2026年新教材北师大版数学暑假七升八衔接讲义第03讲 实数的认识与运算（解析版）

这是一份2026年新教材北师大版数学暑假七升八衔接讲义第03讲 实数的认识与运算（解析版），共9页。学案主要包含了无理数，实数的性质，实数与数轴，实数的大小比较，无理数的大小估算，勾股定理与无理数，实数的混合运算，新定义下的实数运算等内容，欢迎下载使用。
典型例题一 无理数
典型例题二 实数的性质
典型例题三 实数与数轴
典型例题四 实数的大小比较
典型例题五 无理数的大小估算
典型例题六 勾股定理与无理数
典型例题七 实数的混合运算
典型例题八 新定义下的实数运算
典型例题九 与实数运算相关的规律题
典型例题十 实数运算的实际应用
知识点01 实数
有理数和无理数统称为实数.
1.实数的分类
按定义分：
实数
按与0的大小关系分：
实数
2.实数与数轴上的点一一对应.
数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应.
【即时训练】
1．（24-25七年级下·上海浦东新·期中）下列说法中正确的是（ ）
A．无限小数都是无理数B．无理数都是无限小数
C．实数可以分为正实数和负实数D．两个无理数的和一定是无理数
【答案】B
【分析】根据实数的分类对各选项进行逐一分析即可．
【详解】解：A、无限循环小数是有理数，故本选项错误；
B、无理数都是无限小数符合无理数的定义，故本选项正确；
C、实数可以分为正实数和负实数和0，故本选项错误；
D、当两个无理数互为相反数时，此和为有理数，故本选项错误．
故选：B．
【点睛】本题考查的是实数的分类，解答此类问题的关键是熟练掌握实数按定义分类和按正负性质分类的两种分类方法．
2．（25-26七年级下·安徽亳州·阶段检测）实数的相反数是______．
【答案】
【详解】解：的相反数为：．
知识点02 实数大小的比较
对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总是比左边的点表示的实数大.
正实数大于0，负实数小于0，两个负数，绝对值大的反而小.
【即时训练】
1．（2026·山东菏泽·二模）下列四个数中，绝对值最大的数是（ ）
A．B．0C．D．
【答案】D
【详解】解：∵，且，
∴绝对值最大的数是．
2．（2026·安徽六安·二模）在电子制作的过程中，我们发现电阻的阻值为，电阻的阻值为，比较大小：_____2.3（填“＞”或“＜”）．
【答案】
【分析】要比较两个正数的大小，可将两个数分别平方，通过比较平方结果的大小得到原数的大小关系，正数中平方更大的数更大．
【详解】解： ， ，
，， ，
．
知识点03实数的运算
有理数关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数.
当数从有理数扩充到实数以后，实数之间不仅可以进行加、减、乘、除（除数不为0）、乘方运算，而且正数及0可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算.在进行实数的运算时，有理数的运算法则及运算性质等同样适用.
【即时训练】
1．（25-26八年级上·广东河源·阶段检测）计算的结果为（ ）
A．11B．C．1D．
【答案】D
【详解】解：．
2．（2026·浙江丽水·模拟预测）______．
【答案】1
【详解】解：
【典型例题一 无理数】
【例1】（2026·山东德州·二模）下列四个选项中，无理数的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据无理数和有理数的定义，逐一判断选项即可得到答案．
【详解】解：∵无理数是无限不循环小数，有理数是整数和分数的统称，
∴、是整数，属于有理数，不符合题意；
、是开方开不尽的数，属于无限不循环小数，是无理数，符合题意；
、是整数，属于有理数，不符合题意；
、是整数，属于有理数，不符合题意．
【例2】（2026·河北·二模）已知数据：，，，，．其中有理数出现的频率为（ ）
A．0.2B．0.6C．0.7D．0.8
【答案】B
【分析】先根据有理数的定义，找出题目中所有有理数，得到有理数的频数，再根据频率=频数÷数据总数计算结果．先化简含根号的数（如），再区分有理数与无理数；易错点是误将当作无理数，或忘记频率的计算方法．
【详解】∵ 数据总数为个，根据有理数的定义判断：
是分数，属于有理数；是无理数；是整数，属于有理数；是无理数；是有限小数，属于有理数．
∴ 有理数的频数为，
∴ 有理数出现的频率为．
