2023年新八年级数学北师大版暑假自学预习——第04讲 平方根

第04讲 平方根

学习目标

1．了解平方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根．

2．了解开方与乘方互为逆运算，会用开方运算求某些非负数的平方根，会用计算器求平方根．

3.掌握平方根与算术平方根的有关运算

知识点 1 ：平方根

1.算术平方根的定义

如果一个正数的平方等于，即,那么这个正数叫做的算术平方根（规定0的算术平方根还是0）；的算术平方根记作，读作“的算术平方根”，叫做被开方数.

注意：当式子有意义时，一定表示一个非负数，即≥0，≥0.

2.平方根的定义

　  如果，那么叫做的平方根.求一个数的平方根的运算，叫做开平方.平方与开平方互为逆运算. (≥0)的平方根的符号表达为，其中是的算术平方根.

知识点2：平方根和算术平方根的区别与联系

1．区别：（1）定义不同；（2）结果不同：和

2．联系：（1）平方根包含算术平方根；

（2）被开方数都是非负数；

        （3）0的平方根和算术平方根均为0．

注意：（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；负数没有平方根．

（2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方根.因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根.

知识点3：平方根的性质

知识点4：平方根小数点位数移动规律

被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如：，，，.

考点一：平方根的概念和表示

例1．（2023八上·东方期末）实数9的平方根是（　　）

A．3 B．±3 C． D．81

【变式1-1】（2023八上·平昌期末）实数4的平方根为（　　）.

A．16 B．2 C．±2 D．

【变式1-2】（2022八上·莲湖月考）计算的平方根结果是（　　） 

A．±2 B．±4 C．2 D．4

【变式1-3】（2022八上·西安月考）已知，则的平方根是（　　）

A． B． C． D．

考点二：平方根的性质

例2.（2022八上·电白期中）已知一个正数m的两个不相等的平方根是a+6与2a-9．

（1）求a和m的值；

（2）求关于x的方程的解．

【变式2-1】（2022八上·龙华期中）若 与是同一个正数的两个平方根，则m的值为（　　）

A．3 B． C．1 D．

【变式2-2】（2022春•仁怀市校级月考）若m是169的正的平方根，n是121的负的平方根，求：

（1）m+n的值；

（2）（m+n）2的平方根．

【变式2-3】（2021秋•河南月考）已知一个数m的两个不相等的平方根分别为a+2和3a﹣18．

（1）求a的值；

（2）求这个数m．

考点三：利用开平方解方程

例3.（2022秋•莲湖区校级月考）求下列各式中x的值．

（1）9x2﹣25＝0；

（2）（x﹣1）2＝36．

【变式3-1】（2022秋•江阴市校级月考）求下列各式中x的值：

（1）x2﹣4＝0；                      （2）（x﹣1）2﹣9＝0．

【变式3-2】（2022秋•新城区期中）已知2x2﹣8＝0，求x的值．

考点四：算术平方根的概念

例4.（2022八上·顺义期末）4的算术平方根是（　　）

A．2 B． C． D．16

【变式4-1】（2023八上·达州期末）已知是二元一次方程组的解，则2m﹣n的算术平方根为（　　）

A．±2 B． C．2 D．4

【变式4-2】（2022八上·绵阳竞赛）的算术平方根是　     　.

考点五：算术平方根的非负性

例5.（2021八上·河源期末）若|3x﹣2y+1|+＝0，则xy的算术平方根是　     　．

【变式5-1】（2021秋•滨海县期末）已知实数x，y满足+（y+1）2＝0，则x﹣y等于（　　）

A．1 B．﹣1 C．﹣3 D．3

【变式5-2】（2022春•绥江县期中）若（a﹣1）2+＝0，则（a﹣b）2022＝（　　）

A．1 B．﹣1 C．0 D．2022

考点六：算术平方根的应用

例6.（2022秋•南岗区校级期中）小李同学想用一块面积为400cm2的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为300cm2的长方形纸片，使它的长宽之比为2：3，他不知道能否裁得出来，正在发愁，这时小于同学见了说：“别发愁，一定能用一块面积大的纸片裁出一块面积小的纸片．”

（1）长方形纸片的长和宽是分别多少cm？

（2）你是否同意小于同学的说法？说明理由．

【变式6】（2022秋•市北区期中）某新建学校计划在一块面积为256m2的正方形空地上建一个面积为150m2的长方形花园（长方形花园的边与正方形空地的边平行），要求长方形花园的长是宽的2倍．请你通过计算说明该学校能否实现这个计划．

1．（2022•攀枝花）2的平方根是（　　）

A．2 B．±2 C． D．

2．（2021•济南）9的算术平方根是（　　）

A．3 B．﹣3 C．±3 D．

3．（2021•通辽）的平方根是（　　）

A．±4 B．4 C．±2 D．+2

4．（2021•南充）如果x2＝4，则x＝　   ．

5．（2018•广东）一个正数的平方根分别是x+1和x﹣5，则x＝　　．

6．（2022•泸州）若（a﹣2）2+|b+3|＝0，则ab＝　    　．

7．（2021•南充）如果x2＝4，则x＝　   ．

8．根据图中呈现的运算关系，可知a＝　   　，b＝　   　．

1．（2022八上·南宁开学考）a的算术平方根是4，那么的值是（　　）

A．8 B．16 C．2 D．±2

2．（2022八上·沈北新期中）若一个正数的两个平方根分别是2m－4与3m－1，则m的值是（　　）

A．1 B．－1 C．－3 D．－3或1

3．（2022八上·宝鸡月考）若实数x，y满足|x﹣3|+＝0，则（x+y）3的平方根为（　　）

A．4 B．8 C．±4 D．±8

4．（2021八上·紫金期末）已知是二元一次方程组的解，则的平方根为（　　）

A． B． C．2 D．4

5．（2022八上·江都月考）已知.，则的值是（　　）

A．457.3 B．45.73 C．1449 D．144.9

6．（2023八上·宁强期末）若，则x的值为　     　.

7．（2022八上·将乐期中）若a，b是2022的两个平方根，则　     　.

7．（2022八上·渭滨月考）若与是同类项，则的平方根是　     　．

8．（2021八上·榆林期末）已知 在两个连续的整数a和b之间，则 的平方根为　     　9．（2021八上·沈阳期中）若y＝ + +4，则x2+y2的算术平方根是　     　． 

10．（2022春•龙马潭区月考）已知（x﹣1）2＝16，求x的值．

11．（2022•杭州模拟）求x的值：25（x+2）2﹣36＝0．

12．（2021八上·永定期末）已知 .

（1）求x与y的值；

（2）求x+y的算术平方根.

13．（2022秋•兰考县月考）2022年5月10日，庆祝中国共产主义青年团成立100周年大会在北京人民大会堂隆重举行．习近平总书记指出，青春孕育无限希望，青年创造美好明天．一个民族只有寄望青春、永葆青春，才能兴旺发达．为了全面贯彻总书记的讲话精神，某市决定在一块面积为1100m2的正方形空地上建一个足球场以供全民健身．已知足球场的面积为540m2，其中长是宽的倍，足球场的四周必须留出1m宽的空地，这块空地能否成功建一个符合规定的足球场？