人教版数学九上《二次函数》期末专项训练第08讲 二次函数中直角三角形的存在性问题专题探究（2份，原卷版+解析版）

这是一份人教版数学九上《二次函数》期末专项训练第08讲 二次函数中直角三角形的存在性问题专题探究（2份，原卷版+解析版），文件包含人教版数学九上《二次函数》期末专项训练第08讲二次函数中直角三角形的存在性问题专题探究原卷版doc、人教版数学九上《二次函数》期末专项训练第08讲二次函数中直角三角形的存在性问题专题探究解析版doc等2份试卷配套教学资源，其中试卷共29页， 欢迎下载使用。
如有两定点，在其他特定的“线”上求第三点，形成直角三角形时：
解决策略：
如图，已知A(-3，0),B(-1，-6)，在y轴上找点P，
使△ABP为直角三角形；分以下3种情况：

☆特地别：和等腰△存在性问题一样，直角三角形存在性也是需要分3类的，但是通常“一圆”的点是否存在，又存在几个，要根据实际情况来。
【类题训练】
1．如图：已知二次函数y＝ax2+x+c的图象与x轴交于A，B点，与y轴交于点C，其中B（2，0），C（0，4）．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）P是第一象限抛物线的一个动点，当P点运动到何处时，由点P，B，C构成的三角形的面积最大，求出此时P点的坐标；
（3）若M是抛物线上的一个动点，当M运动到何处时，△MBC是以BC为直角边的直角三角形，求出此时点M的坐标．
​
【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）由S△PBC＝S△PHB+S△PHC＝PH×OB＝PH，即可求解；
（3）当∠MBC为直角时，得到直线BM的表达式，进而求解；当∠CBM′为直角时，同理可解．
【解答】解：（1）由题意得：，
解得：，
则抛物线的表达式为：y＝﹣x2+x+4①；
（2）如图1，过点P作PH∥y轴交BC于点H，
由点C、B的坐标得，直线BC的表达式为：y＝﹣2x+4，
则S△PBC＝S△PHB+S△PHC＝PH×OB＝PH，
设点P的坐标为：（m，﹣m2+m+4），则点H（﹣2m+4），
则PH＝﹣m2+m+2m﹣4＝﹣m2+3m，
∵，故PH有最大值，此时，点P（1，）；
（3）由点B、C的坐标知，tan∠CBA＝2，
当∠MBC为直角时，如图2，
则tan∠ABM＝，
则直线BM的表达式为：y＝（x﹣xB）＝（x﹣2）＝x﹣1②，
联立①②得：﹣x2+x+4＝x﹣1，
解得：x＝2（舍去）或﹣，
即点M（﹣，﹣）；
当∠CBM′为直角时，
同理可得，直线CM′的表达式为：y＝x﹣4③，
联立①③得：﹣x2+x+4＝x﹣4，
解得：x＝0（舍去）或，
即点M′（，）；
综上，点M的坐标为：（﹣，﹣）或（，）．
2．如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣3，0），B（1，0），C（0，﹣3）．
（1）求抛物线得解析式；
（2）若点P为第三象限内抛物线上的一点，设△PAC的面积为S，求S的最大值并求此时点P的坐标．
（3）设抛物线的顶点为D，DE⊥x轴于点E，在y轴上确定一点M，使得△ADM是直角三角形，写出所有符合条件的点M的坐标，并任选其中一个点的坐标，写出求解过程．
【分析】（1）已知抛物线上的三点坐标，利用待定系数法可求出该二次函数的解析式；
（2）过点P作x轴的垂线，交AC于点N，先运用待定系数法求出直线AC的解析式，设P点坐标为（x，x2+2x﹣3），根据AC的解析式表示出点N的坐标，再根据S△PAC＝S△PAN+S△PCN就可以表示出△PAC的面积，运用顶点式就可以求出结论；
（3）分三种情况进行讨论：①以A为直角顶点；②以D为直角顶点；③以M为直角顶点；设点M的坐标为（0，t），根据勾股定理列出方程，求出t的值即可．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣3，0），B（1，0），
∴可设抛物线的解析式为：y＝a（x+3）（x﹣1），
∴再将C点坐标（0，﹣3）代入，得：
a（0+3）（0﹣1）＝﹣3，
解得 a＝1，
∴y＝（x+3）（x﹣1）＝x2+2x﹣3，