【例3】（25-26七年级下·陕西延安·期中）实数中是无理数的是______．
【答案】
【分析】根据无理数的定义，即无限不循环小数是无理数，对给出的每个实数逐一判断，即可得到结果．
【详解】解：是分数，分数属于有理数，
是有限小数，属于有理数，
，是整数，属于有理数，
开立方开不尽，是无限不循环小数，无理数．
【例4】（25-26七年级下·河南安阳·期中）在实数，，，（相邻两个之间依次多个），，中，无理数有_____________个．
【答案】
【分析】根据无限不循环小数叫做无理数，对各数逐一判断即可．
【详解】解：，，，，（相邻两个之间依次多个），，中，无理数有，，（相邻两个之间依次多个），，共个．
1．（25-26八年级上·全国·课后作业）判断下列说法正确与否．如果不正确，请举反例说明．
(1)无限小数都是无理数．
(2)无限小数都是实数．
(3)带根号的数都是无理数．
(4)实数都是有理数．
(5)实数都是无理数．
【答案】(1)不正确，反例：（无限循环小数）
(2)正确
(3)不正确，反例：
(4)不正确，反例：
(5)不正确，反例：1
【分析】本题考查了实数、有理数、无理数和无限小数的概念．有理数包括整数和分数（无限循环小数），无理数是无限不循环小数，实数包括有理数和无理数．无限小数包括无限循环小数（有理数）和无限不循环小数（无理数）．带根号的数不一定都是无理数，有些是有理数．实数包括有理数和无理数，因此不都是有理数或不都是无理数．
（1）根据无限小数和无理数的概念判断即可；
（2）根据无限小数和实数的概念判断即可；
（3）根据无理数的概念判断即可；
（4）根据实数的概念判断即可；
（5）根据实数的概念判断即可．
【详解】（1）解：∵无限小数包括无限循环小数和无限不循环小数，无限循环小数是有理数，不是无理数，例如是有理数，
∴说法不正确．
（2）解：∵所有无限小数都是实数，因为实数包括有理数和无理数，而无限小数要么是有理数（循环），要么是无理数（不循环），
∴说法正确．
（3）解：∵带根号的数不一定都是无理数，例如，2是有理数，
∴说法不正确．
（4）解：∵实数包括有理数和无理数，例如π是无理数，也是实数，但π不是有理数，
∴说法不正确．
（5）解：∵实数包括有理数和无理数，例如1是有理数，也是实数，但1不是无理数，
∴说法不正确．
2．（24-25八年级上·陕西西安·阶段检测）课堂上，老师让同学们从下列数中找一个无理数：，，，0，，，其中，甲说“”，乙说“”，丙说“”．
(1)甲、乙、丙三个人中，说错的是______．
(2)请将老师所给的数字按要求填入相应的区域内．
【答案】(1)甲
(2)见解析
【分析】本题考查了实数的分类识别，明确基本概念并准确区分是解题关键．
（1）根据无理数的概念即可判断；
（2）根据实数相关概念填空即可．
【详解】（1）解：是有理数，和是无理数，
说错的是甲，
故答案为：甲；
（2），，
3．（24-25七年级下·福建厦门·阶段检测）【阅读理解】
定义：可以表示为两个互质整数的商的形式的数称为有理数，整数可以看作分母为1的有理数；反之为无理数．如不能表示为两个互质（没有相同的因数）的整数的商，所以是无理数．可以这样证明：
解：设，a与b是互质的两个整数，且，
则，即_________①．
∵是整数且不为，
∴是的倍数．
设（是整数，且），
则．
∴_________②．
∴也是的倍数，与，是互质的整数矛盾．
∴是无理数．
【解决问题】
(1)写出①，②表示的代数式，使证明过程完整；
①__________________；②__________________
(2)证明：是无理数．
【答案】(1)①；②
(2)证明见解析
【分析】考查了无理数的概念，解题的关键是根据所给事例模仿去做，做到举一反三．
（1）根据等式性质得出结论即可；
（2）类比是无理数的证明进行证明即可．
【详解】（1）解：设，与是互质的两个整数，且，
则
即．
因为是整数且不为，
所以是不为的偶数．
设（是整数，且），
则．
所以．
所以也是偶数，与，是互质的整数矛盾．
所以是无理数．
故答案为：，．
（2）设，与是互质的两个整数，且，则，
所以，
，是整数且不为，
为的倍数．
设（是整数），
，
也是的倍数，与与是互质的整数矛盾，
是无理数．
【典型例题二 实数的性质】
【例1】（2026·重庆巴南·模拟预测）实数7的绝对值是（ ）
A．7B．C．D．
【答案】A
【详解】解：．
【例2】（25-26八年级上·河南南阳·阶段检测）下列说法正确的是（ ）
A．两个无理数的积仍为无理数
B．两个整数相除，如果被除数除以除数永远除不尽，那么结果一定是个无理数
