2024-2025学年上海市静安区市北中学高二（下）期中数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年上海市静安区市北中学高二（下）期中数学试卷（含答案），共7页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.袋中装有6个白球，5个黄球，4个红球，从中任取一球，抽到白球的概率为( )
A. 25B. 415C. 35D. 非以上答案
2.已知函数f(x)和g(x)在区间[a,b]上的图象如图所示，那么下列说法正确的是( )
A. f(x)在a到b之间的平均变化率大于g(x)在a到b之间的平均变化率
B. f(x)在a到b之间的平均变化率小于g(x)在a到b之间的平均变化率
C. 对于任意x0∈(a,b)，函数f(x)在x=x0处的瞬时变化率总大于函数g(x)在x=x0处的瞬时变化率
D. 存在x0∈(a,b)，使得函数f(x)在x=x0处的瞬时变化率小于函数g(x)在x=x0处的瞬时变化率
3.设F1，F2为椭圆C：x25+y2=1的两个焦点，点P在C上，若PF1⋅PF2=0，则|PF1|⋅|PF2|=( )
A. 0B. 1C. 2D. 4
4.对任意实数x，恒有ex−ax−1≥0成立，关于x的方程(x−a)lnx−x−1=0有两根为x1，x2(x10)的一条渐近线，则b= ______．
10.函数f(x)=lnx在点(1,f(1))处的切线方程为______．
11.某校的4名体育教师对足球、篮球、羽毛球3个运动兴趣小组进行指导，要求每项运动至少有一名教师指导，每名教师指导一项运动，则分派方法共有______种.
12.直线y=x+b被曲线y=12x2截得的弦长为4 2，则实数b= ______．
13.若函数f(x)=x3−x2+ax−2在R上单调递增，则实数a的取值范围是______．
14.已知f(x)=−x2+ax,x≤1ax−1,x>1，若函数y=f(x)有两个极值点，则实数a的取值范围是______．
15.已知有相同焦点F1、F2的椭圆和双曲线交于点P，|PO|=|F1F2|，椭圆和双曲线的离心率分别是e1、e2，那么1e12+1e22=______(点O为坐标原点)．
16.某校高一数学兴趣小组一共有30名学生，学号分别为1，2，3，…，30，老师要随机挑选四学生参加某项活动，要求任意两人的学号之差绝对值大于等于5，则有______种不同的选择方法.(用数值作答)
三、解答题：本题共5小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题14分)
已知圆C的圆心在直线2x−y−5=0上，且经过点A(0,3)，B(4,−1)．
(1)求圆C的标准方程；
(2)求过原点且与圆C相切的直线方程．
18.(本小题14分)
已知函数f(x)=2x3−ax2−36x+b在x=−1处取得极值1．
(1)求a，b的值；
(2)求f(x)在[−2,11]上的单调区间和最小值．
19.(本小题14分)
如图是一座抛物线型拱桥横截面的示意图，当水面在l时，拱顶O离水面2m，水面宽4m.那么当水面下降1m后．
(1)水面的宽为多少？
(2)求此时横截面中水面中心A到抛物线上的点距离的最小值．
20.(本小题14分)
已知双曲线C：x2−y23=1，点F1、F2分别为双曲线的左、右焦点，A(x1,y1)、B(x2,y2)为双曲线上的点．
(1)求右焦点F2到双曲线的渐近线的距离；
(2)若AF2=3F2B，求直线AB的方程；
(3)若AF1//BF2，其中A、B两点均在x轴上方，且分别位于双曲线的左、右两支，求四边形AF1F2B的面积的取值范围．
21.(本小题14分)
若定义在R上的函数y=f(x)和y=g(x)分别存在导函数f′(x)和g′(x).且对任意x均有f′(x)≥g′(x)，则称函数y=f(x)是函数y=g(x)的“导控函数”.我们将满足方程f′(x)=g′(x)的x0称为“导控点”．
