江西省吉安市2025-2026学年八年级下学期期末检测 数学试题（含解析）

这是一份江西省吉安市2025-2026学年八年级下学期期末检测 数学试题（含解析），共3页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（每小题3分，共18分）
1. 我国古代有很多关于数学的伟大发现，其中包括很多美丽的图案，下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. 杨辉三角B. 割圆术示意图C. 赵爽弦图D. 洛书
2. 小强不小心将一块平行四边形的玻璃打碎成如图所示的四块，他带了其中的两块碎玻璃到商店配了一块与原先相同的平行四边形玻璃，他带的两块碎玻璃编号是（ ）
A. ①②B. ①③C. ②③D. ②④
3. 在平面直角坐标系中，如果将先向右平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到，那么点的对应点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
4. 下列从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ）
A. B.
C. D.
5. 下列式子中，运算结果为的是 （ ）
A. B. C. D.
6. 如图，将绕点C顺时针旋转，点B的对应点为点E，当点E恰好落在边上时，连接，若，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
7. 因式分解：______．
8. 如图，四边形的对角线交于点O，，过O作直线分别交于E，F两点，若，则四边形周长的最小值为___________．
9. 定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做“倍长三角形”．若等腰三角形是是“倍长三角形”，底边长为5，则等腰三角形的周长为______．
10. 如图，在中，的垂直平分线交于，交的延长线于，若，则的长是_____．
11. 若关于的一元一次不等式组有且仅有3个整数解，则的取值范围是_____________．
12. 若关于x的方程无解，则m的值为__．
三、解答题（共5小题，每小题6分，共30分）
13. 利用因式分解计算：
（1）；
（2）．
14. 解不等式组
15. 先化简，再求值：．其中x、y满足
16. 如图，在等腰直角三角形中，，于点，为下方一点，且．请仅用无刻度直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）．
（1）在下图中作出的中点；
（2）在下图中作出的中线．
17. 如图，E在的边的延长线上，D点在边上，交于点F，，求证：是等腰三角形．

