(辅导班专用)人教版数学九年级暑假讲义+课堂小测(提高班)16《弧长与扇形面积公式》（2份打包，教师版+学生版）

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第16讲    弧长与扇形面积公式如图,直线AB,BC,CD分别与☉O相切于E,F,G,且AB∥CD,OB=6 cm,OC=8 cm.求(1)∠BOC的度数； (2)☉O的半径.解:(1)因为AB,BC,CD分别与☉O相切于E,F,G,所以BE=BF,CF=CG,∠OBF=∠OBE,∠OCF=∠OCG.因为AB∥CD,所以∠ABC+∠BCD=180°,所以∠OBF+∠OCF=90°,所以∠BOC=90°.(2)由(1)知∠BOC=90°.连接OF.因为OB=6 cm,OC=8 cm,所以由勾股定理得BC==10(cm).因为BC与☉O相切于点F,所以OF⊥BC.所以BC·OF=OB·OC.所以OF==4.8 cm.即☉O的半径为4.8 cm.知识点一　弧长公式 在半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长的计算公式为l＝.注意：确定圆心角和半径的值，代入弧长公式计算即可．知识点二　扇形的面积 在半径为R的圆中，n°的圆心角对应的扇形面积为S＝＝lR.注意：在解决扇形面积问题时，要结合题意灵活选用公式，在已知半径和圆心角时，选用公式S扇形＝.易错点　计算弧的长度时易忽略一条弦所对的弧有两条在求圆中一条弦所对的弧的长度时，往往忽视非直径的弦所对的弧有两条，一条是优弧，一条是劣弧．注意：一条弦所对的弧有两条，当弦不是直径时，所对的弧分优弧和劣弧．本题易只求的长度而忽略的长度，造成漏解而出现错误．   知识点三　圆锥的侧面积和全面积                1．圆锥的构成：圆锥是由一个底面和一个侧面围成的几何体(如图所示)．2．圆锥的母线：连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线．3．圆锥的高：连接圆锥顶点与底面圆心的线段叫做圆锥的高．4．圆锥的基本特征：(1)圆锥的轴通过底面的圆心，并垂直于底面；(2)圆锥的母线长都相等；(3)圆锥可以看成是由一个直角三角形绕一条直角边所在的直线旋转而成的图形，故圆锥的母线l、圆锥的高h、圆锥底面圆的半径r恰好构成一个直角三角形(如图所示)，满足r2＋h2＝l2，利用这一关系，可以已知任意两个量求出第三个量．5．圆锥的侧面积就是弧长为圆锥的底面圆的周长、半径为圆锥的母线长的扇形的面积；圆锥的全面积就是它的侧面积和底面积的和．即若圆锥的底面圆的半径为r，母线长为l，则圆锥的侧面积S侧＝·2πr·l＝πrl，全面积S全＝πrl＋πr2.底面周长等于侧面扇形的弧长：1.1、如图，一段公路的转弯处是一段圆弧()，则的展直长度为(　　)A．3π m       B．6π m     C．9π m     D．12π m　[解析] 的展直长度＝＝6π(m)．故选B.1.2、若半径为5 cm的一段弧的弧长等于半径为2 cm的圆的周长，则这段弧所对的圆心角为(　　)A．18°   B．36°   C．72°   D．144°[解析] 设这段弧所对的圆心角为n°，则有π·5＝2π·2，解得n＝144.1.3、如图,已知等边△ABC的边长为6,以AB为直径的☉O与边AC,BC分别交于D,E两点,则劣弧的长为_____π_____. 【变式训练1-1】在半径为6 cm的圆中，长为2π cm的弧所对的圆周角的度数为(　　)A．30°         B．45°      C．60°      D．90°[解析] 设长为2π cm的弧所对圆心角的度数为n，则＝2π.解得n＝60.∴这条弧所对的圆心角是60°，即所对的圆周角是30°.故选A.【变式训练1-2】如图，正方形ABCD内接于⊙O，AB＝2 ，则的长是(　　)A．π    B.π    C．2π    D.π[解析] 连接OA，OB，∵正方形ABCD内接于⊙O，∴∠AOB＝×360°＝90°.在Rt△AOB中，由勾股定理，得AB2＝OA2＋OB2＝2OA2＝(2 )2，解得OA＝2，∴的长为＝π.故选A.【变式训练1-3】如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠BAC＝60°，的长是，则⊙O的半径是________．