2027届高考数学一轮总复习10.1两个计数原理、排列、组合（课件）

这是一份2027届高考数学一轮总复习10.1两个计数原理、排列、组合（课件），共127页。PPT课件主要包含了m1＋m2＋＋mn，m1×m2××mn，所有不，同排列，m≤n，作为一组，不同组合，答案ABD，排列问题师生共研，组合问题师生共研等内容，欢迎下载使用。
【命题形式】本章内容在选择题、填空题中主要考查排列、组合、二项式定理、古典概型、条件概率、正态分布等，排列、组合的考查方向：一是两个计数原理的应用；二是考查分组与分配问题；三是考查邻与不邻、在与不在等有限制条件的计数问题；二项式定理的考查方向：一是求二项或三项展开式中指定项的系数；二是求两个二项式之积的展开式中指定项的系数；三是已知展开式中项的系数求参数；四是项的系数与二项式系数性质的应用．
近年出现了考查计数原理的创新题，考查学生的逻辑推理能力，做题时需要注意列举法、分类讨论思想的应用：概率问题是历年高考命题必考的内容，考查方向：一是实际背景下的古典概型求概率；二是求互斥、对立事件的概率、条件概率、相互独立事件的概率、全概率公式及正态分布中概率．解答题考查方向：一是求离散型随机变量的分布列(超几何分布、二项分布和正态分布等)及其数学期望与方差；二是分布列、期望与统计图表的综合应用；三是利用分布列、期望与方差进行决策或分析，此类试题的阅读量大，综合性较强．考查数据的收集与分析、数学运算、逻辑推理的核心素养．
备考时要熟练掌握各种题型的特点、计算公式及解题策略，如解决排列组合问题准确辨别限制条件，尤其是“至少”“至多”类型的条件，多从分类讨论或转化为对立事件求解，注意先组后排及分组中的“均分问题”，根据题设条件，准确分类是解决问题的关键！注意区分超几何分布与二项分布；灵活应用正态分布的对称性求值；熟练掌握离散型随机变量的取值，准确计算其对应的事件的概率，学会根据数据做出判断与决策．即过好“四关”：题目的理解关、随机变量的取值关、事件的类型关、概率的运算关！对有关函数、不等式、数列的概率综合题应加强关注．
第一讲　两个计数原理、排列、组合
知识梳理 · 双基自测
知 识 梳 理知识点一　两个计数原理1．分类加法计数原理完成一件事有n类不同的方案，在第一类方案中有m1种不同的方法，在第二类方案中有m2种不同的方法，……，在第n类方案中有mn种不同的方法，则完成这件事共有N＝________________________种不同的方法．
2．分步乘法计数原理完成一件事需要分成n个不同的步骤，完成第一步有m1种不同的方法，完成第二步有m2种不同的方法，……，完成第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝______________________种不同的方法．
知识点二　排列与排列数1．排列的定义：从n个________元素中取出m(m≤n)个元素，并按照一定的________排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．2．排列数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的_______ _________的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号________表示．
n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)(m，n∈N*，且
知识点三　组合与组合数1．组合的定义：一般地，从n个________元素中取出m(m≤n)个元素____________，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．2．组合数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的________________的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号________表示．
归 纳 拓 展1．分类加法计数原理和分步乘法计数原理的区别分类加法计数原理针对“分类”问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事；分步乘法计数原理针对“分步”问题，各个步骤相互联系、相互依存，只有各个步骤都完成了才算完成这件事．2．对于有附加条件的排列、组合应用题，通常从三个途径考虑(1)以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素．(2)以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置．(3)先不考虑附加条件，计算出排列数或组合数，再减去不合要求的排列数或组合数．
