2027届高中数学高考一轮复习学案：第九章　第65课时　两个计数原理、排列与组合

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1．(人教A版选择性必修第三册P11练习T1)乘积(a1＋a2＋a3)(b1＋b2＋b3)(c1＋c2＋c3＋c4＋c5)展开后共有项数为( )
A．11B．16
C．45D．144
2．(人教A版选择性必修第三册P11习题6.1T2改编)如图，从甲地到乙地有3条路，从乙地到丁地有2条路；从甲地到丙地有3条路，从丙地到丁地有4条路．则从甲地到丁地的不同路线共有( )
A．12条B．15条
C．18条D．72条
3．(人教B版选择性必修第二册P7例3)某班班委由2位女同学、3位男同学组成，现要从该班班委里选出2人去参加学校组织的培训活动，要求至少有1位女同学参加，则不同的选法共有( )
A．3种B．6种
C．7种D．9种
4．(多选)(人教B版选择性必修第二册P23练习BT1，T2改编)下列结论正确的是( )
A．3×4×5＝A53
B．C52+C53＝C62
C．若C10x＝C102x−2，则x＝3
D．C70+C72+C74+C76＝64
5．(苏教版选择性必修第二册P63练习T6改编)五名学生报名参加四项体育比赛，每人限报一项，则不同的报名方法的种数为______________．五名学生争夺四项比赛的冠军(冠军不并列)，则获得冠军的可能性有__________________种(用数字作答)．
1．两个计数原理
(1)分类加法计数原理：完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝___________种不同的方法．
(2)分步乘法计数原理：完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝___________种不同的方法．
2．排列与组合的概念
3．排列数、组合数的定义、公式、性质
[二级结论] 排列数、组合数常用公式
(1)Anm＝(n－m＋1)Anm−1．
(2)Anm＝nAn−1m−1．
(3)(n＋1)！－n！＝n·n！．
(4)kCnk＝nCn−1k−1，Cnm＝Cnn−m．
(5)Cnm+Cn−1m＋…＋Cm+1m+Cmm＝Cn+1m+1．
求解排列组合问题的6种主要方法
考点一 两个计数原理及综合应用
[典例1] (1)如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为( )
A．24 B．18 C．12 D．9
(2)某学校有一块绿化用地，其形状如图所示．为了让效果更美观，要求在四个区域内种植花卉，且相邻区域花卉颜色不同．现有五种不同颜色的花卉可供选择，则不同的种植方案共有___________种．(用数字作答)
(3)已知abc表示一个三位数，如果满足a>b且c>b，那么我们称该三位数为“凹数”，则没有重复数字的三位“凹数”共___________个(用数字作答)．
【拓展变式】 若本例(1)中 CD段马路由于正在维修(如图)，暂时不通，则从E到G的最短路径有___________条．





名师点评：综合应用两个原理解决问题时应注意以下两点：
(1)一般是先分类再分步．在分步时可能又用到分类加法计数原理．
(2)对于较复杂的两个原理综合应用的问题，可恰当地列出示意图或列出表格，使问题形象化、直观化．
[巩固迁移]
1．(2025·山西太原一模)定义：各位数字之和为5的四位数叫“吉祥数”，例如“1 022，3 110”，则所有“吉祥数”的个数是( )
A．35B．32
C．29D．20
2．(2026·贵州铜仁模拟)2 025的不同正因数的个数为___________．
3．编号为A，B，C，D，E的5种蔬菜种在如图所示的五块试验田里，每块只能种一种蔬菜，要求A品种不能种在1，2试验田里，B品种必须与A种在相邻的两块田里，则不同的种植方法种数为___________．
考点二 排列、组合问题
[典例2] (1)(2025·广东湛江二模)4名医生和2名护士站成一排，要求2名护士不相邻，且医生甲不站在队伍的最左端，则不同的站法共有___________种．
(2)从1，3，5，7，9中任取2个数字，从0，2，4，6中任取2个数字，一共可以组成___________个没有重复数字的四位数．(用数字作答)
(3)(2023·新高考Ⅰ卷)某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有______种(用数字作答)．