[解析] 连接OB，OC，如图．∵∠BAC＝60°，∴∠BOC＝120°.设⊙O的半径为r，则＝π，解得r＝2.即⊙O的半径为2.  2.1、如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，∠BCD＝30°，OA＝2，则阴影部分的面积是(　　)A.π  　　　　B.π             C．π  　　　　  D．2π[解析] ∵∠BCD＝30°，∴∠BOD＝2∠C＝60°，∴S扇形BOD＝＝π，故选B.2.2、一个扇形的弧长是10π cm，面积是60π cm2，则此扇形的圆心角的度数是(　　)A．300°   B．150°   C．120°   D．75°　[解析] 根据S扇形＝l弧长r，求得半径r＝12 cm，由弧长公式l＝，得10π＝，解得n＝150.即此扇形的圆心角的度数是150°.2.3、如图,在Rt△ABC中,∠BCA=90°,∠BAC=30°,BC=2,将Rt△ABC绕A点顺时针旋转90°得到Rt△ADE,则BC扫过的面积为(　D 　)  A.                  B.(2-)π           C.π             D.π1.根据题意得扇形ACE的半径是AC=_____,圆心角是_____,扇形ABD的半径是AB=_____,圆心角是_____. 2.S阴影=S扇形ABD+_____-S扇形ACE-S△AED___.【变式训练2-1】(1)在半径为6 cm的圆中，圆心角为60°的扇形的面积是_____6π cm2___；(2)已知扇形的半径为2 cm，面积为2π cm2，则扇形的圆心角是____180°____；(3)若扇形的弧长为10π cm，面积为20π cm2，则扇形的半径为____4 cm____．   【变式训练2-2】如图，一扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB和AC的夹角为120°，AB的长为25 cm，贴纸部分的宽BD为15 cm，若纸扇两面贴纸，则贴纸的面积为(　　)A．175π cm2    B．350π cm2        C.π cm2     D．150π cm2[解析] B∵AB＝25，BD＝15，∴AD＝10，∴S贴纸＝2×(－)＝350π(cm2)．【变式训练2-3】如图，⊙O的直径AB垂直弦CD于点E，连接BC，OC.(1)求证：∠BCD＝∠COB；(2)若OC＝10，∠BCD＝15°，求阴影部分的面积．         解：(1)证明：∵AB⊥CD，∴＝.如图，连接BD，则∠BCD＝∠BDC.∵∠COB＝2∠BDC(圆周角定理)，∴∠COB＝2∠BCD，即∠BCD＝∠COB.(2)∵∠BCD＝15°，∴∠COB＝30°，∴∠AOC＝150°.又∵OC＝10，∴S阴影＝＝π.3.1、如图,把一个圆锥沿母线OA剪开,展开后得到扇形AOC,已知圆锥的高h为12 cm,OA=13 cm,求扇形AOC中的长(计算结果保留π).  解:因为圆锥的高h为12 cm,OA=13 cm,所以圆锥的底面半径为=5 cm,所以圆锥的底面周长为10π cm,所以扇形AOC中的长是10π cm.3.2、工人师傅用一张半径24 cm,圆心角为150°的扇形铁皮做成一个圆锥的侧面,则这个圆锥的高为___________cm. 3.3、如图，将半径为3 cm的圆形纸片沿AB折叠后，圆弧恰好能经过圆心O，用图中阴影部分的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高为(　　)A．2  cm     B. cm　   C. cm      D. cmA　[解析] 如图，过点O作OC⊥AB，垂足为D，交⊙O于点C.由折叠的性质可知，OD＝OC＝OA＝ cm，由此可得，在Rt△AOD中，∠OAD＝30°.同理可得∠OBD＝30°.在△AOB中，由三角形内角和定理，得∠AOB＝180°－∠OAD－∠OBD＝120°，∴的长为＝2π(cm)．设围成的圆锥的底面圆的半径为r cm，则2πr＝2π，∴r＝1，∴圆锥的高为＝2 (cm)．故选A.【变式训练3-1】如图,已知扇形AOB的半径为6 cm,圆心角的度数为120°,若将此扇形围成一个圆锥,求:(1)围成的圆锥的侧面积;  (2)围成的圆锥的全面积.