2027届高中数学高考一轮复习课件：第九章　第65课时　两个计数原理、排列与组合

这是一份2027届高中数学高考一轮复习课件：第九章　第65课时　两个计数原理、排列与组合，共92页。PPT课件主要包含了以题引理·激活思维，精研考点·提升素养等内容，欢迎下载使用。
[考试要求]1．理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理．2．理解排列、组合的概念，能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式．3．会用两个计数原理及排列、组合分析和解决一些简单的实际问题．
1．(人教A版选择性必修第三册P11练习T1)乘积(a1＋a2＋a3)(b1＋b2＋b3)(c1＋c2＋c3＋c4＋c5)展开后共有项数为(　　)A．11B．16C．45D．144
C　[三个因式各取一项相乘可得展开式中的项，由分步乘法计数原理知项数为3×3×5＝45．]
2．(人教A版选择性必修第三册P11习题6.1T2改编)如图，从甲地到乙地有3条路，从乙地到丁地有2条路；从甲地到丙地有3条路，从丙地到丁地有4条路．则从甲地到丁地的不同路线共有(　　)A．12条B．15条C．18条D．72条
C　[若路线为甲乙丁，则有3×2＝6(条)；若路线为甲丙丁，则有3×4＝12(条)，故共有6＋12＝18(条)．故选C．]
3．(人教B版选择性必修第二册P7例3)某班班委由2位女同学、3位男同学组成，现要从该班班委里选出2人去参加学校组织的培训活动，要求至少有1位女同学参加，则不同的选法共有(　　)A．3种B．6种C．7种D．9种
5．(苏教版选择性必修第二册P63练习T6改编)五名学生报名参加四项体育比赛，每人限报一项，则不同的报名方法的种数为_______．五名学生争夺四项比赛的冠军(冠军不并列)，则获得冠军的可能性有_____________种(用数字作答)．
1 024　625　[五名学生参加四项体育比赛，每人限报一项，可逐个学生落实，每个学生有4种报名方法，共有45＝1 024(种)不同的报名方法．五名学生争夺四项比赛的冠军，可对4个冠军逐一落实，每个冠军有5种获得的可能性，共有54＝625(种)获得冠军的可能性．]
1．两个计数原理(1)分类加法计数原理：完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝______种不同的方法．(2)分步乘法计数原理：完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝_________种不同的方法．
3．排列数、组合数的定义、公式、性质
求解排列组合问题的6种主要方法
考点一　两个计数原理及综合应用[典例1]　(1)如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为(　　)A．24　　　B．18　　　C．12　　　D．9
(2)某学校有一块绿化用地，其形状如图所示．为了让效果更美观，要求在四个区域内种植花卉，且相邻区域花卉颜色不同．现有五种不同颜色的花卉可供选择，则不同的种植方案共有_____________种．(用数字作答)(3)已知abc表示一个三位数，如果满足a>b且c>b，那么我们称该三位数为“凹数”，则没有重复数字的三位“凹数”共_____________个(用数字作答)．
(1)B　(2)180　(3)240　[(1)由题意可知E到F共有6条最短路径，F到G共有3条最短路径，由分步乘法计数原理知，共有6×3＝18(条)最短路径．(2)先在A中种植，有5种不同的种植方法，再在B中种植，有4种不同的种植方法，再在C中种植，有3种不同的种植方法，最后在D中种植，有3种不同的种植方法，所以不同的种植方案共有5×4×3×3＝180(种)．
【拓展变式】　若本例(1)中 CD段马路由于正在维修(如图)，暂时不通，则从E到G的最短路径有_____________条．