双 基 自 测题组一　走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能直接完成这件事．(　　)(3)4名同学分别报名参加学校的3个社团，每人限报一个，则不同的报法种数为43.(　　)
(4)正十二边形共有54条对角线．(　　)(5)用0,1,2,3,4这5个数字可以组成30个无重复三位偶数．(　　)[答案]　(1)√　(2)×　(3)×　(4)√ (5)√　(6)√
题组二　走进教材2．(选择性必修3P38T3(2)改编)某班一天上午有4节课，下午有2节课，安排语文、数学、政治、英语、体育、艺术每科一节，要求数学排在上午，体育不排上午第一节和下午第二节，则不同的安排种数是____.[答案]　312
3.(选择性必修3P23T17改编)(2025·河北部分学校摸底)如图所示，相邻区域不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则涂满所有区域的不同的着色方法共有________种．(用数字填写答案)[答案]　72
解法二：∴不同的涂色方法共有4×3×2×1×(2＋1)＝72(种)．
题组三　走向考场4．有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同排列方式共有(　　)A．12种 B．24种 C．36种 D．48种[答案]　B
5．(2024·新课标Ⅱ卷)在如图的4×4方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，则共有________种选法，在所有符合上述要求的选法中，选中方格中的4个数之和的最大值是________.[答案]　24　112
[解析]　由题意知，选4个方格，每行和每列均恰有一个方格被选中，则第一列有4个方格可选，第二列有3个方格可选，第三列有2个方格可选，第四列有1个方格可选，所以共有4×3×2×1＝24种选法；每种选法可标记为(a，b，c，d)，a，b，c，d分别表示第一、二、三、四列的数字，则所有的可能结果为：
(11,22,33,44)，(11,22,34,43)，(11,22,33,44)，(11,22,34,42)，(11,24,33,43)，(11,24,33,42)，(12,21,33,44)，(12,21,34,43)，(12,22,31,44)，(12,22,34,40)，(12,24,31,43)，(12,24,33,40)，(13,21,33,44)，(13,21,34,42)，(13,22,31,44)，(13,22,34,40)，(13,24,31,42)，(13,24,33,40)，(15,21,33,43)，(15,21,33,42)，(15,22,31,43)，(15,22,33,40)，(15,22,31,42)，(15,22,33,40)，所以选中的方格中，(15,21,33,43)的4个数之和最大，为15＋21＋33＋43＝112.
考点突破 · 互动探究
两个计数原理——自主练透
1．(2026·辽宁大连部分高中适应性演练)某班有甲、乙、丙、丁四名学生依次参加接力跑的4×100 m接力比赛，已知甲不能站在第一位，乙不能站在第二位，则可能的安排排列顺序有(　　)A．8种 B．14种 C．18种 D．24种[答案]　B
2.(2025·河北邢台质检联盟联考)某迷宫隧道猫爬架如图所示，B，C为一个长方体的两个顶点，A，B是边长为3米的大正方形的两个顶点，且大正方形由完全相同的9个小正方形拼成．若小猫从A点沿着图中的线段爬到B点，再从B点沿着长方体的棱爬到C点，则小猫从A点爬到C点可以选择的最短路径共有________条．[答案]　120
3．(2025·四川成都七中测试)将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两个端点异色，若只有4种颜色可供使用，则不同的染色方法共有________种．[答案]　72[解析]　解法一：依次涂染各顶点，不同的涂法如下表：
故不同的染色方法有4×3×2×(2＋1)＝72(种)．解法二：若AC同色，BD同色，共4×3×2＝24种，若AC同色，BD不同色，共4×3×2×1＝24种，若AC不同色，BD同色，共4×3×2×1＝24种，故共有24＋24＋24＝72种不同染色方法．
[引申1]若本例2中迷宫隧道猫爬架改为如图，则小猫从A点爬到C点的最短路径有________条．[答案]　84
[解析]　依次涂色，底面ABCD的染色有4种选择，侧面PAB的染色有3种选择，侧面PBC的染色有2种选择．①若侧面PCD与侧面PAB所染颜色相同，则侧面PAD的染色有2种选择；②若侧面PCD与侧面PAB所染颜色不同，则侧面PCD的染色有1种选择，侧面PAD的染色有1种选择．综上，不同的染色种数为4×3×2×(1×2＋1×1)＝72.