解:(1)圆锥的侧面积是=12π.(2)扇形的弧长是=4π,所以圆锥的底面半径是2,底面面积是4π,则围成的圆锥的全面积是12π+4π=16π. 【变式训练3-2】已知圆锥的侧面展开图是一个半径为12 cm,弧长为12π cm的扇形,求这个圆锥的侧面积及高.解:这个圆锥的侧面积为×12×12π=72π(cm2),设底面圆的半径为r,则2πr=12π,解得r=6.故这个圆锥的高为=6(cm).【变式训练3-3】用一块圆心角为216°的扇形铁皮，做一个高为40 cm的圆锥形工件(接缝忽略不计)，那么这块扇形铁皮的半径是________ cm.[解析] 设扇形铁皮的半径为R cm，圆锥形工件的底面半径为r cm，根据题意，得解方程组，得所以扇形铁皮的半径为50 cm.1.如图，在▱ABCD中，AB为⊙O的直径，⊙O与DC相切于点E，与AD相交于点F，已知AB＝12，∠C＝60°，则的长为(　　)A.  　  B.  　  C．π    D．2π[解析]C 如图，连接OE，OF.∵∠1＝∠C＝60°，OA＝OF，∴∠2＝60°.∵CD与⊙O相切，∴∠4＝90°，∴∠3＝90°，∴∠EOF＝180°－∠2－∠3＝180°－60°－90°＝30°.∵r＝12÷2＝6，∴的长＝＝＝π.  2.如图，C是以AB为直径的半圆O的三等分点，AC＝2，则图中阴影部分的面积是(　　)      A.－      B.－2         C.－     D.－[解析] 如图，连接OC，∵C是半圆O的三等分点，∴∠AOC＝60°，∴△AOC是等边三角形，∠BOC＝120°.由三角形面积公式求得S△BOC＝×2×＝，由扇形的面积公式求得S扇形BOC＝＝，∴S阴影＝S扇形BOC－S△BOC＝－.故选A.3.如图，矩形ABCD的边AB＝1，BE平分∠ABC，交AD于点E，若E是AD的中点，以点B为圆心，BE为半径画弧，交BC于点F，则图中阴影部分的面积是(　　)A．2－          B.－       C．2－         D.－[解析] ∵矩形ABCD的边AB＝1，BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE＝45°，AD∥BC，∴∠AEB＝∠CBE＝45°，∴AB＝AE＝1，BE＝.∵E是AD的中点，∴AE＝ED＝1，∴图中阴影部分的面积＝S矩形ABCD－S△ABE－S扇形EBF＝1×2－×1×1－＝－.故选B.4．如图，直径AB为12的半圆绕点A逆时针旋转60°，此时点B旋转到点B′，则图中阴影部分的面积是(　　)A．36π         B．24π       C．12π         D．6π[解析] S阴影＝S扇形ABB′＋S半圆AB′－S半圆AB＝S扇形ABB′＝＝24π.故选B.   5．如图，一根5 m长的绳子，一端拴在围墙墙脚的柱子上，另一端拴着一只小羊A(羊只能在草地上活动)，那么小羊A在草地上的最大活动区域的面积是(　　)A.π m2            B.π m2         C.π m2            D.π m2[解析]D 如图，大扇形的圆心角是90°，半径是5 m，∴其面积为＝(m2)；小扇形的圆心角是180°－120°＝60°，半径是1 m，则其面积为＝(m2)，∴小羊A在草地上的最大活动区域的面积为＋＝π(m2)．6.如图，8×8的正方形网格纸上有扇形OAB和扇形OCD，点O，A，B，C，D均在格点上．若用扇形OAB围成一个圆锥的侧面，记这个圆锥的底面半径为r1；若用扇形OCD围成另一个圆锥的侧面，记这个圆锥的底面半径为r2，则的值为________．[解析] 设每个小正方形的边长都为1.根据勾股定理，得OA＝＝2 ，OC＝＝3 .设∠AOB＝n°，则＝，＝.∵用扇形OAB围成一个圆锥的侧面，记这个圆锥的底面半径为r1，∴r1＝.同理r2＝.∴＝.7.已知一个直角三角形的两条直角边长分别是3 cm,4 cm,以它的直角边所在直线为轴旋转一周,则所得圆锥的表面积为　36π cm2或24π cm2　.   8. 如图所示,已知圆锥底面半径r=10 cm,母线长为40 cm.(1)求它的侧面展开图的圆心角和表面积;(2)若一甲虫从A点出发沿着圆锥侧面绕行到母线SA的中点B,请你动脑筋想一想它所走的最短路线是什么?