2026年新教材北师大版数学暑假七升八衔接讲义第06讲 二次根式的性质（解析版）

这是一份2026年新教材北师大版数学暑假七升八衔接讲义第06讲 二次根式的性质（解析版），共9页。学案主要包含了二次根式有意义的条件，求二次根式的值，同类二次根式，二次根式中的参数，复合二次根式的化简，最简二次根式的判断，化为最简二次根式，二次根式的混合运算等内容，欢迎下载使用。
典型例题一 二次根式有意义的条件
典型例题二 求二次根式的值
典型例题三 同类二次根式
典型例题四 二次根式中的参数
典型例题五 复合二次根式的化简
典型例题六 最简二次根式的判断
典型例题七 化为最简二次根式
典型例题八 二次根式的混合运算
典型例题九 分母有理化
典型例题十 二次根式的应用
知识点01 二次根式有无意义的条件
（1）如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数．
（2）如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零．
【即时训练】
1．（25-26八年级上·广东河源·期中）若在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用被开方数为非负数列不等式求解即可．
【详解】解：∵二次根式在实数范围内有意义的条件为被开方数大于等于，
∴有意义需满足，
解不等式得．
2．（2026·山东聊城·一模）写出使二次根式有意义的的一个值：_________．
【答案】0（满足即可）
【分析】要使二次根式有意义，被开方数应大于等于0，代入条件得到，只要x是满足的任意实数均可．
【详解】解：∵二次根式有意义，
∴被开方数，
解不等式得，
取（满足的任意实数均可）．
知识点02 二次根式的化简
（1）二次根式化简的步骤：
①把被开方数分解因式；
②利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来；
③化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2，所得结果为最简二次根式或整式．
（2）最简二次根式的条件：
被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
【即时训练】
1．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）已知，则化简的结果是（ ）
A．B．C．－D．
【答案】A
【分析】本题考查了二次根式的性质与化简；
由于二次根式的被开方数是非负数，那么，通过观察可知ab必须异号，而，易确定b的取值范围，然后即可化简．
【详解】解：有意义，
，
，
又，
，
．
故选：A．
2．（25-26八年级下·湖北武汉·期中）化简：______；_____；_____．
【答案】 5
【分析】对被开方数含分母的二次根式，通过分母有理化化为最简二次根式．
【详解】解：；
；
【典型例题一 二次根式有意义的条件】
【例1】（2026·江苏连云港·二模）在函数中自变量x的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查函数自变量的取值范围，需同时满足二次根式的被开方数为非负数，且分母不为0，据此列不等式求解即可.
【详解】∵函数 中， 是二次根式且在分母位置，
∴被开方数需满足 ，同时分母满足 ，
联立得 ，
解得 ．
【例2】（24-25八年级下·吉林长春·期中）若在实数范围内有意义，则应为（ ）
A．全体实数B．C．D．
【答案】A
【分析】根据二次根式被开方数非负的性质，判断被开方数的取值范围，即可确定的取值范围．
【详解】解：在实数范围内有意义，
需要满足被开方数，
又对任意实数，都有，
，恒满足被开方数非负的要求，
可以取全体实数．
【例3】（25-26八年级下·江苏泰州·阶段检测）已知，则y的平方根为______．
【答案】
【分析】根据被开方数大于等于0列不等式，得出m的值，再根据题目中y与m的关系式计算出y，代入代数式求值，再根据平方根的定义解答即可．
【详解】解：，
，，，
解得，
，
的平方根为．
【例4】（25-26八年级下·河南濮阳·期中）若式子在实数范围内有意义，则实数可取的数是___________．（只写一个）
【答案】（不唯一）
【分析】根据二次根式的被开方数大于等于零列不等式求出的取值范围，然后写出一个符合条件的值即可．
【详解】解：根据二次根式有意义的条件，被开方数为非负数，可得：
，解得；
任取一个满足条件的实数，此处取（不唯一）．
1．（25-26八年级下·贵州遵义·期中）已知．
(1)求的值；
(2)求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】根据“二次根式有意义的条件：”可得的值，继而得到的值，再代入进行计算即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
