km/h.设小徐所用的时间为xh，小徐与甲地的距离为y1km，小李离甲地的距离为y2km.
(1)分别写出y1，y2与x之间的函数表达式；
(2)在同一个直角坐标系中，画出这两个函数的图象，并指出谁先到达乙地.
教师提问：题目中的等量关系是什么？
解：(1)由“路程=速度×时间”可知y1=8x，
∵甲、乙两地相距40km
∴ 0≤8x≤40
故自变量x的取值范围是0≤x≤5.
∵小李比小徐晚出发2h，
∴小李所用时间为(x−2)h，且x−2≥0.
∴y2=40(x−2),且40(x−2)≤40
故自变量x的取值范围是2≤x≤3.
（2）将以上两个函数的图象画在同一个直角坐标系中，如图所示.
过点M(0，40)作射线l与x轴平行，它先与射线y2=40(x−2)相交，这表明小李先到达乙地.
可建立一次函数模型的情形：
1.是实际生活中一些基本数量关系，没有与一次函数有关的文字叙述，如长方形的面积=长×宽，路程=速度×时间等，凭生活经验可以直接建立一次函数模型；
2.是用数据给出两个变量的一些对应值，如果因变量是随自变量均匀变化的，那么因变量可以看作自变量的一次式，并确函数；
3.是以图象提供信息的，如果图象是一条直线或射线或线段或直线上的一些点，那么纵轴所代表的变量一定是横轴所代表变量的一次函数。
学生活动3：
学生认真思考，独立完成习题
认真听讲
认真作图
认真听讲，了解建立一次函数的常见情形
活动意图说明：让学生通过具体例题的教学理解和巩固数学基础知识，把数学理论与实践相结合，掌握数学基础知识理论的用途和方法，从而达到提高分析问题解决问题的能力的目标。
环节四：课堂总结
教师活动4：
建立一次函数模型解决实际问题的一般步骤：
1.分析已知数据的变化规律，确定合理的函数模型；
2.设出函数表达式，利用待定系数法，代入已知数据求出函数表达式；
3.进行检验，验证其他数据是否符合求得的函数表达式；
4.应用这个函数模型解决实际问题.
学生活动4：
学生跟随教师对学习内容进行归纳梳理
活动意图说明：对课堂教学进行归纳梳理，给学生一个整体印象，促进学生掌握知识总结规律。
板书设计
课堂练习
【知识技能类作业】
必做题：
1.某种蜡烛燃烧的长度与燃烧时间成正比例关系．若点燃6分钟后，高度下降3.6cm，则长22cm的此种蜡烛点燃15分钟后，剩余蜡烛的长度为（ ）
A．11cm B．12cm C．13cm D．14cm
2.甲无人机从地面起飞，乙无人机从距离地面20m高的楼顶起飞，两架无人机同时匀速上升10s．甲、乙两架无人机所在的位置距离地面的高度y（单位：m）与无人机上升的时间x（单位：s）之间的关系如图所示，10s时，两架无人机的高度差为（ ）
A．10m B．15m C．20m D．25m
3.小明走楼梯回家，他所走的台阶总数m（个）是楼层的层数n（层）（n≥2且n为整数）的一次函数，其部分对应值如表所示：
层数 n/层
2
3
4
5
…
台阶总数m/个
42
70
98
126
…
当层数为20层时，小明走的台阶总数为 （ ）
A．560个 B．546个 C．574个 D．592个
选做题：
4.某种商品的销售量y(万元)与广告投入x(万元)成一次函数关系，当投入10万元时，销售额为1000万元，当投入90万元时，销售额为5000万元.则投入80万元时，销售额为 万元.
5.如图，将规格相同的某种盘子，整齐地摞在一起，4个这种盘子摞在一起的高度为6cm，7个这种盘子摞在一起的高度为9cm．若设x个这种盘子摞在一起的高度为ycm，则当x=15时，y的值为 ．
6.如图所示，某弹簧的长度ycm与所挂物体的质量xkg的关系是一次函数，则弹簧不挂物体时的长度是 cm．
【综合拓展类作业】
7.连平县上坪镇是中国鹰嘴蜜桃之乡，今年鹰嘴蜜桃价格大涨，农民收益颇丰，某天一农户采收A级、B级鹰嘴蜜桃共300斤，A级鹰嘴蜜桃售价每斤12元，B级鹰嘴蜜桃售价每斤8元．
（1）求该农户全部售出这些鹰嘴蜜桃的收入y（元）与采收的A级鹰嘴蜜桃数量x（斤）之间的函数关系式；
（2）若当天全部售出这些鹰嘴蜜桃的总收入为2920元，求售出的A级鹰嘴蜜桃的数量．
作业设计
【知识技能类作业】
必做题：
1.如图，一次函数的图象与两坐标轴分别交于A，B两点，P是线段AB上任意一点（不包括端点），过P点分别作PD⊥x轴，PC⊥y轴，垂足分别为D，C，则四边形PDOC的周长是（ ）
A．12 B．62 C．10 D．6
2.如图表示的是甲、乙两船沿相同路线从A港出发到B港的行驶过程中，路程y（km）随时间t（h）变化的图象，则乙船出发多长时间赶上甲船（ ）
A．1.5h B．2h C．2.5h D．3.5h
3.某公司生产了A，B两款新能源电动汽车．如图，l1，l2分别表示A款，B款新能源电动汽车充满电后电池的剩余电量y(kw⋅h)与汽车行驶路程x(km)的关系．当两款新能源电动汽车的行驶路程都是250km时，A款新能源电动汽车电池的剩余电量比B款新能源电动汽车电池的剩余电量多 kw⋅h．
【综合拓展类作业】
4.A，B两地相距80km，甲、乙两人沿同一条路从A地到B地，l1,l2分别表示甲、乙两人离开A地的距离s（km）与时间t（h）之间的关系．
（1）求l1，l2的函数关系式．
（2）几小时后，甲乙两人相距10km？
教学反思
本节课通过生活化实例引导学生建模，贴近学生认知，但部分学生在分析行程问题的时间差、变量关系时易混淆，对自变量取值范围的理解不够透彻。后续需增加分层练习，强化建模步骤的规范性，同时设计更多贴近生活的情境，帮助学生建立问题与函数的直观联结。