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第15讲 重难点专项突破01二次函数综合之“线段周长”问题-初中人教版八升九数学暑假衔接（教师版+学生版）
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(1)线段的数量关系
此类问题一般是求满足线段数量关系的点的坐标，针对这种情况应先在图中找出对应线段，弄清已知点和未知点；再联系二次函数和一次函数，设出未知点的坐标，使其只含一个未知数；最后表示出线段的长度，列出满足线段数量关系的等式，从而求出未知数的值；
(2)线段最值问题
此类问题通常有两类：
①设出关键的点的未知数(通常是一个跟所求线段关系紧密的点的横坐标)，通过题目中的函数和图形关系，用该点的横坐标表示出有关线段端点的坐标，进而表示出线段的长，通过二次函数的性质求最值，继而得到线段的最大值或最小值；
②在求线段最小值的时候可以利用轴对称模型.此类问题一般是要寻找一个动点，使其到两个顶点的距离最小，通常是作一个定点关于动点所在直线的对称点，连接这个对称点与另一个定点的线段即为所求的最小值；
(3)周长最值问题
此类问题一般为所求图形中有一动点，对其求周长最值，解决此类问题时应利用转化思想，即先观察图形，结合题目，分清楚定线段和不定线段，然后将其所求图形周长的最值转化到求不定线段和的最值，进而转化为求线段最值问题，其方法同(2).
【考点剖析】
题型一：线段的数量关系
1．（2023·福建厦门·厦门一中校考模拟预测）抛物线经过点，与轴交于点，对称轴为，点是轴上一点，过点作垂直于轴的直线分别交抛物线和直线于点和点．
(1)求二次函数的表达式；
(2)若、、三个点中恰有一点是其它两点所连线段的中点（三点重合除外）时，求点的坐标；
(3)分别过点、向抛物线的对称轴作垂线，交对称轴于点、，矩形与此抛物线相交，抛物线被截得的部分图象记作，的最高点的纵坐标为，最低点纵坐标为，当时，求点的坐标．
题型二：线段最值问题
2．（2023·上海·九年级假期作业）如图，已知抛物线：，抛物线与关于点中心对称，与相交于A，B两点，点M在抛物线上，且位于点A和点B之间；点N在抛物线上，也位于点A和点B之间，且轴．
(1)求抛物线的表达式；
(2)求线段长度的最大值．
3．（2023·内蒙古·内蒙古师范大学附属学校校考三模）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，B点坐标为．与y轴交于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P在x轴下方的抛物线上，过点P的直线与直线BC交于点E，与y轴交于点F，求的最大值；
(3)点D为抛物线对称轴上一点．当是以BC为直角边的直角三角形时，求点D的坐标．
4．（2023·黑龙江绥化·统考中考真题）如图，抛物线的图象经过，，三点，且一次函数的图象经过点．
(1)求抛物线和一次函数的解析式．
(2)点，为平面内两点，若以、、、为顶点的四边形是正方形，且点在点的左侧．这样的，两点是否存在？如果存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标：如果不存在，请说明理由．
(3)将抛物线的图象向右平移个单位长度得到抛物线，此抛物线的图象与轴交于，两点（点在点左侧）．点是抛物线上的一个动点且在直线下方．已知点的横坐标为．过点作于点．求为何值时，有最大值，最大值是多少？
5．（2023·全国·九年级专题练习）如图，已知抛物线与轴交于和两点，与轴交于点．直线过抛物线的顶点．
(1)求抛物线的函数解析式；
(2)若直线与抛物线交于点，与直线交于点．
①当取得最大值时，求的值和的最大值；
②当是等腰三角形时，求点的坐标．
题型三：周长最值问题
6．（2023·湖南张家界·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与x轴交于点和点两点，与y轴交于点．点D为线段上的一动点．
(1)求二次函数的表达式；
(2)如图1，求周长的最小值；