∴该抛物线的解析式为：y＝x2+2x﹣3；
（2）过点P作x轴的垂线，交AC于点N，如图1，
设直线AC的解析式为y＝kx+m，由题意，得
，解得，
∴直线AC的解析式为：y＝﹣x﹣3．
再设动点P的坐标为（x，x2+2x﹣3），
则点N的坐标为（x，﹣x﹣3），
∴PN＝PE﹣NE＝﹣（x2+2x﹣3）+（﹣x﹣3）＝﹣x2﹣3x．
∵S△PAC＝S△PAN+S△PCN，
∴S＝PN•OA
＝×3（﹣x2﹣3x）
＝﹣（x+）2+，
∴当x＝﹣时，S有最大值，此时点P的坐标为（﹣，﹣）；
（3）在y轴上是存在点M，能够使得△ADM是直角三角形．理由如下：
∵y＝x2+2x﹣3＝y＝（x+1）2﹣4，
∴顶点D的坐标为（﹣1，﹣4）．
设点M的坐标为（0，t）则，
∵A（﹣3，0），D（﹣1，﹣4），M（0，t），
∴AD2＝（﹣1+3）2+（﹣4﹣0）2＝20，
AM2＝（0+3）2+（t﹣0）2，
DM2＝（0+1）2+（t+4）2，
分三种情况进行讨论：
①当A为直角顶点时，如图2，
由勾股定理，得AM2+AD2＝DM2，
即（0+3）2+（t﹣0）2+20＝（0+1）2+（t+4）2，
解得t＝，
所以点M的坐标为（0，）；
②当D为直角顶点时，如图3，
由勾股定理，得DM2+AD2＝AM2，
即（0+1）2+（t+4）2+20＝（0+3）2+（t﹣0）2，
解得t＝﹣，
所以点M的坐标为（0，﹣）；
③当M为直角顶点时，如图4，
由勾股定理，得AM2+DM2＝AD2，
即（0+3）2+（t﹣0）2+（0+1）2+（t+4）2＝20，
解得t＝﹣1或﹣3，
所以点M的坐标为（0，﹣1）或（0，﹣3）；
综上可知，在y轴上存在点M，能够使得△ADM是直角三角形，此时点M的坐标为（0，）或（0，﹣）或（0，﹣1）或（0，﹣3）．
3．如图1，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝x+1与直线l2：x＝﹣2相交于点D，点A是直线l2上的动点，过点A作AB⊥l1于点B，点C的坐标为（0，3），连接AC，BC．设点A的纵坐标为t，△ABC的面积为s．
​
（1）当点B的坐标为时，直接写出t的值；
（2）s关于t的函数解析式为，其图象如图2所示，结合图1、2的信息，求出a与b的值；
（3）在l2上是否存在点A，使得△ABC是直角三角形？若存在，请求出此时点A的坐标和△ABC的面积；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）先求出点D，点P的坐标，由等腰直角三角形的性质可求AD的长，即可求点A坐标，即可求解；
（2）先把（7，4）代入s＝t2+bt﹣，中计算得b的值，计算在﹣1＜t＜5范围内图象上一个点的坐标值：当t＝2时，根据（1）中的数据可计算此时s＝，可得坐标（2，），代入s＝a（t+1）（t﹣5）中可得a的值；
（3）存在，设B（x，x+1），分两种情况：①当∠CAB＝90°时，如图4，②当∠ACB＝90°时，如图5和图6，分别根据两点的距离公式和勾股定理列方程可解答．
【解答】解：（1）过点B作BH⊥x轴于H，设直线l1交x轴于P，直线l2与x轴交于点M，
∵直线l1：y＝x+1与直线l2：x＝﹣2相交于点D，
∴点D（﹣2，﹣1），
∵直线l1交x轴于P，
∴点P（﹣1，0），
∴OP＝1，
∵点B（﹣，），
∴BH＝OH＝，BD＝＝，
∴BH＝PH＝，
∴∠BPH＝45°＝∠MPD，
∵AB⊥BD，
∴∠ADB＝45°，
∴△ADB是等腰直角三角形，
∴AD＝BD＝3，
∴点A（﹣2，2），
∴t＝2；
（2）如图2可知：当t＝7时，s＝4，
把（7，4）代入s＝t2+bt﹣，中得：+7b﹣＝4，
解得：b＝﹣1，
如图3，过B作BH∥y轴，交AC于H，
由（1）知：当t＝2时，A（﹣2，2），B（﹣，），
∵C（0，3），
设AC的解析式为：y＝kx+n，
则，
解得，
∴AC的解析式为：y＝x+3，
∴H（﹣，），
∴BH＝﹣＝，
∴s＝BH•|xC﹣xA|＝××2＝，
把（2，）代入s＝a（t+1）（t﹣5）得：a（2+1）（2﹣5）＝，
解得：a＝﹣；
（3）存在，设B（x，x+1），
分两种情况：
①当∠CAB＝90°时，如图4，