C．无理数可以用分数来表示，例如
D．任意一个无理数的绝对值都是正数
【答案】D
【分析】本题考查了无理数、绝对值，理解无理数的概念是解答的关键．根据无理数、绝对值的定义逐一判断即可求解，
【详解】解：A．两个无理数的积可能是有理数，例如，原说法错误，不符合题意；
B．两个整数相除，而无限循环小数是有理数，原说法错误，故不符合题意；
C．无理数不可以用分数来表示，是无理数，不是分数，原说法错误，故不符合题意；
D．任意一个无理数的绝对值都是正数，正确，故符合题意．
故选：D．
【例3】（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）实数的相反数是__________．
【答案】
【分析】只有符号不同的两个数互为相反数，据此即可获得答案．
【详解】解：实数的相反数是．
【例4】（24-25七年级下·山西大同·阶段检测）若互为相反数，互为倒数，的绝对值为，则______．
【答案】7
【分析】本题主要考查了相反数，倒数，绝对值的性质，掌握以上知识的计算是关键．
根据题意，，由此即可求解．
【详解】解：互为相反数，互为倒数，的绝对值为，
∴，
∴当时，
；
当时，
；
故答案为：．
1．（25-26八年级上·全国·课后作业）判断下列说法是否正确．若正确，请说明理由；若不正确，请举例说明．
(1)已知两个实数a，b，则．
(2)两个无理数的和一定是无理数．
【答案】(1)不正确；举例见详解
(2)不正确；举例见详解
【分析】本题考查实数的性质，通过举反例判断说法的正确性．
（1）考虑b的符号并举例即可判断．
（2）考虑互为相反数的无理数即可求解．
【详解】（1）解：不正确，理由如下：
当时，，例如，则，因此说法不正确．
（2）解：不正确，理由如下：
两个无理数的和不一定是无理数，例如无理数和，
它们的和为0（有理数），因此说法不正确．
2．（24-25七年级下·江西南昌·阶段检测）数轴上两点A、B在数轴上分别表示数a、b．那么A、B两点之间的距离可表示为．
(1)当点A表示的数为4，点B表示的数为9时，AB＝ ；
当点A表示的数为﹣2，点B表示的数为时，AB＝ ；
当点A表示的数为x，点B表示的数为2，且AB＝3时，点A表示的数x为 ．
(2)当取最小值时，求x的取值范围，并求出的最小值．
【答案】(1)5，，5或者-1
(2)，
【分析】（1）根据题目给出的计算方法计算即可；
（2）所求的等式，可以看作是数轴上点x到和两个点的距离之和，据此即可作答．
【详解】（1）依据，
当，时，；
当，时，；
根据，，有，
即有x=5，或者x=-1，
故答案为：5，，5或者-1；
（2）根据题意可知：可以看作是数轴上点x到的距离和点x到的距离的和，如图所示：
此时可知，
当点x处在和之间，x到和的距离之和为定值，即，
当x不在和之间时，x到和的距离之和必定大于，
则的最小值为：，
此时x的取值范围：．
【点睛】本题主要考查了数轴上两点间的距离，绝对值的意义．理解可以看作是数轴上点x到的距离和点x到的距离的和，是解答本题的关键．
3．（24-25八年级上·山东东营·期中）阅读与理解
上数学课时，王老师在讲完乘法公式的多种运用后，要求同学们运用所学知识解答：求代数式的最小值．同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法：
解：，
因为，
所以当时，的值最小，最小值是0，
所以，
所以当时，的值最小，最小值是1，
所以的最小值是1．
请你根据上述方法，解答下列各题：
(1)知识再现：当___________时，代数式的最小值是___________；
(2)知识应用：若，当___________时，有最___________值（填“大”或“小”），这个值是___________；
(3)知识拓展：若，求的最小值．
【答案】(1)3,3
(2)1, 大，
(3)
【分析】（1）根据，结合提供的解题方法，解答即可；
（2）根据题意，得，根据提供方法解答即可；
（3）把，变形为，仿照题干示例的解题思路，解答即可．
本题考查了配方的应用，实数的非负性，熟练掌握配方，实数的非负性是解题的关键．
【详解】（1）解：，
∵，
∴当时，的值最小，最小值是0，
∴，
∴当时，的值最小，最小值是3，
∴的最小值是3，
故答案为：3,3．
（2）解：根据题意，得，
∵，
∴当时，的值最小，最小值是0，
∴
∴当时，的值最大，最大值是0，
∴，
∴当时，的值最大，最大值是，
∴的最大值是，
故答案为：1, 大，．
（3）解：根据题意，得变形为，
故，
∵，
∴当时，的值最小，最小值是0，