(3)如图2，过动点D作交抛物线第一象限部分于点P，连接，记与的面积和为S，当S取得最大值时，求点P的坐标，并求出此时S的最大值．
【过关检测】
一、单选题
1．（2020春·福建龙岩·九年级校考阶段练习）P是抛物线y＝x2－4x＋5上一点，过点P作PM⊥x轴，PN⊥y轴，垂足分别是M，N，则PM＋PN的最小值是( )
A．3B．C．D．5
2．（2023·山东临沂·统考二模）如图，二次函数图象经过，且有最小值，若A点关于y轴的对称点为B点，过B作y轴平行线交抛物线于点C，在的斜边上有一动点D，过D作于E，于F，则EF的最小值为（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·山东济宁·统考一模）如图，抛物线经过点，点从点A出发，沿抛物线运动到顶点后，再沿对称轴l向下运动，给出下列说法：
①：
②抛物线的对称轴为；
③当点P，B，C构成的三角形的周长取最小值时，；
④在点P从点A运动到顶点的过程中，当时，的面积最大．
其中，所有正确的说法是（ ）
A．①②③B．①②④C．②③④D．①③
4．（2022春·全国·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2﹣2x＋c的图象与x轴交于A、C两点，与y轴交于点B（0，﹣3），若P是x轴上一动点，点D（0，1）在y轴上，连接PD，则PD＋PC的最小值是（ ）
A．4B．2＋2C．2D．
5．（2023·全国·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A、C两点，与y轴交于点B，若P是x轴上一动点，点Q（0，2）在y轴上，连接PQ，则的最小值是（ ）
A．6B．C．D．
6．（2022秋·浙江温州·九年级统考阶段练习）如图，抛物线交x轴于A，B两点，交y轴于点C，点D为抛物线的顶点，点C关于抛物线的对称轴的对称点为点E，点G，F分别在x轴和y轴上，则四边形EDFG周长的最小值为（ ）
A．6B．C．D．
二、填空题
7．（2023·江苏连云港·校考三模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于点A，C两点，与y轴交于点B，对称轴与x轴交于点D，若P为y轴上的一个动点，连接，则的最小值为___________．
8．（2023秋·河北秦皇岛·九年级秦皇岛市第七中学校考期末）如图，已知二次函数图像的顶点坐标为 ，与 轴交于点 ， 直线 与该二次函数的图像交于 ， 两点， 是线段 上的一个动点， 过 作 轴的垂线交二次函数的图像于点 则线段 的最大值为____________．
9．（2023·江苏宿迁·统考一模）如图，抛物线交x轴于A、B两点．点P为x轴下方抛物线上任意一点，点C是抛物线对称轴与x轴的交点，直线分别交抛物线的对称轴于点M、N．的值等于______________．
10．（2023·吉林长春·统考一模）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点在抛物线上，过点作轴的垂线，交抛物线于另一点，点、在线段上，且、两点关于轴对称，过点作轴的垂线交抛物线于点．连接，若，则线段的长为______．
11．（2023秋·广西南宁·九年级南宁十四中校考开学考试）如图抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点是抛物线对称轴上任意一点，若点，，分别是，，的中点，连接，，则的最小值为______．
12．（2023春·福建泉州·九年级福建省永春第一中学校考期中）如图：二次函数的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧）与y轴交于点C，顶点为点D．
（1）在抛物线的对称轴上找一点P，使的值最大时，则点P的坐标为 ___；
（2）在抛物线的对称轴上找一点P，使的值最小时，则点P的坐标为 ____．
13．（2023·四川·校联考模拟预测）已知二次函数交x轴于（点A在B的左侧）两点，平面上有任意点P，使得，则面积的最大值为_________．（用含有a的代数式表示）