[引申3]本例3中若将“每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两个端点异色”改为“每条棱染上一种颜色且相交棱不同色”，则不同染色方法有________种．[答案]　48
知共有24×2＝48种染法．
[引申4]本例3若改为“只有五种颜色可供选用”，则不同的染色方法共有________种．[答案]　420
名师点拨：两个计数原理的区别与联系
利用两个计数原理解题时的注意点(1)当题目无从下手时，可考虑要完成的这件事是什么，即怎样做才算完成这件事．(2)对于复杂问题，一般是先分类再分步．当元素个数不多时，可尝试列举法求解．
【变式训练】1．(2025·山东部分学校质检)某班有4名同学报名参加校运会的六个比赛项目，若每项至多报一人，且每人只报一项，则报名方法的种数为(　　)A．240 B．360 C．480 D．640[答案]　B[解析]　每项限报一人，且每人只报一项，因此可由人选项目．第一个人有6种不同的选法，第二个人有5种不同的选法，第三个人有4种不同的选法，第四个人有3种不同的选法，由分步计数原理得报名方法共有6×5×4×3＝360种．故选B.
2．(多选题)(2026·辽宁实验中学适应性考试)如图，小明、小红分别从街道的E，F处出发，到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则(　　)A．小红到老年公寓可以选择的最短路径条数为3B．小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为35C．若小明不经过F处，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为32D．若小明先到F处与小红会合，再与小红一起到老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为18
1．3名男生4名女生站成一排，在下列条件下的不同排法分别为：(1)选其中5人排成一排；________(2)排成前后两排，前排3人，后排4人；________(3)全体排一排，排头只能站甲或乙，排尾不能站甲；________(4)全体排成一排，女生必须站在一起；________(5)全体排成一排，男生互不相邻；________(6)全体排成一排，甲、乙两人中间恰好有3人；________(7)全体排成一排，甲必须排在乙前面；________(8)全体排成一排，甲不排在左端，乙不排在右端．________
[答案]　(1)2 520　(2)5 040　(3)1 320 (4)576　(5)1 440　(6)720　(7)2 520　(8)3 720
2．(2026·江苏启东中学月考)中国灯笼又统称为灯彩，是一种古老的传统工艺品．经过历代灯彩艺人的继承和发展，形成了丰富多彩的品种和高超的工艺水平，从种类上主要有宫灯、纱灯、吊灯等类型．现将4盏相同的宫灯、3盏不同的纱灯、2盏不同的吊灯挂成一排，要求吊灯挂两端，同一类型的灯笼至多2盏相邻挂，则不同挂法种数为(　　)A．216 B．228 C．384 D．486[答案]　A
[引申]本例1中7人排一排，(1)甲站中间的站法有________种；(2)甲、乙相邻且丙不站排头和排尾的站法有________种；(3)甲、乙相邻且都与丙不相邻的站法有________种；(4)3名男生相邻，4名女生相邻的站法有________种；(5)4名女生不全相邻的站法有________种．[答案]　(1)720　(2)960　(3)960　(4)288　(5)4 464
名师点拨：求解排列应用问题的常用方法
【变式训练】1．(2026·河北十校联考)甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行劳动技术比赛，决出第1名到第5名的名次，且没有出现并列的名次．甲和乙去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你没有得到冠军．”对乙说：“你虽然不是最差的，但你的名次没有甲的好．”从这两个回答分析，5人的名次排列情况的种数为(　　)A．12　 B．18 C．27 D．36[答案]　B
2．(2025·山东齐鲁名师联盟诊断)小明将1,4,0,3,2,2这六个数字的一种排列设为自己的六位数字的银行卡密码，若两个2之间只有一个数字，且1与4相邻，则可以设置的密码种数为(　　)A．48 B．32 C．24 D．16[答案]　C