四、（本题共3小题，每题8分，共24分）
18. 如图，的对角线，相交于点O，点E，F在上，且．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）过点O作，垂足为O，交于点M，若的周长为12，求四边形的周长．
19. 为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买A，B两种型号的充电桩，已知A型充电桩比B型充电桩的单价少0.3万元，且用15万元购买A型充电桩与用20万元购买B型充电桩的数量相等．
（1）A，B两种型号充电桩的单价各是多少万元？
（2）该停车场计划购买A，B型充电桩共25个，购买总费用不超过26万元，且购买B型充电桩的数量不少于A型充电桩数量的．哪种方案所需购买总费用最少？最少费用是多少万元？
20. 如图，中，平分，且平分，于，于．
（1）求证：；
（2）如果，，求的长．
五、（本题共2小题，每题9分，共18分）
21. 【综合应用】
材料：将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式分解的方法是因式分解中的分组分解法，常见的分组分解法的形式有：“”分法、“”分法、“”分法及“”分法等．如“”分法：；再如“”分法：．
请根据上述材料的启发解决下列问题：
（1）【理解】分解因式：；
（2）【应用】a，b，c是的三条边的长，试判断式子的值能否大于0？并说明理由；
（3）【拓展】a，b，c是的三条边的长，若，请判断的形状并说明理由．
22. 阅读与理解：
若一元一次不等式①的解都是一元一次不等式②的解，则称一元一次不等式②是一元一次不等式①的“覆盖不等式”，例如：不等式的解都是不等式的解，则是的“覆盖不等式”．
根据以上信息，解决下列问题：
（1）__________的“覆盖不等式”；（填“是”或“不是”）
（2）若关于的不等式是的“覆盖不等式”，且也是关于的不等式的“覆盖不等式”，求的值；
（3）若是关于的不等式的“覆盖不等式”，试求的取值范围．
六、（本大题12分）
23. 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，过点B的直线交x轴正半轴于点C，且面积为15．
（1）求点C的坐标及直线的解析式；
（2）若M为线段上一点，且满足，求直线的解析式；
（3）若E为直线上一个动点，在x轴上是否存在点D，使得以点D、E、B、C为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
数学
满分120分，考试时间120分钟．
一、选择题（每小题3分，共18分）
1. 我国古代有很多关于数学的伟大发现，其中包括很多美丽的图案，下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. 杨辉三角B. 割圆术示意图C. 赵爽弦图D. 洛书
答案：B
解析：
思路：本题考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，能熟记中心对称图形和轴对称图形的定义是解此题的关键．
中心对称图形是在平面内，把一个图形绕某一定点旋转，能够与自身重合的图形；轴对称图形是在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形．依据定义判断即可．
解答过程：解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
B、既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意；
C、是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意；
D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；
故选：B．
2. 小强不小心将一块平行四边形的玻璃打碎成如图所示的四块，他带了其中的两块碎玻璃到商店配了一块与原先相同的平行四边形玻璃，他带的两块碎玻璃编号是（ ）
A. ①②B. ①③C. ②③D. ②④
答案：D
解析：
思路：此题重点考查平行四边形的判定，通过观察，找到拼在一起后能够确定原来平行四边形的两组对边所在位置的两块玻璃的编号是解题的关键．观察图形，将②号玻璃和④号玻璃拼在一起，能够确定原来平行四边形的两组对边所在的位置，所以他带的两块碎玻璃编号是②④，于是得到问题的答案．
解答过程：解：如图，将②号玻璃和④号玻璃拼在一起，延长交于点A，延长交于点C，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴他带的两块碎玻璃编号是②④，
故选：D．
3. 在平面直角坐标系中，如果将先向右平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到，那么点的对应点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：
思路：利用点平移的坐标变化规则即可计算得到对应点坐标，坐标变化规则为：右移横坐标加，左移横坐标减，下移纵坐标减，上移纵坐标加．
解答过程：解：∵向右平移个单位长度，横坐标加，再向下平移个单位长度，纵坐标减．
又∵点坐标为，
∴点的横坐标为，纵坐标为．
∴的坐标为．
4. 下列从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ）
A. B.
C. D.
答案：B
解析：
解答过程：本题考查了因式分解的定义；
根据因式分解的定义，判断各选项是否将多项式转化为几个整式的积的形式．
思路：解：A. 左边是整式乘积，右边展开为多项式，属于整式乘法，不是因式分解；
B. 左边为多项式，右边分解为，是整式的乘积，符合因式分解定义；
C. 左边为乘积形式，右边展开为多项式，属于整式乘法，不是因式分解；
D. 右边为平方与常数的和，未形成乘积形式，不属于因式分解；
故选：B．
5. 下列式子中，运算结果为的是 （ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
思路：分别对每个选项进行化简，然后进行判断，即可得到答案．
解答过程：解：A、，故A错误；
B、，故B正确；
C、，故C错误；
D、，故D错误；
故选：B．
方法提示：本题考查了分式的化简求值，分式的混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则进行解题．
6. 如图，将绕点C顺时针旋转，点B的对应点为点E，当点E恰好落在边上时，连接，若，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：
思路：本题主要考查了旋转的性质、全等三角形的性质、等腰三角形的判定与性质等知识点，掌握等腰三角形的判定与性质成为解题的关键．
由旋转性质知，据此得、，再根据等腰三角形性质即可解答．
解答过程：解：由旋转的性质的可得：，
∴、，
∴．
故选：D．
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
7. 因式分解：______．
答案：
解析：
思路：先提公因式，再利用完全平方公式，即可解答．
本题考查了提公因式法和公式法进行因式分解，解决本题的关键是熟记提公因式法和公式法．
解答过程：解；
．
故答案为：．
8. 如图，四边形的对角线交于点O，，过O作直线分别交于E，F两点，若，则四边形周长的最小值为___________．
答案：
解析：
思路：本题考查平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，垂线段最短，推出当时，四边形周长的最小是解题的关键．先证明四边形是平行四边形，得到，再推出四边形周长，然后求出的最小值即可．
解答过程：解：，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
四边形周长
，
四边形周长最小时，只要最小即可，
过点O作交于点，交于点，如图，
此时的最小值为，四边形周长的最小值，
，
由勾股定理，得，
，
，
四边形周长的最小值，
故答案为：
9. 定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做“倍长三角形”．若等腰三角形是是“倍长三角形”，底边长为5，则等腰三角形的周长为______．
答案：
解析：
思路：由等腰是“倍长三角形”，可知或，若，可得的长为；若，因，故此时不能构成三角形，这种情况不存在；即可得答案．
解答过程：解：∵等腰是“倍长三角形”，
∴或，
若，则三边分别是、、，符合题意，
等腰三角形的周长为；
若，则，三边分别是、、，
∵，
∴此时不能构成三角形，这种情况不存在；
综上所述，等腰三角形的周长为，
故答案为：．
方法提示：本题考查了等腰三角形的定义以及三角形三边关系，读懂题意，理解“倍长三角形”是解本题的关键．
10. 如图，在中，的垂直平分线交于，交的延长线于，若，则的长是_____．
答案：6
解析：
思路：本题考查三角形中求线段长，涉及垂直定义、同角的余角相等、垂直平分线性质、等腰三角形性质及含的直角三角形性质等知识，利用题中条件，结合垂直定义、同角的余角相等、垂直平分线性质、等腰三角形性质得出，在中，运用含的直角三角形性质求解即可得到答案，熟练掌握含的直角三角形性质是解决问题的关键．
解答过程：解：∵，
∴，
∵，
∴，
又∵的垂直平分线交于，
∴，
∴，
∴在中，，
故答案为：6．
11. 若关于的一元一次不等式组有且仅有3个整数解，则的取值范围是_____________．
答案：
解析：
思路：本题考查的是一元一次不等式组的整数解，正确求出每一个不等式解集是基础，根据不等式组的整数解得出关于a的不等式组是解答此题的关键．分别求出每一个不等式的解集，再根据“大取大小取小、大小小大中间找、大大小小无解了”确定不等式组的解集，再结合不等式组的整数解的个数得出关于a的不等式组，解之可得答案．
解答过程：解：，
解不等式①得：，
∴，
解不等式②得：，
∵不等式组有2个整数解，
∴不等式组的解集为，从而得到不等式组的整数解为4、3、2，则，
∴，
故答案为：．
12. 若关于x的方程无解，则m的值为__．
答案：-1或5或
解析：
思路：直接解方程再利用一元一次方程无解和分式方程无解分别分析得出答案.
解答过程：去分母得：，
可得：，
当时，一元一次方程无解，
此时，
当时，
则，
解得：或.
故答案为：或或.
方法提示：此题主要考查了分式方程的解，正确分类讨论是解题关键.
三、解答题（共5小题，每小题6分，共30分）
13. 利用因式分解计算：
（1）；
（2）．
答案：（1）