14．（2023·四川宜宾·统考中考真题）如图，抛物线经过点，顶点为，且抛物线与轴的交点B在和之间（不含端点），则下列结论：
①当时，；
②当的面积为时，；
③当为直角三角形时，在内存在唯一点P，使得的值最小，最小值的平方为．
其中正确的结论是___________．（填写所有正确结论的序号）
15．（2023·全国·九年级专题练习）如图，抛物线经过点，顶点为，且抛物线与轴的交点B在和之间（不含端点），则下列结论：
①当时，；
②当的面积为时，；
③当为直角三角形时，在内存在唯一点P，使得的值最小，最小值的平方为．
其中正确的结论是___________．（填写所有正确结论的序号）
三、解答题
16．（2023·浙江温州·温州市第二十三中学校考三模）如图，已知二次函数的图象与x轴交于，B，与y轴交于点．轴交抛物线于点D．
(1)求b，c的值．
(2)已知点E在抛物线上且位于x轴上方，过E作y轴的平行线分别交于点F，G，且，求点E的坐标．
17．（2023·浙江·九年级假期作业）直线经过点，抛物线经过点，其中和为实数．设抛物线的顶点为，过作轴的平行线交直线于点．
(1)求和的值；
(2)当抛物线顶点的纵坐标取得最大值时，求线段的值；
(3)求线段的最小值．
18．（2023·浙江·九年级假期作业）如图，在平面直角坐标系中，绕原点O逆时针旋转得到，其中点A的坐标为．
(1)写出C点的坐标______，B点的坐标______；
(2)若二次函数经过A，B，C三点，求该二次函数的解析式；
(3)在（2）条件下，在二次函数的对称轴上是否存在一点P，使得最小？若P点存在，求出P点坐标；若P点不存在，请说明理由．
19．（2023·江苏镇江·统考二模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像与x轴相交于点A、B，与y轴相交于点C，其中B点的坐标为，点M为抛物线上的一个动点．
(1)二次函数图像的对称轴为直线．
①求二次函数的表达式；
②若点M与点C关于对称轴对称，则点M的坐标是________；
③在②的条件下，连接，在上任意取一点P，过点P作x轴的平行线，与抛物线对称轴左侧的图像交于点Q，求线段的最大值；
(2)过点M作的平行线，交抛物线于点N，设点M、N的横坐标为m、n，在点M运动的过程中，试问的值是否会发生改变？若改变，请说明理由；若不变，请求出的值．
20．（2023·辽宁·统考中考真题）如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，点在抛物线上．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点在第一象限内，过点作轴，交于点，作轴，交抛物线于点，点在点的左侧，以线段为邻边作矩形，当矩形的周长为11时，求线段的长；
(3)点在直线上，点在平面内，当四边形是正方形时，请直接写出点的坐标．
(1)线段的数量关系
此类问题一般是求满足线段数量关系的点的坐标，针对这种情况应先在图中找出对应线段，弄清已知点和未知点；再联系二次函数和一次函数，设出未知点的坐标，使其只含一个未知数；最后表示出线段的长度，列出满足线段数量关系的等式，从而求出未知数的值；
(2)线段最值问题
此类问题通常有两类：
①设出关键的点的未知数(通常是一个跟所求线段关系紧密的点的横坐标)，通过题目中的函数和图形关系，用该点的横坐标表示出有关线段端点的坐标，进而表示出线段的长，通过二次函数的性质求最值，继而得到线段的最大值或最小值；
②在求线段最小值的时候可以利用轴对称模型.此类问题一般是要寻找一个动点，使其到两个顶点的距离最小，通常是作一个定点关于动点所在直线的对称点，连接这个对称点与另一个定点的线段即为所求的最小值；
(3)周长最值问题
此类问题一般为所求图形中有一动点，对其求周长最值，解决此类问题时应利用转化思想，即先观察图形，结合题目，分清楚定线段和不定线段，然后将其所求图形周长的最值转化到求不定线段和的最值，进而转化为求线段最值问题，其方法同(2).