解得：；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴．
2．（25-26八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期中）计算求值：
(1)已知a，b为实数，且，求a，b的值．
(2)已知实数m满足，求的值．
【答案】(1)，
(2)2025
【分析】本题考查二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件是正确解答的关键．
（1）根据二次根式有意义的条件可得出的值，再根据非负数的和为0得出的值即可；
（2）根据二次根式有意义的条件可得的取值范围，再根据绝对值的定义将原式化为，两边平方即可．
【详解】（1）解：（1）和均有意义，
且，
即且，
，
当时，，
可得，
，即，
，；
（2）有意义，
，
，
因此，可变为，
即，
，
即，
的值是2025．
3．（25-26八年级下·吉林松原·期中）问题情景：请认真阅读下列这道例题的解法并填空．
(1)例：已知，求的值．
解：由得，_____，_____，_____；
(2)尝试应用
若为实数，且，化简：
(3)拓展创新
①已知，求的值．
②已知实数，在数轴上的对应点如图所示，化简．
【答案】(1)2022，2023，
(2)1
(3)①；②
【分析】（1）根据二次根式有意义的条件可求出x的值，从而得到y的值，即可求解；
（2）根据二次根式有意义的条件可求出x的值，从而得到y的值，即可求解；
（3）①根据二次根式有意义的条件可求出，从而得到，然后代入即可求解；
②由数轴得，得到，，然后化简求解即可．
【详解】（1）解：由得，，
∴，
∴；
（2）解：由，得，
∴，
∴；
（3）解：①由，得，
∴，
∴；
②由数轴得，
∴，
∴
．
【典型例题二 求二次根式的值】
【例1】（24-25八年级下·全国·课后作业）当时，二次根式的值为（ ）
A．2B．C．D．
【答案】A
【分析】将代入计算即可得．
【详解】解：当时，，
故选：A．
【点睛】本题考查了二次根式的值，熟练掌握二次根式的运算是解题关键．
【例2】（24-25八年级下·湖北襄阳·期末）在式子中，二次根式有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】根据二次根式的定义判断即可，形如的代数式叫做二次根式．
【详解】解：是二次根式，符合题意，
是三次根式，不合题意，
是二次根式，符合题意，
不是二次根式，不合题意．
故选：B．
【点睛】本题主要考查二次根式定义，正确理解二次根式的定义是解题的关键．
【例3】（24-25八年级下·浙江温州·期中）当时，二次根式的值是______ ．
【答案】
【分析】将代入原式即可求出答案．
【详解】解：当时，

．
故答案为：．
【点睛】本题考查求二次根式的值，二次根式的性质．解题的关键是掌握二次根式的性质．
【例4】（24-25八年级下·山东德州·期中）电流通过导线时会产生热量．电流（单位：A）、导线电阻（单位：）、通电时间（单位：s）与产生的热量（单位：J）满足：．已知导线的电阻，1s的时间导线产生30J的热量，则电流为______A．（结果用二次根式表示）
【答案】
【分析】将已知量代入物理公式，即可求得电流的值．
【详解】解：电流（单位：A）、导线电阻（单位：）、通电时间（单位：s）与产生的热量（单位：J）满足：，
将，，代入，得，
解得：或（负值，舍去）
故答案为：．
【点睛】本题考查了算术平方根的应用，解题的关键是将已知量代入公式计算，比较简单．
1．（24-25八年级上·吉林·期中）计算：
（1）．
（2）．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）根据二次根式的意义、性质、三次根式的意义、零指数幂的意义计算；
（2）根据二次根式的运算法则及运算律计算．
【详解】原式= ；
原式= ．
【点睛】本题主要考查二次根式的应用，熟练掌握二次根式的意义、性质、运算法则及运算律是解题关键．
2．（24-25八年级上·河南南阳·阶段检测）如图，一只蚂蚁从点沿数轴向右直爬个单位到达点，再直爬向点停止，已知点表示，点表示，设点所表示的数为．
（1）求的值
（2）求的值
（3）直接写出蚂蚁从点到点所经过的整数中，非负整数有 个
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】（1）根据数轴两点间的距离公式得到，然后解方程即可得到的值；
（2）把的值代入，然后根据绝对值的意义和二次根式的意义计算；
（3）先找出点到点所有整数和非负整数，然后根据概率公式求解．
【详解】解：（1）由题意可得，
所以；
（2）把代入得
；
（3）从点到点所经过的整数有，0，1，2，其中非负整数有0，1，2，
所以蚂蚁从点到点所经过的整数中，非负整数有3个．
【点睛】本题考查了实数与数轴，绝对值的意义和二次根式的意义，熟悉相关性质是解题的关键．