∴当时，的值最小，最小值是，
∴的最小值为．
【典型例题三 实数与数轴】
【例1】（2026·宁夏·一模）用数轴上的点表示下列各数，其中与原点距离最近的是（ ）
A．B．C．D．3
【答案】C
【分析】数轴上点到原点的距离为该数的绝对值，比较各数绝对值的大小即可求解．
【详解】解：，，，，
∵，
∴，
∴离原点最近．
【例2】（25-26八年级下·河南许昌·期中）根据图中尺规作图的痕迹判断数轴上点C所表示的实数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据勾股定理求出，然后求解即可．
【详解】解：根据题意得，，，，
∴，
∵点C在原点左边，
∴点C所表示的实数为．
【例3】（25-26八年级上·江苏连云港·期末）如图，在数轴上点A表示的实数是_____________；
【答案】
【分析】本题考查了实数与数轴，勾股定理的应用，体现了数形结合的数学思想．
根据勾股定理求出圆弧的半径，再根据点A的位置可得答案．
【详解】解：如图，由勾股定理可得
∴，
∴在数轴上点A表示的实数是，
故答案为：．
【例4】（25-26八年级上·江苏宿迁·期末）如图所示，已知在长方形中，，，，则数轴上点所表示的数是__________．
【答案】
【分析】本题主要考查了数轴上的点表示的数，勾股定理，
先根据勾股定理求出，即可求出，进而得出答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴点E所表示的数是．
故答案为：．
1．（25-26八年级下·北京西城·期中）利用勾股定理在数轴上画出的点P
【答案】
【分析】在数轴原点的正半轴上取点，使（单位长度）；过点作数轴的垂线，在垂线上截取（单位长度）；连接，由勾股定理得，再以原点为圆心，长为半径画弧，交数轴正半轴于点，点就是表示的点．
【详解】略
2．（25-26八年级上·广东佛山·阶段检测）如图所示，已知，，以点为圆心，为半径画弧交左侧数轴于点．
(1)写出数轴上点所表示的数为______；
(2)比较大小：点所表示的数______（填写“”或“”）
(3)在数轴上找出对应的点．（保留作图迹）
【答案】(1)
(2)
(3)见解析
【分析】本题主要考查了实数和数轴，勾股定理，实数大小比较，解题的关键是熟练掌握勾股定理．
（1）根据勾股定理求出，然后得出点A表示的数即可；
（2）先求出，，根据，得出即可；
（3）过点D作，且，连接，以点O为圆心，为半径画弧，交数轴于点，则点即为所求作的点．
【详解】（1）解：在中，根据勾股定理得：，
∴，
∴点所表示的数为，
故答案为：；
（2）解：∵，，
又∵，
∴，
故答案为：；
（3）解：如图，点表示的数为．
∵，，，
∴，
∴．
3．（25-26八年级上·山西运城·阶段检测）如图，把两个边长为1的小正方形沿对角线剪开，用所得到的4个直角三角形拼成一个面积为2的大正方形．由此，得到了一种能在数轴上画出无理数对应点的方法（数轴的单位长度为1）．
(1)阅读理解：图1中大正方形的边长为_______，图2中点表示的数为______；
(2)迁移应用：
请你参照上面的方法，把5个小正方形按图3位置摆放，并将其进行裁剪，拼成一个大正方形．
①请在图3中画出裁剪线，并在图3中画出所拼得的大正方形的示意图；
②利用①中的结论，在图4的数轴上标出表示数的点．
【答案】(1)，
(2)①图见详解；②数轴见详解
【分析】（1）根据小正方形的对角线长等于大正方形的边长，即可解决问题；
（2）①先根据图3的面积为5，可得所拼得的大正方形边长为，进而在图3中画出裁剪线和所拼得的正方形即可；
②先在数轴上找到表示数的点，然后向左移动3个单位即可．
【详解】（1）解：由图可得，点到原点的距离为：，点在原点左侧，
∴点表示的实数为，
故答案为：，；
（2）解：①如图所示：
②点表示，如图所示：
【典型例题四 实数的大小比较】
【例1】（25-26七年级下·广西柳州·阶段检测）在，，，这组数中，最小的数是（ ）
A．B．0C．2D．
【答案】D
【详解】解：∵正数大于0，0大于负数，
∴最小的数是．
【例2】（2026·安徽安庆·一模）在，，0，这四个数中，最大的数是（ ）
A．B．C．0D．
【答案】D
【分析】本题考查实数的大小比较，利用实数大小比较的基本规则即可求解.
【详解】根据实数大小比较规则，
∵ 是负数，负数小于0，0小于正数，
∴ ，，
又∵ ，，可得，
∴ ，
因此四个数中最大的数是，答案选D.
【例3】（25-26七年级下·四川南充·期中）比较大小：_______1(用>，