2023-2024学年上海市静安区市北中学高一（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年上海市静安区市北中学高一（下）期中数学试卷（含解析），共13页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.sinx= 22是tanx=1成立的( )
A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件
C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件
2.与sin(θ−π2)一定相等的是( )
A. sin(π2−θ)B. cs(θ+π2)C. sin(θ+π2)D. cs(π−θ)
3.使y=3−csx2取最小值的x的集合是( )
A. {x|x=4kπ,k∈Z}B. {x|x=2kπ,k∈Z}
C. {x|x=kπ,k∈Z}D. {x|x=32kπ,k∈Z}
4.在非等边斜三角形ABC中，R为△ABC的外接圆半径，S为△ABC的面积，下列式子中正确的是( )
A. csA=sinB+C2
B. S=2RsinA⋅sinB⋅sinC
C. tanA+tan+tanC=tanA⋅tanB⋅tanC
D. acsA=bcsB=ccsC
二、填空题：本题共10小题，共35分。
5.15°对应的弧度数为______．
6.在△ABC中，已知a=7，b=8，c=13，则角C的大小为______．
7.函数f(x)= lg2x−1的定义域为 ．
8.已知2sinα+3csαsinα−2csα=14，则tanα的值为______．
9.函数y=cs(πx+2)的最小正周期是______．
10.方程sinx=14，x∈[π2,π]，则x= ______.(用反三角函数表示)
11.已知奇函数f(x)的一个周期为2，当x∈(0,1)时，f(x)=csπx3，则f(7.5)= ______．
12.若函数y=tan3x在区间(m,π6)上是严格增函数，则实数m的取值范围为______．
13.已知点A的坐标为(−3,4)，将OA绕坐标原点O顺时针旋转π3至OB.则点B的坐标为______．
14.若函数f(x)=x|x|−2x,x三、解答题：本题共5小题，共49分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题9分)
已知csα=−35，α∈(π,2π)．
(1)求cs2α的值；
(2)若角β的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的正半轴重合，且终边经过点(3,−1)，求tan(α−β)的值．
16.(本小题10分)
幂函数f(x)=xm2−2m−3(m∈Z)的图像关于y轴对称，且在区间(−∞,0)上是严格增函数．
(1)求f(x)的表达式；
(2)对任意实数x∈[12,1]，不等式f(x)≤t+4x恒成立，求实数t的取值范围．
17.(本小题10分)
已知下列是两个等式：
①sin60°⋅sin30°=sin245°−sin215°；
②sin5⋅sin1=sin23−sin22；
(1)请写出一个更具一般性的关于三角的等式，使上述两个等式是它的特例；
(2)请证明你的结论；
18.(本小题10分)
如图，有一块扇形草地OMN，已知半径为R，∠MON=π2，现要在其中圈出一块矩形场地ABCD作为儿童乐园使用，其中点A，B在弧MN上，且线段AB平行于线段MN；
(1)若点A为弧MN的一个三等分点，求矩形ABCD的面积S；
(2)设∠AOB=θ(0<θ<π2)，当A在何处时，矩形ABCD的面积S最大？最大值为多少？
19.(本小题10分)
某同学用“五点法”画函数f(x)=Asin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2)在某一周期内的图像时，列表并填入的部分数据如下表：
(1)请填写上表的空格处，并写出函数f(x)的解析式；
(2)将函数f(x)的图像向右平移2π3个单位，再所得图像上各点的横坐标缩小为原来的12，纵坐标不变，得到函数g(x)的图像，求y=lg12[g(x)− 32]的单调递增区间；
(3)在(2)的条件下，若F(x)=g2(x)+ 33a⋅g(x)−1在x∈(0,2021π)上恰有奇数个零点，求实数a的值．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：sinx= 22可得tanx=±1，tanx=1可得sinx=± 22，
所以sinx= 22是tanx=1成立的既非充分也非必要条件．
故选：D．
通过同角三角函数基本关系式，求解三角函数值，然后判断充要条件即可．
本题考查同角三角函数基本关系式的应用，充要条件的判定，是基础题．
2.【答案】D