3．（2026·山西太原·一模）阅读与思考
下面是小颖同学数学笔记中的内容，请认真阅读并完成相应的任务．
任务：
(1)材料中的例题解答过程中体现的一个数学思想是___________．
A．分类讨论思想 B．转化思想 C．数形结合思想
(2)已知，请根据材料中构造和差对偶式的思路，求的值．
(3)已知，求的值．
【答案】(1)B
(2)86
(3)17
【分析】（1）根据转化思想解答即可；
（2）仿照材料中的例题解答过程解答即可；
（3）仿照材料中的例题解答过程解答即可．
【详解】（1）解：材料中的例题解答过程中体现的一个数学思想是转化思想；
（2）解：我们从这个式子的结构出发，构造（为实数）的对偶式．
；
（3）解：我们从这个式子的结构出发，构造（）的对偶式．
．
【典型例题三 同类二次根式】
【例1】（24-25八年级下·新疆喀什·阶段检测）下列二次根式中，不能与合并的二次根式是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式是同类二次根式，同类二次根式可以合并，只需将各选项化为最简二次根式，对比被开方数即可得到结果．
【详解】解：A．是最简二次根式，被开方数为，与可以合并，不符合要求，
B．，被开方数为，与可以合并，不符合要求，
C．是最简二次根式，被开方数为，与可以合并，不符合要求，
D．，被开方数为，不等于，与不能合并，符合要求．
【例2】（25-26八年级下·广东揭阳·阶段检测）最简二次根式与是同类二次根式，则（ ）
A．2B．3C．0D．4
【答案】A
【分析】本题根据同类二次根式的定义求解，最简同类二次根式的被开方数相等，据此列方程计算即可得到的值．
【详解】解：∵ 最简二次根式与是同类二次根式
∴ 两个二次根式的被开方数相等，可得方程，解得．
【例3】（25-26八年级下·安徽合肥·期中）已知与最简二次根式是同类二次根式，则a的值为____．
【答案】
4
【分析】根据同类二次根式的定义，可知两个最简同类二次根式的被开方数相等，据此列方程求解即可．
【详解】解：由题意得，是最简二次根式，也是最简二次根式，二者是同类二次根式，
因此被开方数相等，可得
解得．
【例4】（24-25八年级下·内蒙古巴彦淖尔·阶段检测）已知最简二次根式与可以合并，则的值是________．
【答案】
【分析】本题主要考查了最简二次根式的含义，同类二次根式的含义．根据最简二次根式的定义，同类二次根式的含义可得，再进一步求解即可；
【详解】解：∵最简二次根式与可以进行合并，
∴最简二次根式与是同类二次根式，
∴，
解得．
故答案为：．
1．（24-25八年级下·陕西安康·期末）定义：若两个二次根式m、n满足，且p是有理数，则称m与n是关于p的和谐二次根式．已知最简二次根式与可以合并，请问的算术平方根与是关于4的和谐二次根式吗？并说明理由．
【答案】的算术平方根与是关于4的和谐二次根式，理由见解析
【分析】本题主要考查了最简二次根式、算术平方根、二次根式的乘法运算等知识点，理解和谐二次根式的定义是解题的关键．
先根据最简二次根式的定义求得a的值，然后求得a的算术平方根，最后根据和谐二次根式的定义判断即可．
【详解】解：的算术平方根与是关于4的和谐二次根式，理由如下：
∵最简二次根式与可以合并，
∴，即，
∴的算术平方根为，
∵，
∴的算术平方根与是关于4的和谐二次根式．
2．（25-26七年级上·山东泰安·期末）定义：形如“”的数称为“族”数（其中m，n为有理数，．），并规定：两个“族”数之间可以进行“，，，”等运算，运算符合二次根式的相关要求．
(1)试判断，，，2中哪些属于“族”的数；
(2)若（其中a，b为有理数，）是“族”数，求A的倒数的值，并判断其是否为“族”的数．
【答案】(1)，属于“族”的数
(2)；为“族”的数．
【分析】本题考查了二次根式的定义，分母有理化，熟练掌握二次根式的定义及分母有理化是关键．
（1）根据二次根式的定义判断即可；
（2）根据分母有理化的方法求解即可．
【详解】（1）解：，属于“族”的数；
（2）解：，
，为有理数，，
为“族”的数．
3．（24-25八年级上·四川眉山·阶段检测）阅读材料：像（+）（﹣）＝3，＝a（a≥0）、（+1）（﹣1）＝b﹣1（b≥0）……两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如与，+1与﹣1，2+3与2﹣3等都是互为有理化因式．在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．
例如：；．解答下列问题：
(1)3﹣与______互为有理化因式，将分母有理化得______；
(2)①直接写出式子
的计算结果______．
②比大小______（直接填＞，＜，＝，≥或≤中的一种）
(3)已知有理数a、b满足，求a、b的值．
【答案】(1)，
(2)2018，0)；
∴，
故答案为：=（a≥0，b>0)；
（3）∵除法没有分配律，