（2）解析：
思路：（1）先提取公因式，再用平方差公式因式分解后计算；
（2）先对式子变形，再用完全平方公式因式分解后计算．
（1）解：



；
（2）解：



．
14. 解不等式组
答案：
解析：
思路：本题考查了解一元一次不等式组；
分别求出不等式组中两个不等式的解集，取其公共部分即可得到不等式组的解集．
解答过程：解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
所以不等式组的解集为：．
15. 先化简，再求值：．其中x、y满足
答案：，
解析：
思路：本题主要考查了分式的化简求值，先把小括号内的式子通分化简，再把除法变成乘法后约分化简，最后代值计算即可得到答案．
解答过程：解：
，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴原式．
16. 如图，在等腰直角三角形中，，于点，为下方一点，且．请仅用无刻度直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）．
（1）在下图中作出的中点；
（2）在下图中作出的中线．
答案：（1）见解析 （2）见解析
解析：
思路：本题考查了等腰三角形的性质与判定，垂直平分线的性质，三角形的中线．
（1）根据已知可得，则垂直平分，作射线交于点，则点即为所求；
（2）在（1）的基础上，连接交于点，根据三角形的中线交于一点，作射线交于点，则点即为所求．
（1）解：如图所示，点即为所求
（2）解：如图所示，中线即为所求．
17. 如图，E在的边的延长线上，D点在边上，交于点F，，求证：是等腰三角形．