【解析】解：sin(θ−π2)=−csθ，
sin(π2−θ)=csθ，A错误；
cs(θ+π2)=−sinθ，B错误；
sin(θ+π2)=csθ，C错误；
cs(π−θ)=−csθ，D正确．
故选：D．
由已知结合诱导公式检验各选项即可判断．
本题主要考查了诱导公式在三角化简中的应用，属于基础题．
3.【答案】A
【解析】解：令x2=2kπ，(k∈Z)，整理得x=4kπ，(k∈Z)．
故函数取得最小值为2．
故取得最小值的x的集合为{x|x=4kπ,k∈Z}．
故选：A．
直接利用余弦型函数的性质求出结果．
本题考查的知识点：余弦型函数的性质，主要考查学生的运算能力，属于基础题．
4.【答案】C
【解析】解：对于A，因为sinB+C2=sin(π−A2)=csA2，
若csA=sinB+C2，则可得2cs2A2−csA2−1=0，解得csA2=1，或−12，
因为A∈(0,π)，可得A2∈(0,π2)，可得csA2∈(0,1)，故错误；
对于B，S=12absinC=12⋅2RsinA⋅2RsinB⋅sinC=2R2sinAsinBsinC，故错误；
对于C，因为△ABC为非直角三角形，所以tanA=−tan(B+C)=−tanB+tanC1−tanBanC，
则tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC，故正确；
对于D，若acsA=bcsB=ccsC，则sinAcsA=sinBcsB=sinCcsC，即tanA=tanB=tanC，即A=B=C，即△ABC是等边三角形，由于△ABC为斜三角形，故错误．
故选：C．
对于A，利用诱导公式化简已知可得2cs2A2−csA2−1=0，解方程可解得csA2的值，可求范围A2∈(0,π2)，即可判断；
对于B，利用S=12absinC=2R2sinAsinBsinC判定；
对于C，利用tanA=−tan(B+C)=−tanB+tanC1−tanBanC，计算即可；
对于D，利用正弦定理，同角三角函数基本关系式可求A=B=C，结合已知即可判断得解．
本题主要考查了正弦定理的运用，解三角形问题，三角函数基本性质．考查了推理和归纳的能力，是中档题．
5.【答案】π12
【解析】解：15°对应的弧度数为15×π180=π12．
故答案为：π12．
利用角度制与弧度制的互化公式求解．
本题主要考查了角度制与弧度制的互化，属于基础题．
6.【答案】2π3
【解析】解：∵在△ABC中a=7，b=8，c=13，
∴由余弦定理可得csC=a2+b2−c22ab
=72+82−1322×7×8=−12，
∵C∈(0,π)，∴C=2π3
故答案为：2π3
由题意和余弦定理可得ccC，由三角形内角的范围可得．
本题考查余弦定理，涉及三角函数值和角的对应关系，属基础题．
7.【答案】[2,+∞)
【解析】【分析】
本题考查了对数函数的性质，考查求函数的定义域问题，是一道基础题．
解关于对数函数的不等式，求出x的范围即可．
【解答】
解：由题意得：lg2x≥1，
解得：x≥2，
∴函数f(x)的定义域是[2,+∞)．
故答案为：[2,+∞)．
8.【答案】−2
【解析】解：由2sinα+3csαsinα−2csα=14，得2tanα+3tanα−2=14，解得tanα=−2．
故答案为：−2．
利用同角三角函数基本关系式化弦为切求解．
本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．
9.【答案】2
【解析】解：函数y=cs(πx+2)的最小正周期是：T=2ππ=2．
故答案为：2．
由余弦函数的最小正周期公式即可得出答案．
本题考查三角函数的周期性，属于基础题．
10.【答案】π−arcsin14
【解析】解：若锐角α满足sinα=14，则α=arcsin14，
因此当x∈[π2,π]时，满足sinx=14的x=π−arcsin14．
故答案为：π−arcsin14．
根据反正弦函数的定义，可知arcsin14表示正弦等14的锐角，由此结合正弦的诱导公式算出本题答案．
本题主要考查三角函数的诱导公式、利用反正弦函数求值等知识，属于基础题．
11.【答案】− 32
【解析】解：根据题意，奇函数f(x)的一个周期为2，
则f(7.5)=f(−0.5+8)=f(−0.5)=−f(0.5)，
又由当x∈(0,1)时，f(x)=csπx3，则f(0.5)=csπ6= 32，
故f(7.5)=− 32；
故答案为：− 32．
根据题意，由函数的奇偶性和周期性可得f(7.5)=f(−0.5+8)=f(−0.5)=−f(0.5)，结合函数的解析式可得答案．
本题考查抽象函数的求值，涉及函数的周期性，属于基础题．
12.【答案】[−π6,π6)
【解析】解：函数y=tan3x在区间(m,π6)上是严格增函数，
可得3x∈(3m,π2)，则−π2≤3m<π2，解得−π6≤m<π6．
即m的范围为[−π6,π6).