∴解题过程是从第二步开始错的，
+÷（－）
=+÷（－）
=+÷
=＋×
=＋．
故答案为：二．
【点睛】本题主要考查了最简二次根式，二次根式的化简，二次根式的混合计算，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
3．（24-25八年级下·河南三门峡·期末）下面是小美同学进行二次根式运算的过程，请认真阅读，完成相应的任务．
………第一步
………第二步
………第三步
任务：
(1)原式中的二次根式、、、、中，是最简二次根式的是______；
(2)第______步开始出错，错误的原因是______；
(3)第一步中，去括号的依据是______；
(4)请写出正确的计算过程．
【答案】(1)、
(2)一，去括号时，括号前是负号，没有改变括号内符号；
(3)乘法分配律
(4)见解析
【分析】本题考查了最简二次根式的定义、去括号法则，二次根式的混合运算，掌握相关运算法则是解题关键．
（1）根据最简二次根式的定义逐一判断即可；
（2）根据去括号法则分析即可；
（3）根据去括号的依据解答即可；
（4）先计算二次根式乘法、去括号，再合并同类项即可．
【详解】（1）解：，不是最简二次根式；
，不是最简二次根式；
，不是最简二次根式；
、是最简二次根式，
故答案为：、
（2）解：第一步开始出错，错误的原因是：去括号时，括号前是负号，没有改变括号内符号；
故答案为：一，去括号时，括号前是负号，没有改变括号内符号；
（3）解：第一步中，去括号的依据是乘法分配律，
故答案为：乘法分配律；
（4）解：

．
【典型例题七 化为最简二次根式】
【例1】（2026·山西临汾·二模）将二次根式化简，结果正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】解：
即化简结果为．
【例2】（25-26八年级下·广东汕头·期中）最简二次根式与可以合并，则（ ）
A．48B．12C．6D．3
【答案】D
【分析】先将化为最简二次根式，根据可合并的最简二次根式是同类二次根式，同类二次根式的被开方数相等，即可求出的值.
【详解】∵ ，
又∵ 最简二次根式与可以合并，
∴ 两个最简二次根式的被开方数相同，
∴ ．
【例3】（25-26八年级上·江西景德镇·期末）已知最简二次根式与二次根式是同类二次根式，则__________．
【答案】6
【分析】本题考查了最简二次根式和同类二次根式的概念，熟练掌握以上知识点是关键．
根据题意先化简，再根据同类二次根式的最简二次根式的被开方数相等列关系式，求解即可．
【详解】解：根据题意先化简，
由条件可知，
解得．
故答案为：．
【例4】（24-25八年级下·安徽芜湖·期末）弋江区突破630亿，请写出630的算术平方根__________（结果需化成最简二次根式）．
【答案】
【分析】此题考查了算术平方根和二次根式的性质．根据算术平方根的定义和二次根式的性质化简进行解答即可．
【详解】解：，
故答案为：．
1．（24-25八年级下·全国·课后作业）计算：
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了二次根式的乘除混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则和性质是解答本题的关键．
（1）利用二次根式的乘法法则，先将系数与被开方数分别相乘，再化简结果；
（2）将除法转化为乘法，结合二次根式的性质化简，再进行约分计算；
（3）按照从左到右的顺序，依次运用二次根式乘除运算法则，结合幂的运算性质化简，最终得到结果．
【详解】（1）解：原式．
（2）解：原式．
（3）解：原式．
2．（24-25八年级上·山东烟台·期末）已知，，，A，B为最简二次根式，且，求代数式的值．
【答案】
【分析】本题考查最简二次根式，一元一次方程，二次根式的混合运算，结合已知条件得到是解题的关键．
根据最简二次根式及同类二次根式的定义可得，解得x的值后根据求得y的值，然后将其代入原式计算即可．
【详解】解：已知，，，A，B为最简二次根式，且，
则，
解得：，
那么，，
则，
那么，
即，
解得：，
原式．
3．（24-25八年级下·安徽亳州·期中）阅读教材P13的海伦—秦九韶公式，设一个三角形的三边长分别为a，b，c，则有下列三角形面积公式：①海伦公式：，；②秦九韶公式：（其中）．请根据上述公式，解答下列问题：
(1)若一个三角形的三边长分别为5，6，7，求该三角形的面积；（利用海伦公式求解）
(2)若一个三角形的三边长分别为，，，求该三角形的面积．（利用秦九韶公式求解）
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查的是二次根式的应用，熟练的计算与化简二次根式的解本题的关键；
（1）先求解，再代入公式计算即可；
（2）先求解，，，再代入公式计算即可．
【详解】（1）解：∵三角形的三边长分别为5，6，7，即，，．
∴．
根据海伦公式，得该三角形的面积．