名师点评：综合应用两个原理解决问题时应注意以下两点：(1)一般是先分类再分步．在分步时可能又用到分类加法计数原理．(2)对于较复杂的两个原理综合应用的问题，可恰当地列出示意图或列出表格，使问题形象化、直观化．
[巩固迁移]1．(2025·山西太原一模)定义：各位数字之和为5的四位数叫“吉祥数”，例如“1 022，3 110”，则所有“吉祥数”的个数是(　　)A．35B．32C．29D．20
A　[各位数字之和为5的四位数叫“吉祥数”，按首位数字分别计算：当首位数字为5时，则剩余三位数分别是0，0，0，共有1个“吉祥数”；当首位数字为4时，则剩余三位数分别是1，0，0，共有3个“吉祥数”；当首位数字为3时，则剩余三位数分别是1，1，0或2，0，0，共有3＋3＝6(个)“吉祥数”；
2．(2025·贵州铜仁模拟)2 025的不同正因数的个数为________．
3．编号为A，B，C，D，E的5种蔬菜种在如图所示的五块试验田里，每块只能种一种蔬菜，要求A品种不能种在1，2试验田里，B品种必须与A种在相邻的两块田里，则不同的种植方法种数为_____．
【教用·备选题】1．我校某班举办新年联欢班会，抽奖项目设置了特等奖、一等奖、二等奖、三等奖、鼓励奖共五种奖项． 甲、乙、丙、丁、戊每人抽取一张奖票，开奖后发现这5人的奖项都不相同． 甲说：“我不是鼓励奖”；乙说：“我不是特等奖”；丙说：“我的奖没有戊好但是比丁的强”． 根据以上信息，这5人的奖项的所有可能的种数是(　　)A．12B．13C．24D．26
B　[甲是特等奖，乙有4种情况，则丙、丁、戊有1种情况，所以有4×1＝4(种)；甲不是特等奖，则甲有3种情况，乙有3种情况，而丙、丁、戊有1种情况， 所以有3×3×1＝9(种)；所以5人的奖项的所有可能的种数是4＋9＝13．故选B．]
2．(2025·湖南省郴州市三模)如图，这是一个平面图形，现提供四种颜色给图中的区域1、区域2、区域3、区域4、区域5、区域6共六个区域涂色，每个区域只涂一种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则共有_____________种不同的涂色方案．
3．在一块并排10垄的田地中，种植作物时每种作物种植一垄，相邻的垄不种同一种作物，现有3种作物可选，则有_____________种种植方法；若3种作物必须都种，则有_____________种种植方法；若只在其中2垄种植其中的A，B两种作物，要求A，B两种作物的间隔不小于6垄，则有_____________种种植方法．
1 536　1 530　12　[3种作物任选时，种植第1垄有3种选择，第2垄有2种选择，后面的垄只需与前一垄不同即可，共有3×2×2×2×2×2×2×2×2×2＝1 536(种)种植方法．3种作物都选时，只需排除只用2种作物完成种植的情况，共有1 536－3×2×1×1×1×1×1×1×1×1＝1 530(种)种植方法．两种作物的间隔不小于6垄时，分两步：第一步，先选垄，如图所示，共有6种选法；第二步，种植A，B两种作物，有2种方法．所以根据分步乘法计数原理，可得有6×2＝12(种)种植方法．]
考点二　排列、组合问题[典例2]　(1)(2025·广东湛江二模)4名医生和2名护士站成一排，要求2名护士不相邻，且医生甲不站在队伍的最左端，则不同的站法共有_____________种．(2)从1，3，5，7，9中任取2个数字，从0，2，4，6中任取2个数字，一共可以组成_____________个没有重复数字的四位数．(用数字作答)
(3)(2023·新高考Ⅰ卷)某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有_____________种(用数字作答)．