【考点剖析】
题型一：线段的数量关系
1．（2023·福建厦门·厦门一中校考模拟预测）抛物线经过点，与轴交于点，对称轴为，点是轴上一点，过点作垂直于轴的直线分别交抛物线和直线于点和点．
(1)求二次函数的表达式；
(2)若、、三个点中恰有一点是其它两点所连线段的中点（三点重合除外）时，求点的坐标；
(3)分别过点、向抛物线的对称轴作垂线，交对称轴于点、，矩形与此抛物线相交，抛物线被截得的部分图象记作，的最高点的纵坐标为，最低点纵坐标为，当时，求点的坐标．
题型二：线段最值问题
2．（2023·上海·九年级假期作业）如图，已知抛物线：，抛物线与关于点中心对称，与相交于A，B两点，点M在抛物线上，且位于点A和点B之间；点N在抛物线上，也位于点A和点B之间，且轴．
(1)求抛物线的表达式；
(2)求线段长度的最大值．
3．（2023·内蒙古·内蒙古师范大学附属学校校考三模）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，B点坐标为．与y轴交于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P在x轴下方的抛物线上，过点P的直线与直线BC交于点E，与y轴交于点F，求的最大值；
(3)点D为抛物线对称轴上一点．当是以BC为直角边的直角三角形时，求点D的坐标．
4．（2023·黑龙江绥化·统考中考真题）如图，抛物线的图象经过，，三点，且一次函数的图象经过点．
(1)求抛物线和一次函数的解析式．
(2)点，为平面内两点，若以、、、为顶点的四边形是正方形，且点在点的左侧．这样的，两点是否存在？如果存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标：如果不存在，请说明理由．
(3)将抛物线的图象向右平移个单位长度得到抛物线，此抛物线的图象与轴交于，两点（点在点左侧）．点是抛物线上的一个动点且在直线下方．已知点的横坐标为．过点作于点．求为何值时，有最大值，最大值是多少？
5．（2023·全国·九年级专题练习）如图，已知抛物线与轴交于和两点，与轴交于点．直线过抛物线的顶点．
(1)求抛物线的函数解析式；
(2)若直线与抛物线交于点，与直线交于点．
①当取得最大值时，求的值和的最大值；
②当是等腰三角形时，求点的坐标．
题型三：周长最值问题
6．（2023·湖南张家界·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与x轴交于点和点两点，与y轴交于点．点D为线段上的一动点．
(1)求二次函数的表达式；
(2)如图1，求周长的最小值；
(3)如图2，过动点D作交抛物线第一象限部分于点P，连接，记与的面积和为S，当S取得最大值时，求点P的坐标，并求出此时S的最大值．
【过关检测】
一、单选题
1．（2020春·福建龙岩·九年级校考阶段练习）P是抛物线y＝x2－4x＋5上一点，过点P作PM⊥x轴，PN⊥y轴，垂足分别是M，N，则PM＋PN的最小值是( )
A．3B．C．D．5
2．（2023·山东临沂·统考二模）如图，二次函数图象经过，且有最小值，若A点关于y轴的对称点为B点，过B作y轴平行线交抛物线于点C，在的斜边上有一动点D，过D作于E，于F，则EF的最小值为（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·山东济宁·统考一模）如图，抛物线经过点，点从点A出发，沿抛物线运动到顶点后，再沿对称轴l向下运动，给出下列说法：
①：
②抛物线的对称轴为；
③当点P，B，C构成的三角形的周长取最小值时，；
④在点P从点A运动到顶点的过程中，当时，的面积最大．
其中，所有正确的说法是（ ）
A．①②③B．①②④C．②③④D．①③
4．（2022春·全国·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2﹣2x＋c的图象与x轴交于A、C两点，与y轴交于点B（0，﹣3），若P是x轴上一动点，点D（0，1）在y轴上，连接PD，则PD＋PC的最小值是（ ）
A．4B．2＋2C．2D．
5．（2023·全国·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A、C两点，与y轴交于点B，若P是x轴上一动点，点Q（0，2）在y轴上，连接PQ，则的最小值是（ ）
A．6B．C．D．
6．（2022秋·浙江温州·九年级统考阶段练习）如图，抛物线交x轴于A，B两点，交y轴于点C，点D为抛物线的顶点，点C关于抛物线的对称轴的对称点为点E，点G，F分别在x轴和y轴上，则四边形EDFG周长的最小值为（ ）
A．6B．C．D．
二、填空题
7．（2023·江苏连云港·校考三模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于点A，C两点，与y轴交于点B，对称轴与x轴交于点D，若P为y轴上的一个动点，连接，则的最小值为___________．