答案：见解析
解析：
思路：利用平行线的性质得出进而利用得出，再利用全等三角形的性质以及等腰三角形的判定得出即可．
解答过程：证明：过点D作于点G，

∵
∴（两直线平行，内错角相等），
在和中
，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等腰三角形．
方法提示：本题考查了全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的判定，比较简单，判定两三角形全等的方法有“”、“”、“”、“”，需要熟练掌握．
四、（本题共3小题，每题8分，共24分）
18. 如图，的对角线，相交于点O，点E，F在上，且．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）过点O作，垂足为O，交于点M，若的周长为12，求四边形的周长．
答案：（1）
证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
又，
四边形是平行四边形；
（2）24
解析：
思路：本题考查平行四边形的判定和性质，垂直平分线的性质：
（1）根据平行四边形对角线互相平分，可得，，结合，可证，即可证明四边形是平行四边形；
（2）根据垂直平分，可得，通过等量代换可得，最后利用平行四边形对边相等的性质即可求解．
（1）略
（2）解：由（1）知，
又，
垂直平分，
，
的周长为12，
，
，
四边形是平行四边形，
四边形的周长．
19. 为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买A，B两种型号的充电桩，已知A型充电桩比B型充电桩的单价少0.3万元，且用15万元购买A型充电桩与用20万元购买B型充电桩的数量相等．
（1）A，B两种型号充电桩的单价各是多少万元？
（2）该停车场计划购买A，B型充电桩共25个，购买总费用不超过26万元，且购买B型充电桩的数量不少于A型充电桩数量的．哪种方案所需购买总费用最少？最少费用是多少万元？
答案：（1）A型充电桩单价为万元，B型充电桩单价为万元
（2）购买A型充电桩个，B型充电桩个时所需总费用最少，最少费用为万元
解析：
思路：（1）根据“用15万元购买A型充电桩与用20万元购买B型充电桩的数量相等”列分式方程求解；
（2）根据“购买总费用不超过26万元，且购买B型充电桩的数量不少于A型充电桩数量的”列不等式组确定取值范围，从而分析计算求解．
（1）解：设A型充电桩的单价为x万元，则B型充电桩的单价为万元．
根据题意列分式方程得，．
整理得，，
解得．
经检验，是所列分式方程的解且符合题意．
则．
所以A型充电桩的单价为0.9万元，B型充电桩的单价为1.2万元；
（2）解：设购买A型充电桩m个，则购买B型充电桩个．根据题意得，
，
解得．
∵m为整数，
∴，15或16．
∴该停车场有3种购买方案．
方案一：购买A型充电桩14个、B型充电桩11个；
方案二：购买A型充电桩15个、B型充电桩10个；
方案三：购买A型充电桩16个，B型充电桩9个．
∵A型充电桩的单价低于B型充电桩的单价，
∴方案三所需购买总费用最少，最少费用（万元）．
20. 如图，中，平分，且平分，于，于．
（1）求证：；
（2）如果，，求的长．
答案：（1）证明见解析
（2）1
解析：
思路：本题考查了角平分线的性质定理、三角形全等的判定与性质、线段垂直平分线的性质等知识，正确找出全等三角形是解题关键．
（1）连接、，先证出，，再证出，根据全等三角形的性质即可得证；
（2）先证出，根据全等三角形的性质可得，再设，根据线段的和差建立方程，解方程即可得．
（1）证明：如图，连接、，
且平分，
，
平分，于，于，
，，
在与中，
，
∴，
．
（2）解：平分，于，于，
，，
在与中，
，
∴，
，
由（1）已证：，
设，
∵，，
∴，，
∴，
解得，
∴．
五、（本题共2小题，每题9分，共18分）
21. 【综合应用】
材料：将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式分解的方法是因式分解中的分组分解法，常见的分组分解法的形式有：“”分法、“”分法、“”分法及“”分法等．如“”分法：；再如“”分法：．
请根据上述材料的启发解决下列问题：
（1）【理解】分解因式：；
（2）【应用】a，b，c是的三条边的长，试判断式子的值能否大于0？并说明理由；
（3）【拓展】a，b，c是的三条边的长，若，请判断的形状并说明理由．
答案：（1）