（2）∵三角形的三边长分别为，，，即，，，
∴，，．
根据秦九韶公式，得该三角形的面积．
【典型例题八 二次根式的混合运算】
【例1】（25-26八年级下·云南怒江·期中）计算的正确结果是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】解：
【例2】（25-26八年级下·云南普洱·期中）如图，这是一个程序框图．若输入x的值为12，则输出y的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】依据运算程序列出算式，按顺序进行计算即可．
【详解】解：由题意，得
．
【例3】（25-26八年级下·福建厦门·期中）计算：
（1）______；（2）______；（3）______；（4）______．
【答案】
3
8

1
【详解】解：（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
【例4】（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）定义一种新运算：，则的运算结果是_____．
【答案】
【分析】根据新定义运算，利用整式乘法和二次根式的运算法则化简计算即可．
【详解】解：∵，
∴
．
1．（25-26八年级下·北京西城·期中）计算：
(1)
(2)
(3)
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）解：原式
（2）解：原式
（3）解：原式
2．（25-26八年级下·广东珠海·期中）阅读下列材料，然后解答问题：
材料：将进行分母有理化，过程如下：
请利用上述方法解答下列问题：
(1)化简：___________；
(2)计算：___________；
(3)化简下列式子：．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】 （１）将分式的分子分母同乘分母的有理化因式，利用平方差公式去掉分母的根号即可；
（2）先对两个分式分母有理化，再将两个结果相加即可；
（3）先对原式中每一项进行分母有理化，再将所有项相加即可．
【详解】（1）解：；
（2）解：
；
（3）解：原式
．
3．（25-26八年级下·河北沧州·阶段检测）下面是某同学二次根式运算的过程：
(1)该同学从第________步开始出现错误；
(2)写出正确的解题过程；
(3)直接写出正确的运算结果与的大小关系．
【答案】(1)一
(2)见解析
(3)
【分析】（1）根据二次根式的运算法则逐步判断即可；
（2）根据二次根式的运算法则计算即可；
（3）利用“夹逼法”判断即可.
【详解】（1）解：除法没有分配律，故从第一步开始出现错误；
（2）解：
；
（3）解：∵，
∴，即，
∴，即，
又，
∴.
【典型例题九 分母有理化】
【例1】（24-25八年级下·山西大同·阶段检测）已知，用含的代数式表示为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查二次根式的性质，分母有理化，根据求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
故选：D．
【例2】（24-25八年级下·全国·暑假作业）的整数部分是（ ）
A．3B．5C．9D．6
【答案】C
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，二次根式的分母有理化，将各式进行分母有理化后再计算即可得出答案．
【详解】解：

原式


故选：C．
【例3】（24-25八年级下·四川绵阳·期中）观察式子：
①；
②；
③；…
计算：______．
【答案】
【分析】本题考查了分母有理化．根据二次根式分母有理化求解即可．
【详解】解：∵①；
②；
③；
…
∴，，，…，
，
∴
．
故答案为：．
【例4】（24-25八年级上·山东泰安·期中）在学习二次根式的过程中，小明发现有一些特殊无理数之间具有互为倒数的关系，例如：由，可得与互为倒数，即，根据小明发现的规律，计算______．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式的化简求值、分母有理化，能够归纳总结规律及掌握平方差公式是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴
故答案为：
1．（25-26八年级下·广西河池·期中）由，可以看出，两个含有一次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式，在进行一次根式计算时，利用有理化因式，有时可以化去分母中的根号，例如：，请根据以上材料，完成下列问题：
(1)化简：__________；
(2)化简：．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用分母有理化及平方差公式即可得到本题答案；
