江西省抚州市2025-2026学年八年级下学期期末学生学业质量监测 数学试题

这是一份江西省抚州市2025-2026学年八年级下学期期末学生学业质量监测 数学试题，共3页。试卷主要包含了汤显祖《牡丹亭》名句等内容，欢迎下载使用。
说明：1．本卷共有六大题，23个小题，全卷满分120分，考试时间120分钟．
2．本卷分为试题卷和答题卡，答案要求写在答题卡上，不得在试题卷上作答，否则不给分．
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．每小题只有一个正确选项）
1．运用几何知识分析物理实验仪器结构，下列示意图中是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．下列式子从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A．B．
C．D．
3．一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为（ ）
A．4B．5C．6D．7
4．如图，一次函数与的图象交于点，当时，的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
5．如图，在中，，，的垂直平分线交于点，交于点，若，则的长为（ ）
A．12B．14C．16D．18
6．如图，已知是等边三角形，是边上的一个动点（点不与点，重合），将绕点顺时针旋转一定角度后得到，过点作交于点，连接．给出以下四个结论：①旋转角为；②为等边三角形；③四边形为平行四边形；④；其中正确的结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7．若分式有意义，则的取值范围是_______________．
8．已知，则的值是_______________．
9．汤显祖《牡丹亭》名句：“情不知所起，一往而深．生者可以死，死可以生．”某校开展抚州文化学习活动，抄写该句原文汉字18字，小明抄写原文比小华多花0.5分钟，小华抄写速度是小明的2倍．设小明抄写速度为每分钟字，可列方程为____________________．
10．如图，在中，，，，，分别为，的中点，连接，，若，则底边的长为_______________．
11．如图，点是内部的一点，点到三边，，，的距离，，则的度数为_______________．
12．学校美术社制作校园文化海报，玲玲在长为，宽为的长方形彩纸上，剪了一个腰长为的等腰三角形装饰图案（要求等腰三角形的一个顶点与长方形的一个顶点重合，其余两个顶点在长方形的边上），则这个等腰三角形的底边为_______________cm．
三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13．（1）因式分解：；（2）解方程：．
14．先化简，再从1，2，3中选择一个合适的数作为的值代入求值．
15．如图，在中，，点是边上的中点，于点，于点．
（1）求证：；
（2）若，，求周长．
16．已知四边形是平行四边形，请仅用无刻度直尺完成下列作图，保留作图痕迹，不写作法．
（1）如图1，为上任意一点，请在边上找出一点，使；
（2）如图2，为对角线上任意一点，请在对角线上找出另一点，使．
17．下面是某同学解不等式组的过程，认真阅读并完成相应任务．
解：由不等式①，得， ……第一步
由不等式②，得， ……第二步
∴原不等式组的解集为 ……第三步
（1）该同学的解答过程中开始出现错误的步骤是第__________步；
（2）求不等式组的解集并将解集在数轴上表示出来．
四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18．“运动强健体魄，锻炼润泽人生”，抚州市某学校为推进学生阳光体育活动，计划网购跳绳、乒乓球拍两种体育用品，已知每副乒乓球拍比每根跳绳贵80元，用600元购买跳绳的数量与用1800元购买乒乓球拍的数量相等．
（1）跳绳和乒乓球拍的单价各是多少元？
（2）学校计划购买两种器材共100件，要求乒乓球拍数量至少是跳绳数量的1.5倍，且总费用不超过9000元，怎样购买总费用最少？并求出最少费用．
19．如图所示，在中，点，分别为，的中点，点在线段上，连接，点，分别为，的中点．
（1）求证：四边形为平行四边形；
（2）若，，，求四边形的面积．
20．在平面直角坐标系中，已知一次函数的图象与轴、轴分别交于，两点，与正比例函数的图象交于点，且点的横坐标为4．
（1）求的值；
（2）观察图象，直接写出当时的取值范围；
（3）若点是轴上的一个动点，当取最小值时，求点的坐标．
五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21．【阅读材料】配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些求代数式的最大值、最小值的问题．
例如：分解因式．又如，求代数式的最小值，我们可以通过配方得到：．因为，所以，则，当时，有最小值，最小值是．
根据阅读材料用配方法解决下列问题：
（1）分解因式：；
（2）当为何值时，多项式有最大值？并求出这个最大值．
（3）若多项式与一个单项式的和能通过配方法因式分解，请直接写出满足条件的所有单项式．
22．如图1，在梯形中，，，，动点从点开始沿边向以的速度运动；动点从点开始沿边向以的速度运动，动点，分别从，同时出发，当其中一点到达终点则另一点也随之停止运动．设运动时间为秒（），
（1）当为何值时，点恰好是的中点；
（2）当为何值时，截四边形的两部分中有一个图形是平行四边形；
（3）如图2，若梯形变为平行四边形，，动点从点出发以的速度向点运动；动点从点出发以的速度在间往返运动，当点到达点时，动点，同时停止运动．求出当为何值时，以，，，四点组成的四边形是平行四边形．
六、（本大题共12分）
23．某校数学小组对特殊三角形外一点与该三角形三个顶点所形成的线段数量关系展开探究：
