人教版数学九上《二次函数》期末专项训练第07讲 二次函数中等腰三角形的存在性问题专题探究（2份，原卷版+解析版）

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如图，已知定点A、O，在x轴上找点P，使△OAP为等腰三角形
则P1、P2、P3、P4即为符合题意的点P
解决策略：（有时也可用两点间距离公式求值）
即：①当OA=OP时，以O点为圆心，OA长为半径画圆，与目标直线x轴的交点即为所求点
②当OA=AP时，以A点为圆心，OA长为半径画圆，与目标直线x轴的交点即为所求点
③当AP=OP时，线段OA的中垂线与目标直线x轴的交点即为所求点
【类题训练】
1．在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣bx+c（b＞0，b、c为常数）的顶点为A，与y轴交于点B，点B关于抛物线对称轴的对称点为C．若△ABC是等腰直角三角形，则BC的长为 ．
4．如图，已经抛物线经过点O（0，0），A（5，5），且它的对称轴为 x＝2．
​（1）求此抛物线的解析式；
（2）若点B是x轴上的一点，且△OAB为等腰三角形，请直接写出B点坐标．
5．如图，抛物线与x轴交于A（﹣2，0），B（4，0），与y轴交于点C，点D在抛物线上．
​
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，连接BC，若点D为直线BC上方抛物线上的点，过点D作DP∥x轴交BC于点P，作DQ∥y轴交BC于点Q，若△DPQ的面积为2，求D点坐标；
（3）如图2，点M为抛物线的顶点，当x＞﹣2时，在抛物线上是否存在点D使△AMD是等腰三角形？若能，请直接写出点D的坐标；若不能，请说明理由．
6．如图，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴相交于点A和点C（1，0），交y轴于点B（0，3）．
（1）求此二次函数的解析式；
（2）设二次函数图象的顶点为P，对称轴与x轴交于点Q，求四边形AOBP的面积（请在图1中探索）；
（3）二次函数图象的对称轴上是否存在点M，使得△AMB是以AB为底边的等腰三角形？若存在，请求出满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由（请在图2中探索）．
考点二 “一定两动”型等腰三角形存在性问题
【知识点睛】
如图，P、Q分别为AB、CB上一动点，当△BPQ是等腰三角形时，有以下几种情况：
①BP=BQ ②BQ=PQ ③BP=PQ
解决策略：
即BQ=PQ可转化为: ;BP=PQ可转化为:
☆特别地：当题目给出的数据还好时，也可选择用代数法来分类讨论等腰三角形
步骤如下：①根据点的坐标，表示出三边的平方
②根据等腰三角形的性质，可得到两两相等的的三个方程
③分别解出这三个方程，再依据结果判断是否存在
【类题训练】
2．如图，二次函数的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，则∠ACB＝ °；M是二次函数在第四象限内图象上一点，作MQ∥y轴交BC于Q，若△NQM是以NQ为腰的等腰三角形，则线段NC的长为 ．
3．如图，抛物线y＝ax2+bx+4与x轴交于A（﹣2，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点D是抛物线的顶点，请画出四边形ABDC，并求出四边形ABDC的面积；
（3）点E是抛物线上一动点，设点E的横坐标为t（1＜t＜4），点F为抛物线对称轴l上一点．若△BEF是等腰直角三角形，请直接写出所有满足条件的点E的坐标，并写出其中一种情况的计算过程．
7．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+4经过A（﹣1，3），与y轴交于点C，经过点C的直线与抛物线交于另一点E（6，m），点M为抛物线的顶点，抛物线的对称轴与x轴交于点D．
（1）求直线CE的解析式；
（2）如图2，点P为直线CE上方抛物线上一动点，连接PC，PE．当△PCE的面积最大时，求点P的坐标以及△PCE面积的最大值．
（3）如图3，将点D右移一个单位到点N，连接AN，将（1）中抛物线沿射线NA平移得到新抛物线y′，y′经过点N，y′的顶点为点G，在新抛物线y′的对称轴上是否存在点H，使得△MGH是等腰三角形？若存在，请直接写出点H的坐标；若不存在，请说明理由．
8．如图，在平面直角坐标系中，抛物线x2+bx+c与直线AB交于点A（0，﹣4），B（4，0）．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）如图2，将该抛物线先向左平移4个单位，再向上移3个单位，得到新抛物线y′，新抛物线y′与y轴交于点F，点M为y轴左侧新抛物线y′上一点，过M作MN∥y轴交射线BF于点N，连接MF，当△FMN为等腰三角形时，直接写出所有符合条件的点M的横坐标．