河北省保定市卓秀中学等校2025-2026学年八年级下学期期末学业质量检测 数学试题（含解析）

这是一份河北省保定市卓秀中学等校2025-2026学年八年级下学期期末学业质量检测 数学试题（含解析），共3页。试卷主要包含了选择题等内容，欢迎下载使用。
第Ⅰ卷（选择题）
一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 下列数学符号中，是中心对称图形的是（ ）
A. 推出B. 全等C. 无穷大D. 求和
2. 一个不等式组中的两个不等式的解集在数轴上的表示如图所示，则这个不等式组的解集为（ ）
A. B. C. D.
3. 如图，已知直线，则下列能表示直线m，n之间距离的是（ ）
A. 线段的长B. 线段的长 C. 线段的长D. 线段的长
4. 下列分式的取值结果可以是的是（ ）
A. B. C. D.
5. 如图，已知，若用“”判定和全等，则可以添加的条件是（ ）
A. B. C. D.
6. 如图，将五边形沿虚线裁去一个角，得到六边形，则下列说法正确的是（ ）
A. 面积不变B. 周长变小C. 外角和变大D. 内角和变小
7. 若分式中的和都扩大为原来的倍后，分式的值不变，则可能是（ ）
A. B. C. D.
8. 如图，直线和直线交于点，则关于的不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
9. 如图，网格中小正方形的边长均为，点，，，都在格点上，以点为圆心，为半径画弧，交最上方的网格线于点，连接，则的长为（ ）
A. B. C. D.
10. 静止在斜坡上的小正方体木块的受力情况如图所示，其中摩擦力的方向，支持力的方向，重力的方向．若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
11. 如图，在中，，，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交，于点M和N，再分别以M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，连接并延长交于点D，以下结论错误的是（ ）
A. 是的平分线B.
C. 点D在线段的垂直平分线上D.
12. 如图，是等边三角形三边垂直平分线的交点，，的边，与，分别相交于点，，绕点顺时针旋转，有下列结论：①；②；③与的面积相等；④四边形的面积是个定值．其中正确的个数是（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
第Ⅱ卷（非选择题）
二．填空题（本大题共4个小题．每小题3分，共12分）
13. 分解因式： _______．
14. 若且，则的值为_____．
15. 图①是一个正十二面体，它的每个面都是正五边形，图②是其表面展开图，则为_______度．
16. 如图，中，，，，点是边上的一个动点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，则在点运动过程中：
（1）当与重合时，长为________；
（2）线段的最小值为________．
三．解答题（本大题共8个小题，共72分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 嘉嘉和淇淇在玩代数式卡片游戏．嘉嘉写的代数式为，淇淇写的代数式为．
（1）若嘉嘉的代数式的值小于淇淇的代数式的值，即，求的取值范围，并在数轴上表示其解集；
（2）嘉嘉说：“把我的代数式的值平方后，一定大于淇淇的代数式的值．”即一定成立．请你判断嘉嘉的说法是否正确，并说明理由．
18. 下面的分式化简题呈现了嘉嘉的正确解答过程，但部分算式被遮挡．
（1）求被遮挡部分的代数式（化为最简）；
（2）嘉嘉认为“该分式的值不可能为6”，
①请你帮她说明理由；
②淇淇认为嘉嘉的说法不全面，你认为该分式的值还不可能为__________．
19. 在如图平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，
（1）将绕原点顺时针旋转，请画出旋转后的；
（2）将平移后得到，若点对应点坐标为，
①请画出平移后的；
②若内部一点的坐标为，则点的对应点的坐标是__________；（用含字母、的代数式表示）．
（3）将绕某点旋转可得到，则点的坐标是__________；
（4）若点是轴上的一点，且满足，请直接写出点的坐标．
20. 如图，在中，，F是的中点，E是的中点，D为延长线上一点，且，连接，，．
（1）判断四边形的形状，并加以证明；
（2）若，，求四边形的面积．
21. 【发现】
两个连续奇数的平方差是8的整数倍．
（1）【验证】
的结果是8的_________倍；
（2）【证明】
证明两个连续奇数与（为整数）的平方差是8的整数倍；
（3）【延伸】
两个连续偶数与（为整数）的平方差还是8的整数倍吗？请说明理由；如果不是，将上述平方差的结果加上正整数，使得最后的结果是8的整数倍，直接写出的最小值．
22. 先阅读下面的材料，然后回答问题：
方程的解为，；
方程的解为，；
方程的解为，；…
（1）观察上述方程的解，猜想关于的方程的解是__________；
（2）根据上面的规律，猜想关于的方程的解是__________；
（3）由（2）可知，在解方程：时，可以变形转化为的形式求值，按要求写出你的变形求解过程．
（4）利用（2）的结论直接写出方程的解：．
23. 2026年春节，智能健康手表成为热门“孝心年货”，其中、两款手表深受市民喜爱．某商店专营该两款手表，已知款手表的进价比款手表每块多40元．该商店用6000元购进款手表的数量，与用7200元购进款手表的数量相等．
（1）求款、款手表每块的进价分别为多少元？
（2）该商店计划购进这两款手表（两种都要购进）共50块，且进货总费用不超过10800元．已知每块款手表利润60元，每块款手表利润80元．求全部售出后可获得的最大总利润．
24. 综合与实践
【问题背景】
如图1，在中，，，点、是边上的两点（点在、之间）且，我们把这种模型称为“半角模型”．在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法．