名师点评：解决排列与组合问题的三大原则
(1)特殊优先原则：如果问题中有特殊元素或特殊位置，优先考虑这些特殊元素或特殊位置．
(2)先取后排原则：在既有取出又需要对取出的元素进行排列时，要先取后排，即完整地把需要排列的元素取出后，再进行排列．
(3)正难则反原则：当直接求解困难时，采用间接法解决问题．
[巩固迁移]
4．(2026·沈阳育才中学模拟)北斗七星不仅是天上的星象，也是古人藉以判断季节的依据之一．如图，用点A，B，C，D，E，F，G表示某一时期的北斗七星，其中B，D，E，F看作共线，其他任何三点均不共线，过这七个点中任意两个点作直线，所得直线的条数为( )
A．4B．13
C．15D．16
5．学校将从4名男生和4名女生中选出4人分别担任辩论赛中的一、二、三、四辩手，其中男生甲不适合担任一辩手，女生乙不适合担任四辩手，要求所选4人中既有男生又有女生，且男生甲与女生乙至少有1人入选，那么不同的组队方法种数为( )
A．696B．736
C．894D．930
6．(2025·山东济南一模)将两个1，两个3，一个5排成一行，则不同的排法种数为___________．(用数字作答)
考点三 分组、分配问题
[典例3] (1)把9个入团名额分给6个班级，每班至少一人，不同的分法种数为( )
A．41 B．56 C．156 D．252
(2)(2025·广东广州三模)某班为了响应“学雷锋”活动，将指定的6名学生随机分配到3个不同的办公室打扫卫生，要求每个办公室至少分配1人，则恰好甲、乙两人(仅有两人)打扫同一个办公室的情况有___________种(用数字作答)．





名师点评：分配问题属于“排列”问题，常见的分配方法有三种：
(1)相同元素的分配问题，常用“挡板法”．
(2)不同元素的分配问题，利用分步乘法计数原理，先分组，后分配．
(3)有限制条件的分配问题，采用分类求解．
[巩固迁移]
7．(2026·河北邢台模拟)运动会期间，将甲、乙等5名志愿者安排到A，B，C三个场地参加志愿服务，每名志愿者只能安排去一个场地，每个场地至少需要1名志愿者，且甲、乙两名志愿者不安排到同一个场地，则不同的安排方法种数为( )
A．72B．96
C．114D．124
8．20个不加区别的小球放入编号为1，2，3的三个盒子中，要求每个盒内的球数不小于它的编号数，则不同的放法共有( )
A．120种B．240种
C．360种D．720种
9．将座位号为1，2，3，4的四张电影票全部分给甲、乙两个人，每人至少一张，若分给同一人多张票，则必须连号，那么不同的分法种数为( )
A．4B．6
C．7D．12
第65课时 两个计数原理、排列与组合
以题引理·激活思维
N1．深研教材典题
1．C 2．C 3．C 4．AD 5.1 024 625
N2．储备知识要点
1．(1)m＋n (2)m×n
2．一定的顺序
3．不同排列 不同组合 n！(n−m)！ n！m！(n−m)！ n！ 1 1 1
精研考点·提升素养
考点一
典例1 (1)B (2)180 (3)240 [(1)由题意可知E到F共有6条最短路径，F到G共有3条最短路径，由分步乘法计数原理知，共有6×3＝18(条)最短路径．
(2)先在A中种植，有5种不同的种植方法，再在B中种植，有4种不同的种植方法，再在C中种植，有3种不同的种植方法，最后在D中种植，有3种不同的种植方法，
所以不同的种植方案共有5×4×3×3＝180(种)．
(3)a，b，c为取自0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中的不同的三个数字，最小的数字放置在中间，余下两数可排百位或个位，故共有“凹数”的个数为2×C103＝2×120＝240．]
拓展变式
26 [先假设CD是实线，则从E到G，向上3次，向右4次，最短路径有C74＝35(条)，其中经过CD的，即先从E到C，然后C到D，最后D到G的最短路径有3×3＝9(条)，所以当CD不通时，最短路径有35－9＝26(条)．]
巩固迁移
1．A
2．15 [由题意知2 025＝34×52，
则可设2 025的正因数为3m×5n，其中m∈0，1，2，3，4，n∈0，1，2，
由分步乘法计数原理可得2 025的不同正因数的个数为5×3＝15．]
3．30
考点二
典例2 (1)408 (2)1 260 (3)64 [(1)若医生甲不站在医生队伍的最左端，则有C31A33A52＝360(种)不同的站法，
若医生甲站在医生队伍的最左端，则有A33C21C41＝48(种)不同的站法，故不同的站法共有360＋48＝408(种)．