∵AB⊥l1，
∴AC∥l1，
∵l1：y＝x+1，C（0，3），
∴AC：y＝x+3，
∴A（﹣2，1），
∵D（﹣2，﹣1），
在Rt△ABD中，AB2+BD2＝AD2，
即（x+2）2+（x+1﹣1）2+（x+2）2+（x+1+1）2＝22，
解得：x1＝﹣1，x2＝﹣2（舍），
∴B（﹣1，0），即B在x轴上，
∴AB＝＝，AC＝＝2，
∴S△ABC＝AB•AC＝××2＝2；
②当∠ACB＝90°时，如图5，
∵∠ABD＝90°，∠ADB＝45°，
∴△ABD是等腰直角三角形，
∴AB＝BD，
∵A（﹣2，t），D（﹣2，﹣1），
∴（x+2）2+（x+1﹣t）2＝（x+2）2+（x+1+1）2，
∴（x+1﹣t）2＝（x+2）2，
∴x+1﹣t＝x+2或x+1﹣t＝﹣x﹣2，
解得：t＝﹣1（舍）或t＝2x+3，
Rt△ACB中，AC2+BC2＝AB2，
即（﹣2）2+（t﹣3）2+x2+（x+1﹣3）2＝（x+2）2+（x+1﹣t）2，
把t＝2x+3代入得：x2﹣3x＝0，
解得：x＝0或3，
当x＝3时，如图5，则t＝2×3+3＝9，
∴A（﹣2，9），B（3，4），
∴AC＝＝2，BC＝＝，
∴S△ABC＝AC•BC＝××2＝10；
当x＝0时，如图6，
此时，A（﹣2，3），AC＝2，BC＝2，
∴S△ABC＝AC•BC＝×2×2＝2，
综上所述：点A（﹣2，1），S△ABC＝2或点A（﹣2，9），S△ABC＝10或点A（﹣2，3），S△ABC＝2．
4．如图1，抛物线y＝ax2+3x+c交x轴于A（﹣1，0），B（4，0）两点，交y轴于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P为抛物线第一象限上的一动点，连接BC，过点P作PH⊥BC于点H，求PH的最大值及此时点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，将抛物线y＝ax2+3x+c沿射线CB方向平移个单位，得到新的抛物线y1，如图2点N为新抛物线y1对称轴上一点，M是原抛物线上一点，是否存在△PMN是以PM为腰的等腰直角三角形，若存在，请直接写出所有符合条件的点N的坐标．
【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）由PH＝PT，即可求解；
（3）当∠MPN为直角时，证明△PHM≌△NGP（AAS），得到点M的坐标为：（n﹣4，2），即可求解；当∠PMN为直角时，同理可解．
【解答】解：（1）设抛物线的表达式为：y＝a（x﹣4）（x+1）＝a（x2﹣3x﹣4），
则﹣3a＝3，则a＝﹣1，
故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+3x+4；
（2）过点P作PT∥y轴交BC于点T，
由点B、C的坐标知，∠OCB＝45°＝∠HTP，
则PH＝PT，
由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为：y＝﹣x+4，
则PT＝﹣x2+3x+4+x﹣4＝﹣x2+4x，
∵﹣1＜0，
故PT有最大值为4，即PH有最大值2，此时，点P（2，6）；
（3）将抛物线y＝ax2+3x+c沿射线CB方向平移个单位，得到新的抛物线y1，
则抛物线向右向下均平移了个单位，则平移后的抛物线表达式为：y1＝﹣（x﹣）2+3（x﹣）+4﹣＝﹣（x﹣6）2+，
则设点N（6，n），点P（2，6），
当∠MPN为直角时，则PM＝PN，如图2，
过点P作GH∥y轴交过点N和x轴的平行线于点G，交过点M和x轴的平行线于点H，
∵∠HPM+∠GPN＝90°，∠HPM+∠PMH＝90°，
∴∠GPN＝∠PMH，
∵∠PHM＝∠NGP＝90°，PM＝PN，
∴△PHM≌△NGP（AAS），
∴GN＝PH＝6﹣2＝4，HM＝GP＝n﹣6，
则点M的坐标为：（n﹣4，2），
将点M的坐标代入y＝﹣x2+3x+4得：2＝﹣（n﹣4）2+3（n﹣4）+4，
解得：n＝，或n＝（舍去），
即点N的坐标为：（6，）；
当∠PMN为直角时，设点M（x，y），y＝﹣x2+3x+4，
同理可得，PG＝HM，GM＝HN，