故答案为：[−π6,π6).
由函数的递增区间，可得3x的范围，可得3m的范围，进而求出m的范围．
本题考查正切函数的性质的应用，属于基础题．
13.【答案】(4 3−310,4+3 310)
【解析】解：设以OA为终边的角为α，则由三角函数定义可知：sinα=45，csα=−35，
由题意，以OB为终边的角为α−π3，
又cs(α−π3)=csαcsπ3+sinαsinπ3=−35×12+45× 32=4 3−310，
sin(α−π3)=sinαcsπ3−csαsinπ3=45×12+35× 32=4+3 310，
即点B的坐标为(4 3−310,4+3 310)，
故答案为：(4 3−310,4+3 310).
直接利用三角函数的定义，将坐标与函数值对应，运用差角公式计算即可．
本题考查三角函数的定义，属基础题．
14.【答案】(−2,0]∪(1，2]
【解析】解：作出y=x|x|−2x，y=1−x的图象如图所示；
当a≤−2时，函数f(x)=x|x|−2x,x当−2当0当1当a>2时，函数f(x)=x|x|−2x,x综上所述：实数a的取值范围是(−2,0]∪(1，2]．
故答案为：(−2,0]∪(1，2]．
画出函数f(x)=x|x|−2x,x2讨论观察图象可得答案．
本题考查函数零点与方程根的关系，考查数形结合思想及运算求解能力，属于中档题．
15.【答案】解：(1)∵csα=−35，α∈(π,2π)，
∴sinα=− 1−sin2α=−45，
∴cs2α=cs2α−sin2α=925−1625=−725；
(2)由题意，tanβ=−13，
由(1)知，tanα=sinαcsα=43，
则tan(α−β)=tanα−tanβ1+tanαtanβ=43+131−43×13=3．
【解析】(1)由已知求得sinα，再由倍角公式可得cs2α的值；
(2)利用任意角的三角函数定义求得tanβ，再由两角差的正切求解tan(α−β)的值．
本题考查三角函数的化简求值，考查两角差的正切，是基础题．
16.【答案】解：(1)依题意，m2−2m−3=−4，解得m=1，
所以f(x)=x−4；
(2)不等式f(x)≤t+4x，即t≥x−4−4x，
又f(x)=x−4在(−∞,0)上是增函数，则在(0,+∞)上是减函数，
而y=4x在R上为增函数，则g(x)=x−4−4x在[12,1]上为减函数，
所以g(x)max=g(12)=14，则t≥14，
所以实数t的取值范围为[14,+∞)．
【解析】(1)根据题意可得m2−2m−3=−4，由此求得m的值，进而得解；
(2)依题意，对任意实数x∈[12,1]，不等式t≥x−4−4x恒成立，而g(x)=x−4−4x在[12,1]上为减函数，由此可得解．
本题考查幂函数的性质以及不等式的恒成立问题，考查运算求解能力，属于基础题．
17.【答案】解：(1)由①sin60°⋅sin30°=sin245°−sin215°；
②sin5⋅sin1=sin23−sin22；
根据以上两式总结一般的三角等式为：sinα⋅sinβ=sin²α+β2−sin²α−β2；
(2)证明：由二倍角公式整理可得：sin²α+β2=1−cs(α+β)2，sin²α−β2=1−cs(α−β)2，
又cs(α+β)=csα⋅csβ−sinα⋅sinβ，
cs(α−β)=csαcsβ+sinα⋅sinβ，
∴sin²α+β2−sin²α−β2=1−cs(α+β)2−1−cs(α−β)2=cs(α−β)−cs(α+β)2=sinα⋅sinβ．