名师点评：解决排列与组合问题的三大原则(1)特殊优先原则：如果问题中有特殊元素或特殊位置，优先考虑这些特殊元素或特殊位置．(2)先取后排原则：在既有取出又需要对取出的元素进行排列时，要先取后排，即完整地把需要排列的元素取出后，再进行排列．(3)正难则反原则：当直接求解困难时，采用间接法解决问题．
[巩固迁移]4．(2026·沈阳育才中学模拟)北斗七星不仅是天上的星象，也是古人藉以判断季节的依据之一．如图，用点A，B，C，D，E，F，G表示某一时期的北斗七星，其中B，D，E，F看作共线，其他任何三点均不共线，过这七个点中任意两个点作直线，所得直线的条数为(　　)A．4B．13C．15D．16
5．学校将从4名男生和4名女生中选出4人分别担任辩论赛中的一、二、三、四辩手，其中男生甲不适合担任一辩手，女生乙不适合担任四辩手，要求所选4人中既有男生又有女生，且男生甲与女生乙至少有1人入选，那么不同的组队方法种数为(　　)A．696B．736C．894D．930
6．(2025·山东济南一模)将两个1，两个3，一个5排成一行，则不同的排法种数为_____________．(用数字作答)
【教用·备选题】1．(1)某龙舟队有9名队员，其中3人只会划左舷，4人只会划右舷，2人既会划左舷又会划右舷．现选派划左舷的3人、右舷的3人共6人去参加比赛，则不同的选派方法共有(　　)A．56种B．68种C．74种D．92种
(2)(多选)某周周一到周六的夜间值班工作由甲、乙、丙三人负责，每人负责其中的两天，每天只需一人值班，则下列关于安排方法数的说法正确的有(　　)A．共有90种安排方法B．甲连续两天值班的安排方法有30种C．甲连续两天值班且乙连续两天值班的安排方法有18种D．甲、乙、丙三人每人都连续两天值夜班的安排方法有6种
(3)以长方体ABCD-A1B1C1D1的任意3个顶点为顶点作三角形，从中随机取出2个三角形，则这2个三角形不共面的情况有_________种．
考点三　分组、分配问题[典例3]　(1)把9个入团名额分给6个班级，每班至少一人，不同的分法种数为(　　)A．41　　 B．56　　 C．156　　 D．252(2)(2025·广东广州三模)某班为了响应“学雷锋”活动，将指定的6名学生随机分配到3个不同的办公室打扫卫生，要求每个办公室至少分配1人，则恰好甲、乙两人(仅有两人)打扫同一个办公室的情况有_____________种(用数字作答)．
名师点评：分配问题属于“排列”问题，常见的分配方法有三种：(1)相同元素的分配问题，常用“挡板法”．(2)不同元素的分配问题，利用分步乘法计数原理，先分组，后分配．(3)有限制条件的分配问题，采用分类求解．
[巩固迁移]7．(2026·河北邢台模拟)运动会期间，将甲、乙等5名志愿者安排到A，B，C三个场地参加志愿服务，每名志愿者只能安排去一个场地，每个场地至少需要1名志愿者，且甲、乙两名志愿者不安排到同一个场地，则不同的安排方法种数为(　　)A．72B．96C．114D．124
8．20个不加区别的小球放入编号为1，2，3的三个盒子中，要求每个盒内的球数不小于它的编号数，则不同的放法共有(　　)A．120种B．240种C．360种D．720种
9．将座位号为1，2，3，4的四张电影票全部分给甲、乙两个人，每人至少一张，若分给同一人多张票，则必须连号，那么不同的分法种数为(　　)A．4B．6C．7D．12
B　[①当甲分一张票，乙分三张票时，有2种不同的分法；②当甲分两张票，乙分两张票时，有2种不同的分法；③当甲分三张票，乙分一张票时，有2种不同的分法；所以，一共有2＋2＋2＝6(种)不同的分法．故选B．]
【教用·备选题】1．某单位春节共有四天假期，但每天都需要留一名员工值班，现从甲、乙、丙、丁、戊、己六人选出四人值班，每名员工最多值班一天，已知甲在第一天不值班，乙在第四天不值班，则值班安排共有(　　)A．192种　　　　　　　B．252种C．268种D．360种
2．将5本不同的书(2本文学书、2本科学书和1本体育书)分给甲、乙、丙三人，每人至少分得1本书，每本书只能分给一人，其中体育书只能分给甲、乙中的一人，则不同的分配方法数为(　　)A．78　　B．92　　C．100　　D．122