即n﹣y＝x﹣2且6﹣x＝6﹣y而y＝﹣x2+3x+4，
解得：x＝y＝1，
则n＝2，
即点N的坐标为：（6，2），
综上，点N的坐标为：（6，2）或（6，）．
5．如图①，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A、B（3，0），与y轴交于点C（0，3），直线l经过B、C两点．抛物线的顶点为D．
（1）求抛物线和直线l的解析式；
（2）判断△BCD的形状并说明理由．
（3）如图②，若点E是线段BC上方的抛物线上的一个动点，过E点作EF⊥x轴于点F，EF交线段BC于点G，当△ECG是直角三角形时，求点E的坐标．
【分析】（1）将点B，C的坐标代入y＝﹣x2+bx+c即可求出抛物线的解析式，将点B，C的坐标代入y＝kx+b即可求出直线l的解析式；
（2）先判断△BCD是直角三角形，如图1，过点D作DH⊥y轴于点H，先求出顶点D的坐标，再证△DHC和△OCB是等腰直角三角形，即可推出∠DCB＝90°，即得出结论；
（3）分情况讨论，先确定若EDCG是直角三角形，只可能存在∠CEG＝90°或∠ECG＝90°，可分别根据直角三角形的性质求出点E的坐标．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A、B（3，0），与y轴交于点C（0，3），
∴y＝﹣x2+bx+3，
将点B（3，0）代入y＝﹣x2+bx+3，
得0＝﹣9+3b+3，
∴b＝2，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3；
∵直线l经过B（3，0），C（0，3），
∴可设直线l的解析式为y＝kx+3，
将点B（3，0）代入，
得0＝3k+3，
∴k＝﹣1，
∴直线l的解析式为y＝﹣x+3；
（2）△BCD是直角三角形，理由如下：
如图1，过点D作DH⊥y轴于点H，
∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴顶点D（1，4），
∵C（0，3），B（3，0），
∴HD＝HC＝1，OC＝OB＝3，
∴△DHC和△OCB是等腰直角三角形，
∴∠HCD＝∠OCB＝45°，
∴∠DCB＝180°﹣∠HCD﹣∠OCB＝90°，
∴△BCD是直角三角形；
（3）∵EF⊥x轴，∠OBC＝45°，
∴∠FGB＝90°﹣∠OBC＝45°，
∴∠EGC＝45°，
∴若△ECG是直角三角形，只可能存在∠CEG＝90°或∠ECG＝90°，
①如图2﹣1，当∠CEG＝90°时，
∵EF⊥x轴，
∴EF∥y轴，
∴∠ECO＝∠COF＝∠CEF＝90°，
∴四边形OFEC为矩形，
∴yE＝yC＝3，
在y＝﹣x2+2x+3中，当y＝3时，x1＝0，x2＝2，
∴E（2，3）；
②如图2﹣2，当∠ECG＝90°时，
由（2）知，∠DCB＝90°，
∴此时点E与点D重合，
∵D（1，4），
∴E（1，4），
综上所述，当△ECG是直角三角形时，点E的坐标为（2，3）或（1，4）．
6．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线0）的顶点P在抛物线 C2：y＝ax2 上．
（1）求a的值；
（2）直线x＝t（t＞m）与抛物线∁l，C2分别交于点A，B，若AB的最大值为3，请求出m的值；
（3）Q是x轴的正半轴上一点，且PQ的中点M恰好在抛物线C2上．试探究：此时无论m为何负值，在y轴的负半轴上是否存在定点G，使∠PQG总为直角？若存在，请求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）先求出P点坐标，再将P点代入抛物线C2中，即可求a的值；
（2）先求出A（t，﹣t2+2mt+m2），B（t，2t2），则AB＝﹣3t2+2mt+m2＝﹣3（t﹣）2+m2，当t＝时，AB有最大值m2，结合题意可得方程m2＝3，求出m＝﹣；
（3）设Q（n，0），n＞0，先求出M（，m2 ），再将C点代入抛物线C2的解析式，可得n＝﹣（+1）m①，设G（0，y），则PG的中点H（m，m2+y），根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，即PG＝HQ，可得方程＝，整理得，4n2﹣4mn+8m2y＝0②，联立①②可得（16+12+8y）m2＝0，当16+12+8y＝0时，等式恒成立，从而求出点G（0，﹣2﹣）．