（2）先利用分母有理化及平方差公式将各项化简，再计算加法可得结果．
【详解】（1）解：；
（2）解：
．
2．（25-26八年级下·广东东莞·期中）阅读下列材料，然后解答下列问题．在进行代数式化简时，我们有时会碰上如，这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：
（一）；
（二）
以上这种化简的方法叫分母有理化．
(1)化简_______；______．
(2)化简_______．（）
(3)化简：．
【答案】(1)；
(2)
(3)
【分析】（1）按照题干方法化简即可；
（2）按照题干方法化简即可；
（3）先分母有理化，再进行二次根式的加减运算．
【详解】（1）解：；；
（2）解：；
（3）解：
．
3．（25-26八年级下·江苏淮安·期中）阅读：像，（），（），两个含有二次根式的代数式相乘，如果积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如：像与，与，与等都是互为有理化因式．进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号，请回答下列问题：
(1)化简：
① ；
②
(2)计算： ；
(3)已知，，试比较的大小，并说明理由
【答案】(1)①；②
(2)2025
(3)，见解析
【分析】（1）①将分子分母同乘以化简即可；②将分子分母同乘以化简即可；
（2）利用二次根式分母有理化的计算法则将括号内化简，再算乘法；
（3）通过比较，的倒数，然后进行，的大小比较．
【详解】（1）解：①；
②；
（2）解：
；
（3）解：，理由如下：
，
同理：，
∵，
∴，
∵，
∴．
【典型例题十 二次根式的应用】
【例1】（25-26八年级下·内蒙古乌兰察布·阶段检测）高空抛物是一种不文明的危险行为，据研究，从高处坠落的物品，其下落的时间和高度近似满足公式（不考虑阻力的影响）．物体从的高空落到地面的时间是（ ）
A．B．C．D．12s
【答案】C
【分析】直接将代入公式，化简二次根式即可得到结果．
【详解】解：∵ ，
∴ ．
【例2】（25-26八年级下·四川绵阳·期中）如图，用四张一样大小的长方形纸片拼成的正方形的面积是75， ，图中空白的地方是一个正方形，则这个小正方形的面积为（ ）
A．B．C．D．5
【答案】B
【分析】通过正方形的面积求出边长为，根据图形之间的联系求出空白小正方形的边长，即可求解．
【详解】解：∵正方形的面积是75，
∴，
∵，
∴，
∴空白小正方形的边长，
∴这个小正方形的面积为．
【例3】（25-26八年级上·全国·周测）若某长方形的长为，宽为，则此长方形的面积为______．
【答案】
【分析】此题主要考查了二次根式的应用．直接利用矩形面积求法结合二次根式乘法运算法则得出答案．
【详解】解：长方形的长为，宽为，
此长方形的面积为：
．
故答案为：．
【例4】 （24-25八年级上·福建三明·期中）李老师在正方形中放入面积分别为27和18的正方形和正方形，重叠部分的面积为3，则剩余部分（阴影部分）的面积为_________．
【答案】/
【分析】本题考查了二次根式的混合运算的应用，结合图形求出阴影部分的长和宽是解题的关键．根据题中条件分别计算阴影部分的长和宽，再根据面积公式计算即可．
【详解】解：正方形和正方形的面积分别为27和18，
，
由题意得： 正方形和正方形重叠部分为正方形，面积为3，
则重叠部分边长为，
则正方形的边长为，
剩余部分（阴影部分）的面积等于正方形的面积减去两个小正方形的面积，再加上重叠部分的面积，
剩余部分（阴影部分）的面积为，
故答案为：．
1．（25-26八年级下·湖北恩施·期中）如图，李明家有一块长方形空地，长为，宽为，现要在空地中挖一个长方形的水池（即图中阴影部分），其余部分种植草莓，其中长方形水池的长为，宽为．
(1)求长方形空地的周长．（结果化为最简二次根式）
(2)已知李明家种植的草莓售价为，且每平方米产草莓．若李明家将所种的草莓全部销售完，则销售收入为多少元？
【答案】(1)
(2)元
【分析】（1）根据长方形周长计算公式求解即可；
（2）先求出种植草莓的面积，再根据草莓的售价和产量进行求解即可．
【详解】（1）解：∵长为，宽为，
∴周长为：；
（2）解：∵，，
∴，
∴，
答：销售收入为元．
2．（24-25八年级上·陕西榆林·期中）有一块长方形木板，木工甲采用如图的方式，将木板的长增加（即），宽增加（即）．得到一个面积为的正方形．
(1)求长方形木板的面积；
(2)木工乙想从长方形木板中裁出一个面积为，宽为的长方形木料，请通过计算说明木工乙的想法是否可行．
【答案】(1)
(2)木工乙的想法可行，理由见解析
【分析】（1）先求出正方形的边长，然后再求出长方形的长和宽，再计算长方形的面积即可；
（2）根据长方形的面积公式求出需要裁出的长方形的长，然后比较大小即可．
【详解】（1）解：∵长增加（即），宽增加（即），得到一个面积为的正方形．