（1）如图1，已知等边三角形，点在边的延长线上，且，求线段，，的数量关系，马超同学猜想结论为，你是否同意？并说明理由；
（2）探究发现，当点不在任意边的延长线上时（如图2），图形形似“鸡爪”，于是兴趣小组同学们对“鸡爪”图形的特点展开深入探究：已知为等边三角形，，那么此时（1）中的结论是否仍成立？
小孙同学的探究思路如下：以线段为边，向外侧作等边三角形，连接，，请沿着小孙同学的思路完成证明；
（3）如图3，“鸡爪”图形中，是等腰直角三角形，，，求线段，，的数量关系；
（4）如图4，“鸡爪”图形中，是等腰直角三角形，，，若，，请直接写出的长．
2025－2026学年度下学期学生学业质量监测
八年级数学试题答案
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．每小题只有一个正确选项）
1．D 2．B 3．C 4．A 5．D 6．C
3．C 【详解】解：∵任意多边形外角和恒为，
∴这个多边形的内角和为，
设多边形边数为，多边形内角和公式：，
解得：，因此，这个多边形为六边形．
故选：C．
4．A 【详解】解：与的图象交于点，
由图象可知：当时，直线在直线下方，
即关于的不等式的解集为．
故选：A．
5．D 【详解】解：连接，，
，，
的垂直平分线交，，，
在中，，，
，，
在中，，，
．
故选：D．
6．C 【详解】解：是等边三角形，
，，
绕点顺时针旋转得到，
∴旋转角为，故①正确；
由旋转得：，旋转角，
是等边三角形，故②正确；
绕点顺时针旋转得到，
，，，
根据四边形内角和为，，
由②知是等边三角形，，，
，，又，
∴四边形为平行四边形，故③正确；
由③知四边形为平行四边形，
，若，则为得中点，
又随得变动，在射线上运动，，，
不一定是得中点，故④不正确；
∴故①②③正确；故选：C．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7．，
【详解】解：分式有意义，，
故答案为：．
8．25
【详解】解：，
，
故答案为：25．
9．，
【详解】解：设小明抄写速度为每分钟字，则小华抄写速度为每分钟字，
等量关系：，
故答案为：．
10．
【详解】解：，，，
又，
在中，分别为的中点，，
，，，
，．
故答案为：．
11．，
【详解】解：点到三边的距离，根据角平分线性质定理的逆定理，
可知：点是的内心，即三条内角平分线的交点．
平分，平分，
，，
在中，根据三角形内角和定理：，
即，
，
．
故答案为：．
12．或或，
【详解】解：已知：在长10cm、宽8cm的长方形彩纸上，剪一个腰长为6cm的等腰三角形，顶点与长方形顶点重合，另两顶点在边上．需分三种情况讨论：
情况1：顶角顶点在长方形顶点，两腰在相邻两边上，
，，底边为等腰直角三角形的斜边，
由勾股定理：；
情况2：底角顶点在长方形顶点，腰在宽边上，等腰三角形的一个底角顶点与重合，
一条腰在上，另一腰，顶点在上，
，
在中，，
在中，；
情况3：底角顶点在长方形顶点，腰在长边上，等腰三角形的一个底角顶点与重合，
一条腰在上，另一腰，顶点在上，
，
在中，，
在中，．
故答案为：或或．
三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13．（1）因式分解：
解：原式；
（2）解方程：．
解：方程两边乘得：，
解得：，经检验，是原方程的根．
14．解：原式；
∵分母不能为0，，∴当时，原式．
15．（1）证明：，点是边上的中点，
平分，
又，，；
（2）解：，，为等边三角形，
∵点是边上的中点，，
，，
的周长为6．
16．解：（1）如图1，点即为所求，
（2）如图2，点即为所求．
17．（1）一：
（2）解：由不等式①，得，，
由不等式②，得，，
∴原不等式组的解集为．
数轴如图：
四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18．解：（1）设跳绳单价为元，则乒乓球拍单价为元；
由题意：，解得：，
经检验，是原方程的解，
乒乓球拍单价：元；
（2）设购买跳绳件，则乒乓球拍件，总费用为元，
则，
由题意：，解得：，
，随着的增大而减小，
故当时，取最小值，最小值为元，
答：当购买跳绳40件，乒乓球拍60件时，总费用最少．最少费用为8800元．
19．（1）证明：∵点，分别为，的中点，点，分别为，的中点，
是的中位线，是的中位线，
，，，，
，，
∴四边形为平行四边形；
（2）解：∵四边形为平行四边形，
，，
，，，
为中点，，
，，，
．
20．（1）解：在中，令得，
，把代入得：，；
（2）由图象可得，当时，的取值范围是；
（3）作关于轴的对称点，
，关于轴对称，
，，，
在线段上时，最小，即最小，
由（1）知，即点，设直线为，
将代入得：，解得，
∴直线为，
∵点在轴上，令得，的坐标．
五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21．解：（1）；
（2），
，，
当时，，取得最大值为7．
（3）当，需要加单项式；当，需要加单项式；
当，需要加单项式．
所以满足条件的单项式为：、、．
22．解：（1），是的中点，，
，，解得．
（2）由题意得：，，
则，，
①，时，四边形为平行四边形，
此时，，解得：．
（2），时，四边形为平行四边形，
此时，，解得：，
综上所述，当或时，截四边形的两部分有一个平行四边形．
（3）解：∵四边形是平行四边形，
，即，
若以，，，四点组成的四边形是平行四边形，则，
①当时，，，
，解得（不合题意，舍去）；
②当时，，，
，解得；
综上可得：的值为时，以，，，四点为顶点的四边形是平行四边形．
六、（本大题共12分）
23．（1）解：同意，
理由如下：∵在等边三角形中，
，，
，，
，
，即；
（2）解：（1）的结论成立，
证明：如图，线段朝外作等边三角形，连接，
在等边，等边中，，，
，，
，，
，，
，；
（3）解：如图，线段朝外作等腰直角三角形，连接，
在等腰直角，等腰直角中，，，
，，
，，
，，
，，即；
（4）解：过点作，交延长线于点，
，，，
，，
即，又，
，，
，，，
．