1．(多选题)(2026·吉林东北师大附中开学考)某学生在物理、化学、生物、政治、历史、地理、技术这七门课程中选三门作为选考科目，下列说法正确的是(　　)
2．(2026·江苏徐州一中测试)在三棱锥的顶点和各棱中点中取4个不共面的点，不同的取法共有(　　)A．141种 B．144种 C．147种 D．149种[答案]　A
名师点拨：组合问题常有以下两类题型变化：1．“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取．2．“至少”或“至多”含有几个元素的组合题型：解这类题必须十分重视“至少”与“至多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解．用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理．
【变式训练】1．(2025·山西三重教育联盟联考)从3位女生，4位男生中选3人参加垃圾分类宣传活动，且至少有1位男生入选，则不同的选法共有________种(用数字填写)．[答案]　34
2．(2023·新课标Ⅰ卷)某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有________种(用数字作答)．[答案]　64
排列、组合的综合应用——多维探究
角度1　数字问题在由数字0,1,2,3,4,5所组成的没有重复数字的四位数中，能被5整除的个数为(　　)A．512　　B．192　　C．240　　D．108[答案]　D
[引申](1)若将本例中“没有”改为“有”，则结果为________；(2)本例中将“能被5整除”去掉组成的四位数中偶数的个数为________个，其中比2 310大的四位偶数的个数为________个．(3)本例组成的四位数中1和3相邻的个数为________.[答案]　(1)252　(2)156　109　(3)60
角度2　分组、分配问题1．(多选题)(2026·四川成都蓉城名校联盟联考)将6本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人至少分得1本，则下列说法正确的是(　　)A．若甲分得1本，乙分得2本，丙分得3本，则有60种方案B．若每人分得2本，则有90种方案C．若三人分得书本数互不相同，则有360种方案D．共有450种分配方案[答案]　ABC
2．(2026·云南玉溪一中月考)在某互联网大会上，为了提升安全级别，将5名特警分配到3个重要路口执勤，每个人只能选择一个路口，每个路口最少1人，最多3人，且甲和乙不能安排在同一个路口，则不同的安排方法有(　　)A．180种 B．150种 C．96种 D．114种[答案]　D
[引申1]本例1中，若甲至少分得3本，则有________种方案．[答案]　150[引申2]本例1中，若甲至多分得3本，则有________种方案．[答案]　510
角度3　相同元素问题(2026·河北邢台月考)现将2本相同的数学书、3本相同的物理书、1本化学书摆放成一排放在一个单层的书架上，则不同的放法有________种．[答案]　60
名师点拨：1．数字问题注意“0”不能排在首位．2．分组、分配问题的解题策略是先分组后分配．
(2)对于部分均分，解题时注意重复的次数是均匀分组的阶乘数，即若有m组元素个数相等，则分组时应除以m！，分组过程中有几个这样的均匀分组就要除以几个这样的全排列数．(3)对于不等分组，只需先分组，后排列，注意分组时任何组中元素的个数都不相等，所以不需要除以全排列数．3．相同元素分配问题——隔板法；相同元素排列问题——消序法．
【变式训练】1．(角度1)(多选题)(2026·四川成都郫都区阶段检测)用数字0,1,2,3,4组成无重复数字的四位数，下列说法正确的有(　　)A．一共可以组成96个数B．一共可以组成120个数C．一共可以组成偶数60个D．一共可以组成72个大于2 000的数[答案]　ACD
[解析]　对于AB，四位数的首位不能为0，有4种选项，在剩下的4个数字中任选3个，排在后面3个数位，可以组成无重复数字的四位数4×4×3×2＝96个，A正确，B错误；对于C，若个位数为0，则有4×3×2＝24个，若个位数不为0，则有2×3×3×2＝36个，所以可以组成无重复数字的四位偶数24＋36＝60个，C正确；对于D，四位数的首位有3种选择，在剩下的4个数字中任选3个，排在后面3个数位，可以组成无重复数字且大于2 000的四位数3×4×3×2＝72个，D正确．故选ACD.