（1）【初步探索】
如图2，将绕点逆时针旋转得到，连接．
求证：
（2）【探索延伸】
如图3，当时．
①若，求的长；
②若为直角三角形，则________；
（3）【延伸拓展】
如图4，若，，线段（）．则的长为________（用含的代数式表示）．
数学
总分120分，考试时间120分钟．
第Ⅰ卷（选择题）
一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 下列数学符号中，是中心对称图形的是（ ）
A. 推出B. 全等C. 无穷大D. 求和
答案：C
解析：
思路：中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．根据中心对称图形的定义进行逐一判断即可．
解答过程：解：A、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C、是中心对称图形，故此选项符合题意；
D、不是中心对称图形，故此选项不符合题意．
2. 一个不等式组中的两个不等式的解集在数轴上的表示如图所示，则这个不等式组的解集为（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
思路：根据数轴可得不等式的解集，注意实心表示可以取等于，空心表示不能取等于．
解答过程：解：由数轴可得，这个不等式组的解集为．
3. 如图，已知直线，则下列能表示直线m，n之间距离的是（ ）
A. 线段的长B. 线段的长 C. 线段的长D. 线段的长
答案：B
解析：
思路：本题考查了平行线间的距离．熟练掌握平行线间的距离是解题的关键．
根据平行线间的距离定义判断作答即可．
解答过程：解：由题意知，表示直线m，n之间距离的是线段的长，
故选：B．
4. 下列分式的取值结果可以是的是（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
思路：本题主要考查了分式的值为0的条件，掌握分式的值为0的条件是分子为0且分母不为0成为解题的关键．
根据分式的值为0的条件逐项判断即可．
解答过程：解：A．分子恒为1，不可能为0，不符合题意；
B．（），当分子时，分母，分式无意义，不符合题意；
C．，当分子时，分母，分式值为，符合条件；
D．．当分子（即）时，分母也为0，分式无意义，不符合题意．
故选：C．
5. 如图，已知，若用“”判定和全等，则可以添加的条件是（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
思路：本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定定理是解题关键．根据斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等求解即可．
解答过程：解：由题意可，，即两直角三角形斜边相等，
若用“”判定和全等，则还需一组直角边相等，
即或，
只有B选项符合，
故选：B．
6. 如图，将五边形沿虚线裁去一个角，得到六边形，则下列说法正确的是（ ）
A. 面积不变B. 周长变小C. 外角和变大D. 内角和变小
答案：B
解析：
思路：根据多边形的内角和和外角和公式以及三角形的三边关系求解即可．
解答过程：解：将五边形沿虚线裁去一个角，得到六边形，
∵五边形的外角和为：，六边形的外角和为：，
将五边形沿虚线裁去一个角，外角和不变；
五边形的内角和为，六边形的内角和为，
∴内角和变大了；
由于裁去一个角，则减少一部分，故面积变小；
∵，
∴周长变小．
7. 若分式中的和都扩大为原来的倍后，分式的值不变，则可能是（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
思路：将和都扩大为原来的倍，先确定分母的变化情况，再结合分式值不变的条件，推导得到需要满足的要求，再判断选项即可．
解答过程：解：和都扩大为原来的倍，
分母变为，即分母扩大为原来的倍，
分式的值不变，
新的分子应扩大为原来的倍，
A、若，新分子为，符合要求；
B、若，新分子为，不符合要求；
C、若，新分子为，不符合要求；
D、若，新分子为，不符合要求．
8. 如图，直线和直线交于点，则关于的不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
思路：根据一次函数与一元一次不等式之间的关系，结合图像进行分析即可．
解答过程：解：当时，直线在直线的上方，
∴的解集是，
则不等式的解集为．
9. 如图，网格中小正方形的边长均为，点，，，都在格点上，以点为圆心，为半径画弧，交最上方的网格线于点，连接，则的长为（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
思路：本题考查了勾股定理与网格问题，勾股定理与无理数，由题意可得，然后通过勾股定理求出即可，掌握勾股定理的应用是解题的关键．
解答过程：解：由题意可得，，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
故选：．
10. 静止在斜坡上的小正方体木块的受力情况如图所示，其中摩擦力的方向，支持力的方向，重力的方向．若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
思路：题目主要考查角度的计算，三角形内角和定理，理解题意，结合图形求解是解题关键．
根据题意得出，，重力的方向，，确定，即可求解．
解答过程：解：如图所示：
∵，，重力G的方向，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：A．
11. 如图，在中，，，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交，于点M和N，再分别以M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，连接并延长交于点D，以下结论错误的是（ ）