（2）解：该式子的值不能大于，理由如下：

，
是的三条边长，
∴，
∴，
∴ ；
即的值不能大于0；
（3）解：是等边三角形，理由如下：
，
∴，
∴，
，
，，，
，，，
，
是的三条边长，
是等边三角形.
解析：
思路：（1）利用分组分解法进行求解即可；
（2）先对原式因式分解，再根据三角形三边关系判断两个因式的符号，进而得到原式的符号；
（3）将等式变形后分组凑完全平方，利用平方的非负性得到三边相等，即可判断三角形形状.
（1）解：


；
（2）略
（3）略
22. 阅读与理解：
若一元一次不等式①的解都是一元一次不等式②的解，则称一元一次不等式②是一元一次不等式①的“覆盖不等式”，例如：不等式的解都是不等式的解，则是的“覆盖不等式”．
根据以上信息，解决下列问题：
（1）__________的“覆盖不等式”；（填“是”或“不是”）
（2）若关于的不等式是的“覆盖不等式”，且也是关于的不等式的“覆盖不等式”，求的值；
（3）若是关于的不等式的“覆盖不等式”，试求的取值范围．
答案：（1）是 （2）
（3）解析：
思路：本题主要考查了解一元一次不等式：
（1）根据“覆盖不等式”的定义进行求解即可；
（2）先解两个不等式，求出两个不等式的解集，再根据两个不等式互为“覆盖不等式”列出关于a的不等式，解之即可得到答案；
（3）先解不等式，再根据是关于的不等式的“覆盖不等式”列出关于m的不等式求解即可．
（1）解：∵不等式的解都是不等式的解，
∴是的“覆盖不等式”，
故答案为：是；
（2）解：解不等式得，解不等式得，
∵关于的不等式是的“覆盖不等式”，
∴，
∴；
又∵也是关于的不等式的“覆盖不等式”，
∴，
∴，
∴；
（3）解：解不等式得，
∵是关于的不等式的“覆盖不等式”，
∴，
∴．
六、（本大题12分）
23. 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，过点B的直线交x轴正半轴于点C，且面积为15．
（1）求点C的坐标及直线的解析式；
（2）若M为线段上一点，且满足，求直线的解析式；
（3）若E为直线上一个动点，在x轴上是否存在点D，使得以点D、E、B、C为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
答案：（1），
（2） （3）或或
解析：
思路：本题主要考查了一次函数与几何综合，平行四边形的性质，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解是解题的关键：
（1）先求出A、B坐标，进而根据面积为15求出点C的坐标，再利用待定系数法求出对应的函数解析式即可；
（2）先求出的面积，即求出的面积，再由求出点M的纵坐标，进而求出点M的坐标，据此利用待定系数法求出对应的函数解析式即可；
（3）设，再分当为对角线时， 当为对角线时，当为对角线时，三种情况由平行四边形对角线中点坐标相同建立方程求解即可．
（1）解：在中，当时，，当时，，
∴，
∴，，
∵面积为15，
∴，
∴，
∴，
∴，
设直线解析式为，
∴，
∴，
∴直线解析式为；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，当时，，
∴，
同理可知直线解析式为；
（3）解：设，
当为对角线时，由平行四边形对角线中点坐标相同可得 ，
解得，
∴点D的坐标为；
当为对角线时，由平行四边形对角线中点坐标相同可得 ，
解得，
∴点D的坐标为；
当为对角线时，由平行四边形对角线中点坐标相同可得 ，
解得，
∴点D的坐标为；
综上所述，点D的坐标为或或．