8．（2023秋·河北秦皇岛·九年级秦皇岛市第七中学校考期末）如图，已知二次函数图像的顶点坐标为 ，与 轴交于点 ， 直线 与该二次函数的图像交于 ， 两点， 是线段 上的一个动点， 过 作 轴的垂线交二次函数的图像于点 则线段 的最大值为____________．
9．（2023·江苏宿迁·统考一模）如图，抛物线交x轴于A、B两点．点P为x轴下方抛物线上任意一点，点C是抛物线对称轴与x轴的交点，直线分别交抛物线的对称轴于点M、N．的值等于______________．
10．（2023·吉林长春·统考一模）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点在抛物线上，过点作轴的垂线，交抛物线于另一点，点、在线段上，且、两点关于轴对称，过点作轴的垂线交抛物线于点．连接，若，则线段的长为______．
11．（2023秋·广西南宁·九年级南宁十四中校考开学考试）如图抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点是抛物线对称轴上任意一点，若点，，分别是，，的中点，连接，，则的最小值为______．
12．（2023春·福建泉州·九年级福建省永春第一中学校考期中）如图：二次函数的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧）与y轴交于点C，顶点为点D．
（1）在抛物线的对称轴上找一点P，使的值最大时，则点P的坐标为 ___；
（2）在抛物线的对称轴上找一点P，使的值最小时，则点P的坐标为 ____．
13．（2023·四川·校联考模拟预测）已知二次函数交x轴于（点A在B的左侧）两点，平面上有任意点P，使得，则面积的最大值为_________．（用含有a的代数式表示）
14．（2023·四川宜宾·统考中考真题）如图，抛物线经过点，顶点为，且抛物线与轴的交点B在和之间（不含端点），则下列结论：
①当时，；
②当的面积为时，；
③当为直角三角形时，在内存在唯一点P，使得的值最小，最小值的平方为．
其中正确的结论是___________．（填写所有正确结论的序号）
15．（2023·全国·九年级专题练习）如图，抛物线经过点，顶点为，且抛物线与轴的交点B在和之间（不含端点），则下列结论：
①当时，；
②当的面积为时，；
③当为直角三角形时，在内存在唯一点P，使得的值最小，最小值的平方为．
其中正确的结论是___________．（填写所有正确结论的序号）
三、解答题
16．（2023·浙江温州·温州市第二十三中学校考三模）如图，已知二次函数的图象与x轴交于，B，与y轴交于点．轴交抛物线于点D．
(1)求b，c的值．
(2)已知点E在抛物线上且位于x轴上方，过E作y轴的平行线分别交于点F，G，且，求点E的坐标．
17．（2023·浙江·九年级假期作业）直线经过点，抛物线经过点，其中和为实数．设抛物线的顶点为，过作轴的平行线交直线于点．
(1)求和的值；
(2)当抛物线顶点的纵坐标取得最大值时，求线段的值；
(3)求线段的最小值．
18．（2023·浙江·九年级假期作业）如图，在平面直角坐标系中，绕原点O逆时针旋转得到，其中点A的坐标为．
(1)写出C点的坐标______，B点的坐标______；
(2)若二次函数经过A，B，C三点，求该二次函数的解析式；
(3)在（2）条件下，在二次函数的对称轴上是否存在一点P，使得最小？若P点存在，求出P点坐标；若P点不存在，请说明理由．
19．（2023·江苏镇江·统考二模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像与x轴相交于点A、B，与y轴相交于点C，其中B点的坐标为，点M为抛物线上的一个动点．
(1)二次函数图像的对称轴为直线．
①求二次函数的表达式；
②若点M与点C关于对称轴对称，则点M的坐标是________；
③在②的条件下，连接，在上任意取一点P，过点P作x轴的平行线，与抛物线对称轴左侧的图像交于点Q，求线段的最大值；
(2)过点M作的平行线，交抛物线于点N，设点M、N的横坐标为m、n，在点M运动的过程中，试问的值是否会发生改变？若改变，请说明理由；若不变，请求出的值．
20．（2023·辽宁·统考中考真题）如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，点在抛物线上．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点在第一象限内，过点作轴，交于点，作轴，交抛物线于点，点在点的左侧，以线段为邻边作矩形，当矩形的周长为11时，求线段的长；
(3)点在直线上，点在平面内，当四边形是正方形时，请直接写出点的坐标．
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