A. 是的平分线B.
C. 点D在线段的垂直平分线上D.
答案：D
解析：
思路：本题考查的是角平分线的含义，线段的垂直平分线的判定，含的直角三角形的性质，A．根据作图的过程可以判定是的角平分线；B．利用角平分线的定义可以推知，则由直角三角形的性质来求的度数；C．利用等角对等边可以证得，由线段垂直平分线的判定可以证明点在的垂直平分线上；D．利用角所对的直角边是斜边的一半求出，进而可得，则．
解答过程：解：根据作图方法可得是的平分线，故A正确，不符合题意；
∵，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∴，故B正确，不符合题意；
∵，
∴，
∴点在的垂直平分线上，故C正确，不符合题意；
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
则，故D错误，符合题意，
故选：D．
12. 如图，是等边三角形三边垂直平分线的交点，，的边，与，分别相交于点，，绕点顺时针旋转，有下列结论：①；②；③与的面积相等；④四边形的面积是个定值．其中正确的个数是（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
答案：C
解析：
思路：连接，过点C作于H，由题意可证明，则可判定①②④；求出的面积表达式，根据表达式对③无法判定，最后可确定答案．
解答过程：解：如图，连接，过点O作于H，
∵是等边三角形三边垂直平分线的交点，
∴，
∴，
∴，
即，
∴，
∴，即①正确；
∵，
∴，
即，故②正确；
∵，
∴，
∴四边形的面积定值，
故④正确；
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
而，
显然在变化，则的面积也随之变化，一般情况下不会相等；
故③错误；
综上，正确的有①②④三个；
故选：C．
方法提示：本题考查了线段垂直平分线的性质，等边三角形的性质，含30度直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质等知识，掌握这些知识是解题的关键．
第Ⅱ卷（非选择题）
二．填空题（本大题共4个小题．每小题3分，共12分）
13. 分解因式： _______．
答案：
解析：
思路：本题考查了因式分解，要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方式或平方差式，若是就考虑用公式法继续分解因式．因此，直接提取公因式即可．
解答过程：解：．
故答案为∶．
14. 若且，则的值为_____．
答案：
解析：
思路：本题考查了分式的化简求值，将原式通分后利用平方差公式化简，再代入已知条件求解即可，掌握知识点的应用是解题的关键．
解答过程：解：



，
故答案为：．
15. 图①是一个正十二面体，它的每个面都是正五边形，图②是其表面展开图，则为_______度．
答案：
解析：
思路：本题考查的是正多边形的内角与外角的问题，先求解正五边形的每一个内角为：，再进一步求解即可.