并求出最短路线的长.解:(1)=2π×10,解得n=90.所以侧面展开图的圆心角是90°.圆锥表面积S表=π×102+π×10×40=500π(cm2).(2)如图,由圆锥的侧面展开图可见,甲虫从A点出发沿着圆锥侧面绕行到母线SA的中点B所走的最短路线是线段AB.在Rt△ASB中,SA=40 cm,SB=20 cm,所以AB=20(cm).所以甲虫走的最短路线的长度是20 cm.9.如图,一个圆锥的高为3 cm,侧面展开图是半圆,求:(1)圆锥的底面半径r与母线l之比;(2)圆锥的全面积.解:(1)由题意可知2πr=×2πl,所以 r∶l=1∶2.(2)在Rt△AOC中,h=3 cm,因为l2=r2+h2,l=2r,所以(2r)2=r2+(3)2,解得r=±3.因为r>0,所以r=3,l=6,所以S侧=πrl=18π(cm2),S底=πr2=9π(cm2),所以S全=S侧+S底=18π+9π=27π(cm2).10.如图所示，⊙O的半径为6 cm，直线AB是⊙O的切线，切点为B，弦BC∥AO.若∠A＝30°，求的长．解：连接OB，OC.∵AB是⊙O的切线，∴AB⊥OB.∵∠A＝30°，∴∠AOB＝90°－∠A＝60°.∵BC∥AO，∴∠OBC＝∠AOB＝60°.又∵OB＝OC，∴△OBC是等边三角形，∴∠BOC＝60°，∴的长为＝2π(cm). 11.如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，点O在AB上，以点O为圆心，OA为半径的圆恰好经过点D，与AC，AB分别交于点E，F.(1)试判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；(2)若BD＝2 ，BF＝2，求阴影部分的面积(结果保留π)．   解：(1)BC与⊙O相切．理由：连接OD.∵AD是∠BAC的平分线，∴∠BAD＝∠CAD.又∵OD＝OA，∴∠OAD＝∠ODA，∴∠CAD＝∠ODA，∴OD∥AC，∴∠ODB＝∠C＝90°，即OD⊥BC.又∵BC过半径OD的外端点D，∴BC与⊙O相切．(2)设OF＝OD＝x，则OB＝OF＋BF＝x＋2，根据勾股定理，得OB2＝OD2＋BD2，即(x＋2)2＝x2＋(2 )2，解得x＝2，即OD＝OF＝2，∴OB＝2＋2＝4.∵在Rt△ODB中，OD＝OB，∴∠B＝30°，∴∠DOB＝60°，∴S扇形DOF＝＝，则阴影部分的面积为S△ODB－S扇形DOF＝×2×2 －π＝2 －π. 12．如图，圆心角都是90°的扇形OAB与扇形OCD叠放在一起，连接AC，BD.(1)求证：AC＝BD；(2)若图中阴影部分的面积是π cm2，OA＝2 cm，求OC的长．解：(1)证明：∵∠AOB＝∠COD＝90°，∴∠AOC＋∠AOD＝∠BOD＋∠AOD，∴∠AOC＝∠BOD.又∵OA＝OB，OC＝OD，∴△AOC≌△BOD(SAS)，∴AC＝BD.(2)根据题意，得S阴影＝－＝，∴π＝，解得OC＝1(cm)．∴OC的长为1 cm.13．如图，C，D是半圆O上的三等分点，直径AB＝4，连接AD，AC，DE⊥AB，垂足为E，DE交AC于点F.(1)求∠AFE的度数；(3)求阴影部分的面积(结果保留π和根号).    解：(1)连接OD，OC，∵C，D是半圆O上的三等分点，∴＝＝，∴∠AOD＝∠DOC＝∠COB＝60°，∴∠CAB＝30°.∵DE⊥AB，∴∠AEF＝90°，∴∠AFE＝90°－30°＝60°.(2)由(1)知∠AOD＝60°.∵OA＝OD，AB＝4，∴△AOD是等边三角形，OA＝2.∵DE⊥AO，∴DE＝，∴S阴影＝S扇形AOD－S△AOD＝－×2 ＝π－.14.如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥BC于点D，过点C作⊙O的切线，交OD的延长线于点E，连接BE.(1)求证：BE与⊙O相切；(2)设OE交⊙O于点F，若DF＝1，BC＝2 ，求阴影部分的面积．解：(1)证明：如图，连接OC.∵OC＝OB，OD⊥BC，∴∠COD＝∠BOD.又∵OC＝OB，OE＝OE，∴△OCE≌△OBE，∴∠OCE＝∠OBE.∵CE切⊙O于点C，∴OC⊥CE，∴∠OCE＝90°，∴∠OBE＝90°，即OB⊥BE.