【解答】解：（1）由题可知P（m，2m2），
∴am2＝2m2，
∴a＝2；
（2）A（t，﹣t2+2mt+m2），B（t，2t2），
∴AB＝﹣3t2+2mt+m2＝﹣3（t﹣）2+m2，
∵m＜0，
∴＞m，
当t＝时，AB有最大值m2，
∵AB的最大值为3，
∴m2＝3，
解得m＝±，
∵m＜0，
∴m＝﹣；
（3）存在定点G，使∠PQG总为直角，理由如下：
设Q（n，0），n＞0，
∵M是PQ的中点，
∴M（，m2 ），
∵点M恰好在抛物线C2上，
∴2（）2＝m2，
解得n＝﹣（+1）m①，
设G（0，y），
∴PG的中点H（m，m2+y），
∵∠PQG＝90°，
∴PG＝HQ，
∴＝，
整理得，4n2﹣4mn+8m2y＝0②，
联立①②可得（16+12+8y）m2＝0，
当16+12+8y＝0时，等式恒成立，
∴y＝﹣2﹣，
∴G（0，﹣2﹣）．
7．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣3（a＞0）与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P为直线BC下方抛物线上的一动点，PM⊥BC于点M，PN∥y轴交BC于点N．求线段PM的最大值和此时点P的坐标；
（3）点E为x轴上一动点，点Q为抛物线上一动点，是否存在以CQ为斜边的等腰直角三角形CEQ？若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】①将A，B点坐标代入抛物线解析式求出系数a，b的值，即可得解析式，
②数形结合思想找到PN和PM的数量关系，求PM最大值转化为求PN最大值问题，利用配方法求最值，
③分类讨论，应用一线三直角模型构造全等三角形，找到线段关系，从而出点坐标．
【解答】解：（1）将A（﹣1，0），B（3，0）代入函数y＝ax2+bx﹣3（a＞0）中，
得，
解得，
∴解析式为y＝x2﹣2x﹣3，
故抛物线解析式为y＝x2﹣2x﹣3；
（2）当x＝0时，y＝3，
∴C（0，﹣3），
∵B（3，0），
∴∠OCB＝∠OBC＝45°，
∵PN∥y轴，
∴∠MNP＝45°，
∵PM⊥BC，
∴PM＝PN，则当PN最大时，PM也最大，
设BC的解析式为y＝mx+n，
∴，
解得，
∴BC解析式为y＝x﹣3，
设P（x，x2﹣2x﹣3），N（x，x﹣3），
∴PN＝x﹣3﹣（x2﹣2x﹣3）＝﹣（x﹣）2+，
当x＝时，PN最大，则PM＝PN＝×＝，
∴P（，），
故PM最大值为，P点坐标为（，﹣）；
（3）存在，点E的坐标为（﹣5，0），（，0），（0，0），（，0）．
∵CEQ是以CQ为斜边的等腰直角三角形，
∴设Q（x，x2﹣2x﹣3），
①如图，过点E作x轴的垂线l，再分别过点C和点Q作垂线l的垂线，分别交于点M和点N，
∵∠CEQ＝90°，
∴∠QEM+∠CEN＝90°，
∵∠QEM+∠MQE＝90°，
∴∠EQM＝∠CEN，
∵∠CNE＝∠QME＝90°，EC＝EQ，
∴△EMQ≌△CNE（AAS），
∴CN＝EM＝x2﹣2x﹣3，MQ＝EN＝3，
∴|xQ|+MQ＝CN，﹣x+3＝x2﹣2x﹣3，
解得x＝﹣2，x＝3（舍去），
∴OE＝CM＝2+3＝5，E（﹣5，0），
②如图，过点E作x轴的垂线l，再分别过点C和点Q作垂线l的垂线，分别交于点M和点N，
同理：△EMC≌△QNE（AAS），
CM＝EN＝x2﹣2x﹣3，NQ＝EM＝3，
∴﹣x+x2﹣2x﹣3＝3，
解得x＝，x＝（舍去），
∴OE＝CM＝，E（，0），
③如图，点E和点O重合，点Q和点B重合，此时E（0，0），
④如图，过点E作x轴的垂线l，再分别过点C和点Q作垂线l的垂线，分别交于点M和点N，
同理：△EMC≌△QNE（AAS），
CM＝EN＝x2﹣2x﹣3，NQ＝EM＝3，
∴x+3＝x2﹣2x﹣3，
解得x＝，x＝（舍去），
∴OE＝CM＝，E（，0），
综上所述，点E的坐标为（﹣5，0），（，0），（0，0），（，0）．