课后作业(六十五)　两个计数原理、排列与组合
2．已知两条异面直线a，b上分别有5个点和8个点，则这13个点可以确定不同的平面个数为(　　)A．40B．16C．13D．10
C　[分两类情况讨论：第一类，直线a分别与直线b上的8个点可以确定8个不同的平面；第二类，直线b分别与直线a上的5个点可以确定5个不同的平面．根据分类加法计数原理知，共可以确定8＋5＝13(个)不同的平面．]
3．将1个0，2个1，2个2随机排成一行，则2个1不相邻的情况种数是(　　)A．10B．20C．18D．40
4．从集合{1，2，3，…，10}中任意选出三个不同的数，使这三个数成等比数列，这样的等比数列的个数为(　　)A．3　　B．4　　C．6　　D．8
D　[以1为首项的等比数列为1，2，4；1，3，9；以2为首项的等比数列为2，4，8；以4为首项的等比数列为4，6，9；把这4个数列的顺序颠倒，又得到另外的4个数列，故所求的数列共有8个．]
5．将5件相同的小礼物全部送给3个不同的球迷，让每个球迷都要得到礼物，则不同的分法种数是(　　)A．2B．10C．5D．6
6．(2025·山东枣庄二模)子贡曰：“夫子温、良、恭、俭、让以得之”，“温、良、恭、俭、让”指五种品德：温和、善良、恭敬、节俭、谦让．现有分别印有这5个字的卡片(颜色均不同)各2张，同学甲从中抽取4张卡片分给另外4位同学，每人一张卡片，恰有2位同学分到的卡片是相同字的分配方案有(　　)A．120种B．210种C．1 440种D．2 880种
7．甲、乙、丙等5人站成一排，且甲不在两端，乙和丙之间恰有2人，则不同排法共有(　　)A．20种B．16种C．12种D．8种
8．(2025·湖北武汉三模)如图，某社区为墙面A，B，C，D四块区域宣传标语进行涂色装饰，每个区域涂一种颜色，相邻区域(共边)不能用同一颜色，若只有4种颜色可供使用，则恰好使用了3种颜色的涂法有(　　)A．12种B．24种C．48种D．144种
二、多项选择题9．用0，1，2，3，4组成数字，下列说法正确的是(　　)A．元素可重复使用时，可以组成100个三位数B．元素不可重复使用时，可以组成60个三位数C．各位数字不同的三位奇数有18个D．各位数字不同的三位偶数有48个
AC　[三位数先选百位有4种方法，再选十位，个位，各有5种方法，共4×5×5＝100(个)；元素不重复使用时，三位数百，十，个位分别有4，4，3种方法，共4×4×3＝48(个)；三位奇数先选个位，再百位，再十位有2×3×3＝18(个)，三位偶数按个位是否为0讨论，再选百位、十位，有4×3＋2×3×3＝30(个)．]
三、填空题12．(2025·上海卷)4个家长和2个儿童去爬山，6个人需要排成一条队列，要求队列的头和尾均是家长，则不同的排列种数为_______．
13．(2025·广东广州一模)将1，2，3，…，9这9个数字填在3×3的方格表中，要求每一行从左到右、每一列从上到下的数字依次变小．若将4填在如图所示的位置上，则填写方格表的方法共有_____________种．
14．现有一圆桌，周边有标号为1，2，3，4的四个座位，甲、乙、丙、丁四位同学坐在一起探讨一个数学课题，每人只能坐一个座位，甲先选座位，且甲、乙不能相邻，则所有选座方法有_________种．(用数字作答)
15．(2025·重庆九龙坡三模)“ 142857 ” 这一串数字被称为走马灯数，是世界上著名的几个数之一，当142857与1至6中任意1个数字相乘时，乘积仍然由1，4，2，8，5，7这6个数字组成．若从1，4，2，8，5，7这6个数字中任选4个数字组成无重复数字的四位数，则在这些组成的四位数中， 大于5 700的偶数个数是(　　)A．66B．75C．78D．90
16．三名篮球运动员甲、乙、丙进行传球训练(不能传给自己)，由丙开始传，经过5次传递后，球又被传回给丙，则不同的传球方式共有(　　)A．6种B．10种C．11种D．12种