又∵OB是⊙O的半径，∴BE与⊙O相切．(2)设⊙O的半径为r，则OD＝r－1，OB＝r.∵OC＝OB，OD⊥BC，∴BD＝BC＝×2 ＝.在Rt△OBD中，由勾股定理，得(r－1)2＋()2＝r2，解得r＝2，∴OD＝1，OB＝2，∴∠OBD＝30°，∴∠BOD＝60°，∴在Rt△OBE中，∠OEB＝90°－∠BOD＝30°，∴OE＝2OB＝4，∴BE＝＝2 ，∴S△OBE＝OB·BE＝×2×2 ＝2 .∵△OCE≌△OBE，∴S△OCE＝S△OBE＝2 ，∴S四边形OBEC＝4 .∵∠COD＝∠BOD，∠BOD＝60°，∴∠BOC＝120°，∴S扇形OBC＝·π·22＝π，∴S阴影＝S四边形OBEC－S扇形OBC＝4 －π.    15.如图，有一直径是1米的圆形铁皮，圆心为O，要从中剪出一个圆心角是120°的扇形ABC，求：(1)被剪掉阴影部分的面积；(2)若用所留的扇形铁皮ABC围成一个圆锥(接缝忽略不计)，则该圆锥底面圆的半径是多少？解：(1)连接OA，OB.由∠BAC＝120°，可知AB＝米，点O在扇形ABC的上，∴扇形ABC的面积为π×()2＝(米2)．∴被剪掉阴影部分的面积为π×()2－＝(米2)．(2)设圆锥底面圆的半径为r米．由2πr＝π×，得r＝.即圆锥底面圆的半径是米．1．有一块圆心角为300°的扇形铁皮，用它做一个圆锥形的烟囱帽(接缝处忽略不计)，若圆锥的底面圆的直径是80 cm，则这块扇形铁皮的半径是(　　)A．24 cm     B．48 cm      C．96 cm    D．192 cm[解析] ∵用扇形铁皮围成圆锥后，扇形的弧长与圆锥的底面圆的周长相等，∴弧长l＝80π.又l＝·300，∴r＝＝＝48(cm)．故选B.2．如图，已知扇形OAB的圆心角为60°，扇形的面积为6π，则该扇形的弧长为________．[解析] 设扇形的半径是R，则＝6π，解得R＝6.设扇形的弧长是l，则lR＝6π，即3l＝6π，解得l＝2π.故答案是2π.  3．如图，将矩形ABCD绕点C沿顺时针方向旋转90°到矩形A′B′CD′的位置，AB＝2，AD＝4，则阴影部分的面积为________．     [解析] ∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝4，CD＝AB＝2，∠BCD＝∠ADC＝90°，∴CE＝BC＝4，∴CE＝2CD，∴∠DEC＝30°，∴∠DCE＝60°.由勾股定理得：DE＝2 ，∴阴影部分的面积S＝S扇形CEB′－S△CDE＝－×2×2 ＝π－2 .故答案为π－2 .4.已知扇形的半径为6 cm，面积为10π cm2，则该扇形的弧长等于________．[解析] 设扇形的弧长为l cm.∵扇形的半径为6 cm，面积为10π cm2，∴l×6＝10π，解得l＝.5．工人师傅用一张半径为24 cm，圆心角为150°的扇形铁皮做成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高为________．[解析] 由题意可得圆锥的母线长为24 cm，设圆锥的底面圆的半径为r cm，则2πr＝，解得r＝10，所以圆锥的高为＝2(cm)．6．圆锥的底面圆周长为6π cm，高为4 cm，则该圆锥的全面积是________，侧面展开扇形的圆心角是________．[解析] ∵圆锥的底面圆周长为6π cm，∴底面圆半径为r＝6π÷2π＝3(cm)，根据勾股定理，得圆锥的母线R＝＝＝5(cm)．又侧面展开扇形的弧长l＝6π cm，∴侧面展开扇形的面积S侧＝lR＝×6π×5＝15π(cm2)，圆锥底面积S＝πr2＝9π cm2，∴该圆锥的全面积S全＝15π＋9π＝24π(cm2)；设侧面展开扇形的圆心角为n°，则＝l，即＝6π，解得n＝216，∴侧面展开扇形的圆心角为216°.7．若圆锥底面圆的半径为1，侧面积为3π，则它的母线长为________．[解析] 根据圆锥的侧面积公式S侧＝Rl，得3π＝×R×2π，解得R＝3.  8．如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径r＝2 cm，扇形的圆心角θ＝120°，求该圆锥的高h.解：由题意，得2πr＝，而r＝2 cm，∴l＝6 cm，∴由勾股定理，得h＝＝＝4 (cm)，即该圆锥的高h为4  cm.