2027届高三数学一轮复习练习课件：第9章　9.1　计数原理、排列与组合(含解析)

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9.1　计数原理、排列与组合
目 录 CONTENTS
考点1 两个计数原理的应用考点2 排列组合问题
考点1　两个计数原理的应用
1.★★(2023新课标Ⅱ,3,5分)某学校为了解学生参加体育运动的情况,用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查,拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生,已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生,则不同的抽样结果共有     ( )A. · 种　　    B. · 种C. · 种　　    D. · 种
2.★★★(2023全国乙理,7,5分)甲、乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种,则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有( )A.30种　　     B.60种　　    C.120种　　    D.240种
3.★★(2023新课标Ⅰ,13,5分)某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课,学生需从这8门课中选修2门或3门课,并且每类选修课至少选修1门,则不同的选课方案共有__________种(用数字作答).
4.★★★★(创新解法)(2024新课标Ⅱ,14,5分)在下图的4×4的方格表中选4个方格,要求每行和每列均恰有一个方格被选中,则共有__________种选法.在所有符合上述要求的选法中,选中方格中的4个数之和的最大值是___________. 
    112    
解析　第一列有4种选择,第二列有3种选择,第3列有2种选择,第4列有1种选择,∴共有4×3×2×1=24种选法.由题图知,每一列中最下面的数最大,现将前三行中每一个数与该列最大数的差的绝对值算出来,如表. 要想选中的4个数之和最大,差的绝对值就要最小,故选中的4个数从上到下分别为21,33,43和15,和为112,故最大值为112.
1.★(2025届湖北随州部分高中联考,8)每天从甲地到乙地的飞机有5班,高铁有10趟,动车有6趟,公共汽车有12班.某人某天从甲地前往乙地,则其出行方案共有 ( )A.22种　　     B.33种　　    C.300种　　    D.3 600种
解析　从甲地前往乙地,出行方案共有5+10+6+12=33种.故选B.
2.★★(2026届江浙皖高中(县中)发展共同体联考,3)某学校为了解学生的视力情况,用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查,拟从高一、高二、高三三个年级共抽100名学生,已知该校高一、高二、高三各年级分别有400名、300名、300名学生,则不同的抽样结果种数为 ( )A.   　　    B.   C.   　　    D.   
3.★★(2026届重庆巴蜀中学月考,5)某班上5名学生负责校内3个不同地段的卫生工作,每名学生都要参与且只负责某个地段的卫生工作,每个地段至少有1名学生的分配方案共有 ( )A.300种　　    B.90种　　    C.240种　　    D.150种
4.★★(2025届山东临沂第二中学适应性考试,5)某班一天上午有4节课,下午有2节课,现要安排该班一天中语文、数学、英语、体育、艺术、通用技术各一节课的课表,要求数学课排在上午,体育课排在下午,则不同的排法种数是 ( )A.96　　    B.192　　    C.384　　    D.768
5.★★★(2026届江苏南京外国语学校学情调研,8)如图,某社区为墙面A,B,C,D四个区域进行涂色装饰,每个区域涂一种颜色,相邻区域(有公共边)不能用同一种颜色,若只有四种颜色可供使用,则恰好使用了3种颜色的涂色方法共有 ( ) A.12种　　    B.24种　　    C.48种　　    D.84种
6.★★(2025届河北秦皇岛三模,12)安排4位顾客去A,B,C三家餐馆就餐,其中一位顾客由于饮食特殊性,只能安排在A餐馆,则不同的安排方案共有__________种.
解析　由题意可知,其中一位顾客由于饮食特殊性,只能安排在A餐馆,则剩下3位顾客每人就餐餐馆都有3种安排方案,故不同的安排方案共有33=27种.
7.★★★(2025届浙江嘉兴桐乡二模,13)将6个相同的球放入编号为1,2,3的3个盒子中,要求每个盒子至少放1个球,且编号为1的盒子中球数不超过2个,则不同的放法种数为_________.(用数字作答)
解析　解法一　若编号为1的盒子中球数为1,则编号为2的盒子中的球数可以为1,2,3,4,有4种情况;若编号为1的盒子中球数为2,则编号为2的盒子中的球数可以为1,2,3,有3种情况,综上所述,不同的放法种数为4+3=7.解法二　隔板法　若编号为1的盒子中球数为1,则余下5个相同小球中间形成4个空,只需将隔板放入其中之一即可,故有 种情况;若编号为1的盒子中球数为2,则余下4个相同小球中间形成3个空,只需将隔板放入其中之一即可,故有 种情况.
综上所述,不同的放法种数为4+3=7.
1.★★(2022新高考Ⅱ,5,5分)甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演,若甲不站在两端,丙和丁相邻,则不同的排列方式共有( )A.12种　　    B.24种　　    C.36种　　    D.48种
2.★★★(2023全国甲理,9,5分)现有5名志愿者报名参加公益活动,在某一星期的星期六、星期日两天,每天从这5人中安排2人参加公益活动,则恰有1人在这两天都参加的不同安排方式共有( )A.120种　　    B.60种　　    C.30种　　    D.20种
3.★★★(2021全国乙理,6,5分)将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训,每名志愿者只分配到1个项目,每个项目至少分配1名志愿者,则不同的分配方案共有 ( )A.60种　　    B.120种　　    C.240种　　    D.480种
4.★★(2020课标Ⅱ理,14,5分)4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动,每名同学只去1个小区,每个小区至少安排1名同学,则不同的安排方法共有__________种.
5.★★★(2025上海,9,5分)4个家长和2个儿童去爬山.6个人需要排成一条队列,要求队列的头和尾均是家长,则不同的排列个数有___________种.
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6.★★★★(2024上海,10,5分)设集合A中的元素皆为无重复数字的三位正整数,且元素中任意两者之积皆为偶数,则集合中元素个数的最大值为___________.
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1.★(2025届山东菏泽二模,3)某班班会从甲、乙等6名学生中选3名学生发言,要求甲、乙两名学生至少有一人参加,那么不同的选法为 ( )A.32　　    B.20　　    C.16　　    D.10
2.★★(2026届福建三明一中月考,6)甲、乙、丙三人各自计划暑假去重庆旅游,他们都从武隆天生三桥、长江索道、重庆动物园、白帝城这4个景区中任选一个,若甲不去重庆动物园,且甲、乙、丙三人去的景区互不相同,则这三人的不同选择方法共有 ( )A.24种　　    B.18种　　    C.12种　　    D.6种
3.★★(2026届江苏泰州中学月考,5)将4本不同的书分给3名学生,每人至少一本,则不同的分配方法数为 ( )A.24　　    B.36　　    C.64　　    D.72
4.★★★(2026届浙江学军中学练习,6)公元五世纪,数学家祖冲之估计圆周率π的值的范围是3.141 592 6