∴正方形的边长为，
∴，，
∴长方形木板的面积为；
（2）解：木工乙的想法可行，理由如下：
∵要从长方形木板中裁出一个面积为，宽为的长方形木料，
∴裁出的长方形的长为，
由（1）得长方形的长为，宽为，
，， ，
∴，，
∴可以裁出所求的长方形木料，即木工乙的想法可行．
3．（25-26八年级上·陕西西安·期中）如图，长方形的长和宽的长度比为，面积为．
(1)求长方形的长和宽；
(2)求此长方形内沿着边并排最多能裁出多少个面积为的圆形纸片？
【答案】(1)长方形的长为，宽为
(2)最多能裁出3个
【分析】本题考查了二次根式的计算、无理数的估算，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
（1）根据长方形的面积列方程即可；
（2）先求出圆形纸片的直径，再根据无理数的估算即可求解．
【详解】（1）解：设长方形的长为，则宽为，
∴有，
，
，
解得：（负值舍去），
∴长方形的长为，宽为；
（2）解：设圆形纸片的半径为，
则有，
，
解得：（负值舍去），
∴圆形纸片的直径为，
∵，，
∴，
∴最多能裁出3个．
1．（2025八年级上·湖南怀化·竞赛）计算（ ）
A．B．C．5D．1
【答案】D
【分析】本题考查了复合二次根式的混合运算，先利用完全平方公式化简二次根式，再加减即可．
【详解】解：∵，
∴
．
故选：D．
2．（25-26八年级上·陕西咸阳·期中）若与最简二次根式能合并，则的值为（ ）
A．2B．4C．5D．6
【答案】C
【分析】本题主要考查了同类二次根式的概念、最简二次根式、二次根式的性质等知识点，掌握同类二次根式的被开方数相同是解题的关键．
两个二次根式能合并的条件是它们化为最简二次根式后，被开方数相同，据此列关于的方程求解即可．
【详解】解：∵ ，
∴的最简形式为，被开方数为2．
又∵是最简二次根式，且能与合并，
∴ ，
解得：．
故选：C．
3．（25-26八年级上·河北石家庄·期末）根据以下程序，当输入时，输出结果为（ ）
A．1B．C．D．2
【答案】C
【分析】本题考查了程序框图的循环计算与根式运算，解题的关键是按照程序框图的逻辑，逐步代入计算，直到满足输出条件．
先将输入的代入表达式计算，判断结果是否小于2，若不满足则将该结果作为新的再次代入计算，直至结果小于2时输出．
【详解】解：当输入时，
第一次计算：，不成立，将作为新的；
第二次计算：，成立，输出结果．
故选：C．
4．（25-26八年级上·江西宜春·期末）已知：，，则代数式的值是（ ）
A．6B．24C．42D．96
【答案】A
【分析】先根据、的值，利用完全平方公式推导出和的值，再将所求代数式变形为含这两个式子的形式，代入计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
5．（24-25八年级下·河北廊坊·阶段检测）如图，在长方形中不重叠无缝隙地放入面积分别为12和18的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为（ ）

A．6B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了正方形的面积与边长的关系、二次根式的运算及长方形面积的计算，解题的关键是根据正方形面积求出边长，结合摆放方式确定长方形的长和宽，进而通过面积差求出空白部分面积．
先由正方形面积求出边长（分别为和）；根据“尽量撑满长方形”可知长方形的长为两正方形边长之和，宽为较大正方形的边长；计算长方形面积与两正方形面积和的差，得到空白部分面积．
【详解】解：两张正方形纸片的面积分别为12和18，
∴它们的边长分别为和．
∵要将两张正方形不重叠无缝隙地放入长方形且尽量撑满，
∴长方形的长为两个正方形边长之和，即，宽为较大正方形的边长．
∴长方形的面积为
．
∵两张正方形纸片的面积和为，
∴空白部分的面积为．
故选：D．
6．（24-25八年级下·湖北咸宁·期末）代数式的最小值为__________．
【答案】2
【分析】根据二次根式成立的条件即可解答．
【详解】解：根据题意可得，
∴
，
∴的最小值为2，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次根式成立的条件，熟练掌握和运用二次根式成立的条件是解决本题的关键．
7．（24-25八年级上·全国·课后作业）若，且，则的值是_____．
【答案】
【分析】由可得，即，根据知，即，代入到待求代数式中计算即可．
【详解】解：∵，
∴，即，
∵，，
∴，即，
∴，
∴原式
．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查二次根式的化简求值，根据已知等式及得出是解题的关键．
8．（24-25八年级上·湖南益阳·期末）如图所示的幻方中，各行、各列及各条对角线上的三个实数之积均相等，则图中、、三个实数的积为______．
【答案】18