(2)若不取零，则排列数为C52C32A44，若取零，则排列数为C52C31A31A33，
因此一共有C52C32A44+C52C31A31A33＝1 260(个)没有重复数字的四位数．
(3)法一：由题意，可分三类：第一类，体育类选修课和艺术类选修课各选修1门，有C41C41种方案；第二类，在体育类选修课中选修1门，在艺术类选修课中选修2门，有C41C42种方案；第三类，在体育类选修课中选修2门，在艺术类选修课中选修1门，有C42C41种方案．综上，不同的选课方案共有C41C41+C41C42+C42C41＝64(种)．
法二：若学生从这8门课中选修2门课，则有C82−C42−C42＝16(种)选课方案；若学生从这8门课中选修3门课，则有C83−C43−C43＝48(种)选课方案．综上，不同的选课方案共有16＋48＝64(种)．]
巩固迁移
4．D
5．C [若甲、乙都入选，则从其余6人中选出2人，有C62＝15(种)选法，男生甲不适合担任一辩手，女生乙不适合担任四辩手，则有A44−2A33+A22＝14(种)组队方法，所以共有15×14＝210(种)组队方法；若甲入选，乙不入选，则从其余6人中选出3人，有C33+C32C31+C31C32＝19(种)选法，男生甲不适合担任一辩手，则有C31A33＝18(种)组队方法，所以共有19×18＝342(种)组队方法；
若甲不入选，乙入选，则与甲入选，乙不入选的组队方法种数一样，有342种组队方法．所以共有210＋342＋342＝894(种)不同的组队方法．故选C．]
6．30 [第一步选2个空给两个1有C52种选法，
第二步从剩下的3个空选2个给两个3有C32种选法，
最后剩一个空排5即可，根据分步乘法计数原理有C52C32＝30(种)排法．]
考点三
典例3 (1)B (2)42 [(1)问题可转化为将9个入团名额排成一列，再分成6组，每组至少一个，求其方法数．事实上，只需在上述9个入团名额所产生的8个“空档”中选出5个“空档”插入挡板，即产生符合要求的方法，有C85＝56(种)．故选B．
(2)6名学生随机分配到3个不同的办公室，有2，2，2和3，2，1两种情况，
当按照2，2，2分配时，甲乙两人(仅有两人)打扫同一个办公室，先选一个办公室给甲乙两人，有C31种方法，
将剩余的4人平均分配到两个办公室，有C42C22A22A22种方法，此时，共有C31C42C22A22A22＝18(种)情况，
当按照3，2，1分配时，先选一个办公室给甲乙两人，有C31种方法，将剩余的4人按照1，3分配到两个办公室，有C41C33A22种方法，此时，共有C31C41C33A22＝24(种)情况，
综上，共有18＋24＝42(种)情况．]
巩固迁移
7．C
8．A [先在编2号，3号的盒内分别放入1个球和2个球，还剩17个小球，三个盒内每个至少再放入1个，将17个球排成一排，有16个空隙，插入2块隔板分为三堆放入三个盒中即可，共有C162＝120(种)方法．故选A．]
9．B [①当甲分一张票，乙分三张票时，有2种不同的分法；
②当甲分两张票，乙分两张票时，有2种不同的分法；
③当甲分三张票，乙分一张票时，有2种不同的分法；
所以，一共有2＋2＋2＝6(种)不同的分法．故选B．]
名称
定义
排列
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素
按照__________________排成一列
组合
作为一组
排列数
组合数
定义
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有___________的个数
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有___________的个数
公式
Anm＝n(n－1)·(n－2)·…·(n－m＋1)＝______
Cnm＝AnmAmm＝1m！[n(n－1)·(n－2)·…·(n－m＋1)]＝______
性质
Ann＝______，
0！＝__
Cnn＝____，Cn0＝____
直接法
把符合条件的排列数直接列式计算
优先法
优先安排特殊元素或特殊位置
捆绑法
把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列
插空法
对于不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空当中
定序问题
除法处理
对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列
间接法
正难则反，等价转化