2．(角度2)(2025·山西大同调研)五一小长假期间，某旅游公司为助力大同旅游事业的发展，计划将2名金牌导游和5名银牌导游分别派往云冈石窟、古城华严寺、北岳恒山三个景区承担义务讲解任务，要求每个景区都要有银牌导游前往，则不同的分配方法种数有(　　)A．360 B．640C．1 350 D．1 440[答案]　C
3．(角度3)(2025·辽宁新高考研究联盟诊断)把14个相同的球全部放入编号为1,2,3的三个盒内，要求盒内的球数不小于盒号数，则不同的放入方法种数为(　　)A．36 B．45 C．72 D．165[答案]　B
名师讲坛 · 素养提升
不宜用排列、组合公式的计数问题1．(多选题)(原创)下列说法正确的是(　　)A．将4封信投入3个信箱中，共有64种不同的投法B．4只相同的小球放入3个不同的盒子，共有12种不同放法C．五名学生争夺四项比赛的冠军(冠军不并列)，则获得冠军的可能性有54种D．8个相同的小球放入5个不同盒子中，每盒不空的放法共有35种[答案]　CD
2．(2026·浙江名校协作体联考)用黑白两种颜色随机地染如图所示表格中6个格子，每个格子染一种颜色，并且从左到右数，不管数到哪个格子，总有黑色格子不少于白色格子的染色方法种数为________(用数字作答)．[答案]　20
[解析]　解法一：可用树状图求解(用1表示黑，用0表示白)
3．(2026·四川广安前锋区模拟)给n个自上而下相连的正方形着黑色或白色．当n≤4时，在所有不同的着色方案中，黑色正方形互不相连的着色方案如图所示：由此推断，当n＝6时，黑色正方形互不相邻的着色方案共有________种(结果用数值表示)．[答案]　21
[解析]　黑、白色正方形分别用1、0表示由题意知黑色正方形互不相连，故当n＝1时，有全黑或全白2种，当n＝2时，有01、10、00共1＋2＝3种，当n＝3时，有101、001、010、100、000共2＋3＝5种，当n＝4时，有0101、1010、1001、0001、0010、0100、1000、0000共3＋5＝8种，当n＝5时，有10101、10001、10010、10100、01001、01010、00101、10000、01000、00100、00010、00001、00000共5＋8＝13种，故当n＝6时，黑色正方形互不相邻的着色方案共有8＋13＝21种结果：101010、101001、100101、010101、100001、100010、100100、101000、010001、010010、010100、001001、001010、000101、100000、010000、001000、000100、000010、000001、000000共21种，故答案为21.
名师点拨：1．当问题中涉及的元素个数较少时，可通过图表将各种情况一一列出求解计数问题；2．当要求计数的情况较复杂，而其反面情况简单易求时，可采用间接法求解．即问题所有情况种数减去不合题意的情况种数；3．“圆排”问题“剪断”处理；4．“元素”相同(如指标分配)问题，“隔板”处理．
隔板法的解题步骤1．定个数：确定名额的个数、分成的组数以及各组名额的数量．2．定空位：将元素排成一列，确定可插隔板的空位数．3．插隔板：确定需要的隔板个数，根据组数要求，插入隔板，利用组合数求解不同的分法种数．4．回顾反思：隔板法的关键在于准确确定空位个数以及需要的隔板个数，使用这种方法需要注意两个方面的问题：一是要根据题意确定能否转化为“每组至少一个”的问题，以便确定能否利用隔板法；二是要注意准确确定空位数以及需要的隔板数，一般来说，两端不能插隔板．
【变式训练】(2025·广东深圳中学摸底)三名篮球运动员甲、乙、丙进行传球训练(不能传给自己)，由丙开始传，经过5次传递后，球又被传回给丙，则不同的传球方式共有(　　)A．6种 B．10种C．11种 D．12种[答案]　B
[解析]　画树状图求解：不同传球方式共10种，故选B.