解答过程：解：∵正五边形的每一个内角为：，
∴，
故答案为：
16. 如图，中，，，，点是边上的一个动点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，则在点运动过程中：
（1）当与重合时，长为________；
（2）线段的最小值为________．
答案： ①. 5 ②. 2.5
解析：
思路：（1）先求出，当与重合时，证明是等边三角形，即可得到答案；
（2）将绕点顺时针旋转得到，则，即，，三点在同一直线上，当时，的长度最小，得出为的中位线，进而即可求解．
解答过程：解：（1）中，，，，
∴，
如图，当与重合时，
∵将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，
∴，
∴是等边三角形，
∴；
（2）将绕点顺时针旋转得到，
则此时，，三点在同一直线上，
，，
，
随着点运动，总有，，
总有，即，，三点在同一直线上，
的运动轨迹为线段，
当时，的长度最小，
中，，，，
，，即为的中点，
，，
，为的中位线，
，
三．解答题（本大题共8个小题，共72分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 嘉嘉和淇淇在玩代数式卡片游戏．嘉嘉写的代数式为，淇淇写的代数式为．
（1）若嘉嘉的代数式的值小于淇淇的代数式的值，即，求的取值范围，并在数轴上表示其解集；
（2）嘉嘉说：“把我的代数式的值平方后，一定大于淇淇的代数式的值．”即一定成立．请你判断嘉嘉的说法是否正确，并说明理由．
答案：（1），
数轴表示：
（2）嘉嘉的说法正确．
理由：，
故恒成立．
解析：
思路：（1）根据条件列出不等式求解即可；
（2）根据条件列出式子，利用完全平方公式进行化简证明即可；
（1）解：由，得，
（2）略
18. 下面的分式化简题呈现了嘉嘉的正确解答过程，但部分算式被遮挡．
（1）求被遮挡部分的代数式（化为最简）；
（2）嘉嘉认为“该分式的值不可能为6”，
①请你帮她说明理由；
②淇淇认为嘉嘉的说法不全面，你认为该分式的值还不可能为__________．
答案：（1）
（2）①理由：当该分式的值为6时，则，
解得，
当时，，原分式分母为零，分式无意义，
该分式的值不可能为6；
②该分式的值也不可能为8
解析：
思路：（1）由除法和减法的意义列式进行计算即可；
（2）①②结合分式的意义进行判断即可．
（1）解：，
，
；
（2）解：①略
②
即该分式的值也不可能为8．
19. 在如图平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，
（1）将绕原点顺时针旋转，请画出旋转后的；
（2）将平移后得到，若点对应点坐标为，
①请画出平移后的；
②若内部一点的坐标为，则点的对应点的坐标是__________；（用含字母、的代数式表示）．
（3）将绕某点旋转可得到，则点的坐标是__________；
（4）若点是轴上的一点，且满足，请直接写出点的坐标．
答案：（1）即为所求作；
（2）①即为所求作
②
（3） （4）或
解析：
思路：（1）找到绕原点顺时针旋转后的对应点，顺次连接即可得到；
（2）①找到平移方式，按照平移方式找到对应点，顺次连接即可；②根据平移方式进行解答即可；
（3）证明四边形是平行四边形，则点E即为四边形对角线的交点，根据中点坐标公式进行解答即可；
（4）设点的坐标为．求出直线的解析式为，得到，根据列方程并解方程即可求出答案．
（1）略
（2）解：①将平移后得到，点对应点坐标为，
∴平移方式为向右平移个单位长度，向下平移个单位长度；
②∵内部一点P的坐标为，
∴点P的对应点的坐标是；
（3）解：由平移和旋转的性质可得，
∴四边形是平行四边形，
∵将绕某一点E旋转可得到，
∴点E即为四边形对角线的交点，
∵，
∴，即；
（4）解：设点的坐标为．
设直线的解析式为，则
，
解得
∴直线的解析式为，
当时，，
∴，
∵，
∴
解得或，
∴或
20. 如图，在中，，F是的中点，E是的中点，D为延长线上一点，且，连接，，．
（1）判断四边形的形状，并加以证明；
（2）若，，求四边形的面积．
答案：（1）四边形是平行四边形，证明见详解
（2）解析：
思路：本题考查了三角形中位线定理，平行四边形的判定，勾股定理等，掌握三角形中位线定理，平行四边形的判定，并能熟练利用勾股定理求解是解题的关键．
（1）由三角形中位线定理得，，再由平行四边形的判定方法，即可得证；
（2）由勾股定理得，由平行四边形的面积得，即可求解．
（1）解：四边形是平行四边形，
证明：F是的中点，E是的中点，
是的中位线，
，，
，
，
，
四边形是平行四边形；
（2）解：，，，
，
F是的中点，
，
，
．
21. 【发现】
两个连续奇数的平方差是8的整数倍．
（1）【验证】
的结果是8的_________倍；
（2）【证明】
证明两个连续奇数与（为整数）的平方差是8的整数倍；
（3）【延伸】
两个连续偶数与（为整数）的平方差还是8的整数倍吗？请说明理由；如果不是，将上述平方差的结果加上正整数，使得最后的结果是8的整数倍，直接写出的最小值．