【分析】根据每一行、每一列以及每一条对角线上的三个数字或字母的积均相等和图中的数据，可以得到方，然后求解即可．
【详解】解：∵每一行、每一列以及每一条对角线上的三个数字或字母的积均相等，
∴，
解得，，

故答案为：18．
【点睛】本题考查二次根式的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的等式．
9．（25-26八年级下·河南周口·期中）如图，将1，，，按下列方式排列，若规定表示第m排从左向右第n个数，则与表示的两数之积是______．
【答案】
【分析】首先找到排列的数的规律：n排有n个数，四个数一循环，再求解与表示的数即可解答．
【详解】解：根据数的排列方法可知，
第一排：1个数，
第二排：2个数．
第三排：3个数，
第四排：4个数，
…，
第排：个数，
规律：从第一排到排共有个数，
，
根据数的排列方法，每四个数一个循环，
由可知是第5排第4个数是，
∵表示第15排第2个数，而，即是第个数，
∵，
∴表示的数为，
∴与表示的两数之积为．
10．（24-25八年级下·辽宁葫芦岛·阶段检测）观察以下等式：
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
第4个等式：；
第5个等式：；
…
按照以上规律，解决下列问题：写出第n个等式______．
【答案】
【分析】观察已知等式各部分与序号n的关系，归纳各部分的变化规律，整理得到第n个等式，再通过分式运算与二次根式化简验证规律成立．
【详解】解：观察已知等式，对各部分按序号n归纳规律：
第n个等式中，减数为，被减数的分子为，分母为，
等式右侧分母为，根号内的两个因式为和，
由此猜想第n个等式为．
验证：
11．（25-26八年级下·全国·单元复习）判断下列二次根式是否是最简二次根式，如果不是，请化成最简二次根式．
① ② ③ ④
【答案】见解析
【分析】本题考查的是二次根式的化简、掌握二次根式的性质是解题的关键．根据二次根式的性质把各个二次根式化简，根据题意判断即可．
【详解】解：①不是最简二次根式，；
②是最简二次根式；
③，被开方数含有分母，不是最简二次根式，；
④不是最简二次根式，．
12．（25-26八年级下·福建莆田·期中）已知，
若，则；若，则；若，则
若，则；若，则；若，则．
若，则；若，则；若，则
(1)试比较：与大小关系
(2)试比较：与大小关系
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求出的结果即可得到答案；
（2）可求出，，根据即可得到结论．
【详解】（1）解：，
；
（2）解：，
，
又
，
∴．
13．（25-26八年级下·湖南长沙·期中）请阅读下列材料：
问题：已知，求代数式的值．
小明根据二次根式的性质：，联想到了以下的解题方法：
由得，则，即，∴，把作为整体，得：
请回答下列问题：
(1)已知，求代数式的值．
(2)已知，求代数式的值．
(3)已知，求代数式的值．
【答案】(1)6
(2)
(3)2026
【分析】（1）根据题例解答即可；
（2）由已知求出，进而即可求解；
（3）由已知得，进而可得，可得，进一步代入即可求解.
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
．
14．（25-26八年级下·湖北恩施·期中）问题：已知，求的值．
小明是这样解答的：∵，
∴，
∴．
请你根据小明的分析与解答过程，解决如下问题：
(1)请用以上方法化简： ；
(2)计算：；
(3)若，求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)的值为
【分析】（1）利用平方差公式进行分母有理化即可；
（2）将每个式子的分母有理化后，根据规律进行运算即可；
（3）先进行分母有理化，再仿照题干的解法进行计算．
【详解】（1）解：；
（2）解：原式
；
（3）解：∵，
∴，
∴，
∴的值为49．
15．（25-26八年级下·安徽阜阳·阶段检测）如图是学校的一块正方形绿地，其边长为，现要在正方形绿地内修建四个大小、形状相同的矩形花坛，每个花坛的长为，宽为，并将花坛以外的地方全部修建成通道，且通道上要铺上造价为每平方米元的地砖．若要铺完整个通道，则购买地砖大约需要多少元？（参考数据：，结果精确到元）
【答案】需要元
【分析】先用正方形面积减去个矩形的面积，计算出通道的面积，再根据“通道上要铺上造价为的地砖”即可求出购买地砖需要的花费．
【详解】解：通道面积为：，
所以费用为：，
答：需要元.
构造和差对偶式解决复杂代数问题对偶法，是一种通过发现和构造在代数结构上具有某种对称关系的一对或者一组式子，然后对这些式子进行恰当的运算进而获得结论的数学方法．有时，我们可以根据问题中代数式的结构，构造形如和的和差对偶形式．具体探究如下：
探究：例题：已知，求的值．
解：我们从这个式子的结构出发，构造（为实数）的对偶式．
．
应用：……
……第一步
……第二步
……第三步
……第四步
1
b
3
a
2
6
c