提能训练　练案[62]
A组基础巩固 一、单选题1．(2026·湖北部分高中协作体联考)某景观湖内有四个人工小岛，为方便游客登岛观赏美景，现计划设计三座景观桥连通四个小岛，且每个小岛最多有两座桥连接，则设计方案的种数最多是(　　)A．8 B．12 C．16 D．24
[答案]　B[解析]　四个人工小岛记为ABCD，对A分有一座桥相连和两座桥相连，用“－”表示桥(1)A只有一座桥相连时，有A－B－D－C，A－B－C－D，A－C－B－D，A－C－D－B，A－D－B－C，A－D－C－B共6种；(2)A有两座桥相连时，有C－A－B－D，D－A－B－C，D－A－C－B，B－A－C－D，B－A－D－C，C－A－D－B共6种；故共有12种．故选B.
2．(2023·全国乙卷)甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有(　　)A．30种 B．60种C．120种 D．240种[答案]　C
3．(2026·江西部分学校联考)现有6把相同的椅子排成一排，甲、乙、丙三人每人选取其中的一把椅子入座，则这三人互不相邻的坐法有(　　)A．24种 B．30种 C．36种 D．48种[答案]　A
4．(2026·黑龙江龙西北高中名校联盟联考)将编号为1,2,3,4,5,6的小球放入编号为1,2,3,4,5,6的六个盒子中，每盒放一球，若有且只有两个盒子的编号与放入的小球的编号相同，则不同的放法种数为(　　)A．90 B．135 C．270 D．360[答案]　B
5．(2026·四川成都摸底)在连续五天时间里，甲、乙、丙、丁四名同学分别到夕阳红敬老院参加志愿者活动，每天一人，其中甲参加两天，其余三人各参加一天，则甲不在相邻两天的安排方法有(　　)A．24种 B．36种 C．48种 D．60种[答案]　B
6．(2024·江苏扬州模拟)重庆八中五四颁奖典礼上有A，B，C，D，E，F共6个节目，在排演出顺序时，要求A，B相邻，C，D不相邻，则该典礼节目演出顺序的不同排法种数为(　　)A．288种 B．144种C．72种 D．36种[答案]　B
7．(2026·山西大同学情调研)在全国人口普查过程中，甲、乙、丙、丁四位普查员要去A、B、C三个小区进行数据采集，若甲普查员不能去A小区，且每个小区至少去一名普查员，每人只能去一个小区．则不同的安排方法共有(　　)A．24种 B．36种 C．6种 D．12种[答案]　A
8．(2025·河南顶级名校联盟期中联考)玩积木有利于儿童想象力和创造力的培养．一小朋友在玩四棱柱形积木(四个侧面有各不相同的图案)时，想用5种颜色给积木的12条棱染色，要求侧棱用同一种颜色，且在积木的6个面中，除侧棱的颜色相同外，各面棱的颜色都不同，则染法总数为(　　)A．216 B．360 C．720 D．1 080[答案]　D
9．(2026·重庆实验外国语学校月考)三名同学到五个社区参加社会实践活动，要求每个社区有且只有一名同学，每名同学至多去两个社区，则不同的派法共有(　　)A．90种 B．180种C．125种 D．243种[答案]　A
二、多选题10．(2025·河北石家庄摸底)甲、乙、丙、丁、戊五人并排站成一排，下列说法正确的是(　　)A．若甲、乙、丙按从左到右的顺序排列，则不同的排法有12种B．若甲、乙不相邻，则不同的排法有72种C．若甲不能在最左端，且乙不能在最右端，则不同的排法共有72种D．如果甲、乙必须相邻且乙在甲的右边，则不同的排法有24种[答案]　BD