(1)试问函数y=x是否为函数y=sinx的“导控函数”？
(2)若函数y=23x3+8x+1是函数y=13x3+bx2+cx的“导控函数”，且函数y=13x3+bx2+cx是函数y=4x2的“导控函数”，求出所有的“导控点”；
(3)若p(x)=ex+ke−x，函数y=q(x)为偶函数，函数y=p(x)是函数y=q(x)的“导控函数”，求证：“k=1”的充要条件是“存在常数c使得p(x)−q(x)=c恒成立”．
参考答案
1.A
2.D
3.C
4.B
5.x=−1
6.3或15
7.22
8.(0,16)
9.2
10.x−y−1=0
11.36
12.32
13.[13,+∞)
14.(0,2)
15.5
16.3060
17.解：(1)已知圆C的圆心在直线2x−y−5=0上，且经过点A(0,3)，B(4,−1)，
则线段AB的中点(2,1)，直线AB的斜率kAB=−1−34−0=−1，
则线段AB的中垂线斜率为−1kAB=1，方程为y−1=x−2，即y=x−1，
由y=x−12x−y−5=0，解得x=4，y=3，因此圆C的圆心C(4,3)，半径r=|AC|=4，
所以圆C的标准方程为(x−4)2+(y−3)2=16；
(2)过原点且斜率不存在的直线为x=0，点C(4,3)到直线x=0的距离为4=r，
即直线x=0与圆C相切；
当切线斜率存在时，设切线方程为y=kx，即kx−y=0，点C(4,3)到该直线距离为|4k−3| k2+1=4，
解得k=−724，因此切线方程为7x+24y=0，
综上，经过原点且与圆C相切的直线方程为x=0或7x+24y=0．
18.解：(1)因为f(x)=2x3−ax2−36x+b，所以f′(x)=6x2−2ax−36．
因为函数f(x)=2x3−ax2−36x+b在x=−1处取得极值1．
所以f′(−1)=2a−30=0，f(−1)=34−a+b=1，
所以a=15，b=−18．
经检验，a=15，b=−18符合题意．
(2)由(1)知f(x)=2x3−15x2−36x−18，
则f′(x)=6x2−30x−36=6(x−6)(x+1)．
令f′(x)=0，得x=−1或x=6．
当x∈[−2,−1)∪(6,11]时，f′(x)>0；当x∈(−1,6)时，f′(x)0，
又结合题意可得：C(2,−2)在抛物线上，
则22=−2p×(−2)，
即p=1，
即抛物线的方程为x2=−2y，
设E(n,−3)，其中n>0，
则n2=6，
即n= 6，
即水面的宽为2 6m；
(2)由题意可得：A(0,−3)，
设抛物线上的点为P(a,b)，
则|AP|= a2+(b+3)2= b2+4b+9= (b+2)2+5≥ 5，
当b=−2时取等号，
即此时横截面中水面中心A到抛物线上的点距离的最小值为 5m.
20.解：(1)由题，右焦点F2(2,0)，
渐近线方程为 3x±y=0，
因此焦点F2到渐近线的距离为d=2 32= 3；
(2)显然，直线AB不与x轴重合，设直线AB方程为x=my+2，
由AF2=3F2B，得y1=−3y2，
联立方程x=my+2x2−y23=1，得(3m2−1)y2+12my+9=0，
其中，Δ=36m2+36>0恒成立，y1+y2=−12m3m2−1，y1⋅y2=93m2−1，
代入y1=−3y2，消元得y2=6m3m2−1，y22=−33m2−1，
即−33m2−1=(6m3m2−1)2，解得m=± 1515，
所以，直线AB的方程为x=± 1515y+2；
(3)延长AF1交双曲线于点P，延长BF2交双曲线于点Q.则由对称性得，四边形APQB为平行四边形，且面积为四边形AF1F2B面积的2倍，
由题，设Q(x3,y3)，直线AP程为x=my−2，直线BQ方程x=my+2，
由第(2)问，易得|BQ|= 1+m2|y2−y3|= 1+m2 36m2+36|3m2−1|=6(m2+1)|3m2−1|，
因为y2y3