答案：（1）
（2）证明：，为整数，
两个连续奇数，的平方差是8的整数倍；
（3）两个连续偶数的平方差不是的整数倍，正整数的最小值为．
解析：
思路：（1）利用平方差公式计算的结果，并判断它是的多少倍即可．
（2）计算两个连续奇数，的平方差，利用平方差公式展开，即可证明．
（3）计算两个连续偶数，的平方差，利用平方差公式展开，可知不是的倍数，再根据平方差的结果加上正整数，最后让是的倍数即可得出的最小值．
（1）解：，
的结果是的倍．
（2）略．
（3）解：因为两个连续的偶数分别为，(为整数)，
，
所以两个连续偶数的平方差不是的整数倍．
因为上述平方差的结果加上正整数，使得最后的结果是的整数倍，
即是的整数倍，
所以加上的正整数的最小值是．
22. 先阅读下面的材料，然后回答问题：
方程的解为，；
方程的解为，；
方程的解为，；…
（1）观察上述方程的解，猜想关于的方程的解是__________；
（2）根据上面的规律，猜想关于的方程的解是__________；
（3）由（2）可知，在解方程：时，可以变形转化为的形式求值，按要求写出你的变形求解过程．
（4）利用（2）的结论直接写出方程的解：．
答案：（1），；
（2），；
（3），
，，
即，
或，
解得，，
经检验，，是原分式方程的解；
（4），．
解析：
（1）解：观察材料规律，方程​的解为，，因此当时，解为；
（2）根据上述规律，直接推广可得该方程的解为；
（3）详见参考答案；
（4）令，，
，
，
，，
或，
解得或
当时，，，当时，，，
，是原分式方程的解；
，．
方法提示：本题运用了换元思想和归纳推理，在解题的过程中必须通过拆分、换元构造出的形式是解题的关键，注意分式方程要检验．
23. 2026年春节，智能健康手表成为热门“孝心年货”，其中、两款手表深受市民喜爱．某商店专营该两款手表，已知款手表的进价比款手表每块多40元．该商店用6000元购进款手表的数量，与用7200元购进款手表的数量相等．
（1）求款、款手表每块的进价分别为多少元？
（2）该商店计划购进这两款手表（两种都要购进）共50块，且进货总费用不超过10800元．已知每块款手表利润60元，每块款手表利润80元．求全部售出后可获得的最大总利润．
答案：（1）款手表每块进价200元，款手表每块进价240元
（2）3400元
解析：
思路：（1）设款手表每块进价元，款手表每块进价元，根据“用6000元购进款手表的数量，与用7200元购进款手表的数量相等”可列出关于的分式方程，求解并检验后可得答案；
（2）设购进款手表块，则购进款手表块，全部售出的利润为元，根据“进货总费用不超过10800元”列出关于的不等式，求解后确定的取值范围；根据“每块款手表利润60元，每块款手表利润80元”可确定关于的一次函数，根据一次函数的性质可得答案．
（1）解：设款手表每块进价元，款手表每块进价元，
依题意，得：，
解得，
经检验，是原方程的解且符合题意，
（元），
答：款手表每块进价200元，款手表每块进价240元；
（2）解：设购进款手表（为整数）块，则购进款手表块，全部售出的利润为元，
根据题意得，，
解得，
两种都要购进，
，即，
，且为整数，
，
，
随的增大而减小，
当时，取得最大值，最大值为（元），
全部售出后可获得的最大总利润为3400元．
24. 综合与实践
【问题背景】
如图1，在中，，，点、是边上的两点（点在、之间）且，我们把这种模型称为“半角模型”．在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法．
（1）【初步探索】
如图2，将绕点逆时针旋转得到，连接．
求证：
（2）【探索延伸】
如图3，当时．
①若，求的长；
②若为直角三角形，则________；
（3）【延伸拓展】
如图4，若，，线段（）．则的长为________（用含的代数式表示）．
答案：（1）证明：由旋转得，，
又，
，即，
在和中，
，
，
．
（2）①；②或
（3）解析：
思路：（1）由旋转得，．又，故．结合公共边，可证，得．
（2）①由且得．由（1）全等得，，故．作，在中得，，由得，在中由勾股定理得．
②分两种情况讨论直角三角形．当时，由全等得，由旋转得，结合推出，得，故．当时，由全等得，且，故，在中，得．
（3）由旋转得，故，，又，得．由（1）全等得．设，则，在中由勾股定理，解得．
（1）略
（2）解：①如图，作，垂足为，
，
为等腰三角形，
，
由（1）同理可得，，
，，，
，且，
，
在中，
，
，
又，
在中
．
②如图，为直角三角形，当时，
由（1）同理可得，，
，
由旋转得，，
，
，即，
，
；
如图，为直角三角形，当时，
由（1）同理可得，，
，
，
，
，
综上，或．
（3）解：如图，将绕点逆时针旋转得到，连接．
由题意，，，，
为等腰直角三角形，
，
线段（），
在线段上（不包括），
由旋转可得，，
，
由（1）同理可得，，
，，
设，则，
在中，，
可得，即，
可得，解得，
的长为．解：
解：