11．(2025·广东深圳外国语学校摸底)现安排高二年级A，B，C三名同学到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，每名同学只能选择一个工厂，且允许多人选择同一个工厂，则下列说法正确的是(　　)A．所有可能的方法有34种B．若工厂甲必须有同学去，则不同的安排方法有37种C．若同学A必须去工厂甲，则不同的安排方法有16种D．若三名同学所选工厂各不相同，则不同的安排方法有24种[答案]　BCD
12．(2025·云南曲靖一中月考)下列说法正确的是(　　)B．5个朋友聚会，见面后每两人握手一次，一共握手10次C．若把英语单词“happy”的字母顺序写错，则可能出现的错误共有59种D．4名老师派到两个学校支教，每个学校至少派1人，则共有8种不同的分派方法[答案]　BC
三、填空题13．(2026·江苏镇江期初监测)某数学兴趣小组的6名同学排成一排照相，其中甲、乙两名同学必须彼此相邻，丙不在队伍两头的安排方式共有________(用数字作答)种．[答案]　144
14．(2025·浙江名校新高考研究联盟联考)杭州亚运会举办在即，主办方开始对志愿者进行分配．已知射箭场馆共需要6名志愿者，其中3名会说韩语，3名会说日语．目前可供选择的志愿者中有4人只会韩语，5人只会日语，另外还有1人既会韩语又会日语，则不同的选人方案共有________种．(用数字作答)．[答案]　140
15．(2026·浙江强基联盟联考)用1,2,3三个数字的全体或部分构造四位数，但不允许有两个2相邻出现，则这样的四位数有________个．(用数字作答)[答案]　60[解析]　若四位数中没有2，共有24＝16个，若四位数中有1个2，共有4×23＝32个，若四位数中有2个2，共有3×22＝12个，因此共有60个．
B组能力提升 1．(2025·广东大湾区调研)甲、乙等6人围成一圈，且甲、乙两人相邻，则不同的排法共有(　　)A．6种 B．12种 C．24种 D．48种[答案]　D
2．(多选题)(2026·广东佛山S71联考)现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加2023年杭州亚运会志愿者服务活动，有翻译、导游、礼仪、司机四项工作可以安排，则以下说法正确的是(　　)A．若每人都安排一项工作，则不同的方法数为45
3．(多选题)(2026·江苏苏州质检)现有4个小球和4个小盒子，下列结论正确的是(　　)A．若4个不同的小球放入编号为1,2,3,4的盒子，则共有24种放法B．若4个相同的小球放入编号为1,2,3,4的盒子，且恰有两个空盒的放法共有18种C．若4个不同的小球放入编号为1,2,3,4的盒子，且恰有一个空盒的放法共有144种D．若编号为1,2,3,4的小球放入编号为1,2,3,4的盒子，没有一个空盒但小球的编号和盒子的编号全不相同的放法共有9种[答案]　BCD
4．(2025·南京师大苏州实验学校调研)有8个座位连成一排，甲、乙、丙、丁4人就坐，要求有且仅有两个空位相邻且甲、乙两人都在丙的同侧，则共有________种不同的坐法．[答案]　480
5．(2026·广东领航高中联盟检测)为了表扬三位乐于助人的同学，班主任购买了4个价钱相同的礼盒全部分给这3名同学，若购买的4个礼盒仅有2个相同，按一人2个礼盒，另两人各1个礼盒进行分配，共有________种分法．(用数字作答)[答案]　21
C组拓展应用(选作) (2026·湖南常德起点考试)将6名学生分别安排到甲、乙、丙三地参加社会实践活动，每个地方至少安排一名学生参加，学生A不安排到甲地且与学生B不安排到同一个地方，则不同的安排方案的种数为(　　)A．260 B．280 C．360 D．390[答案]　A