即命题得证．
【解析】(1)根据以上两式总结一般的三角等式为：sinα⋅sinβ=sin²α+β2−sin²α−β2；
(2)依据三角变换中的降幂，半角化倍角恒等变换，从等式的右边出发向左边进行证明从而得到结论．
本题重点利用三角变换中的降幂，半角化倍角恒等变换，通过复杂一方向简单一方进行证明．
18.【答案】解：(1)如图，作OH⊥AB于点H，交线段CD于点E，连接OA、OB，

∴∠AOB=π6，
∴AH=Rsinπ12，AB=2Rsinπ12，OH=Rcsπ12，
OE=DE=12AB=Rsinπ12，
∴EH=OH−OE=R(csπ12−sinπ12)，
S=AB⋅EH=2R2(2sinπ12csπ12−2sin2π12)=12( 3−1)R2；
(2)因为∠AOB=θ(0<θ<π2)，
则AB=2Rsinθ2，OH=Rcsθ2，OE=12AB=Rcsθ2，
∴EH=OH−OE=R(csθ2−sinθ2)，
S=AB⋅EH=2R2(2sinθ2csθ2−2sin2θ2)=2R2[ 2sin(θ+π4)−1]，
∵0<θ<π2，
∴θ+π4=π2即θ=π4时，Smax=( 2−1)R2，此时A在弧MN的四等分点处．
【解析】(1)作OH⊥AB于点H，交线段CD于点E，连接OA、OB，求出AB，EH，可得矩形ABCD的面积S；
(2)设∠AOB=θ(0<θ<π2)，求出AB，EH，可得矩形ABCD的面积S，再求最大值．
本题主要考查了扇形的面积公式，考查三角函数的性质，属于中档题．
19.【答案】(1)解：根据表中的数据可得−2π3×ω+φ=0π3×ω+φ=π2，解得ω=12φ=π3，
故12×x2+π3=π12×x3+π3=3π2，所以x2=4π3x3=7π3，又A= 3，故y2= 3×(−1)=− 3．
所以完表如下：
所以f(x)= 3sin(x2+π3).函数如图：

(2)解：将函数f(x)的图像向右平移2π3个单位，所得图像的解析式为：
f(x)= 3sin(x2−π3+π3)= 3sinx2
再将所得图像上各点的横坐标缩小为原来的12，纵坐标不变，得到函数g(x)的图像，
故g(x)= 3sinx．
此时y=lg12[g(x)− 32]=lg12( 3sinx− 32)，
令 3sinx− 32>0，则sinx>12，故x∈(2kπ+π6,2kπ+5π6),k∈Z．
当x∈(2kπ+π6,2kπ+π2)时，t= 3sinx− 32为增函数，
故y=lg12[g(x)− 32]为减函数；
当x∈[2kπ+π2,2kπ+5π6)时，t= 3sinx− 32为减函数；
故y=lg12[g(x)− 32]为增函数．
所以y=lg12[g(x)− 32]的增区间为[2kπ+π2,2kπ+5π6),k∈Z．
(3)解：F(x)=3sin2x+a⋅sinx−1，F(x)的周期为T=2π，
当x∈(0,2π]时，令t=sinx，考虑方程3t2+at−1=0的根情况，
因为Δ=a2+12>0，故3t2+at−1=0在R必有两个不同的实数根t=t1，t=t2，t1因为F(x)在(0,2021π)有奇数个零点，故t1∈[−1,1]或t2∈[−1,1]．
若−1在(0,π)有0个实数根或2个实数根，
故F(x)=0在(0,2021π)有2021−12×4=4040个根或2021−12×4+2=4042个根，
与F(x)有奇数个零点矛盾，舍去．
若t1∈(−1,1)，t2∉[−1,1]，则t1=sinx在(0,2π]共有2个不同的实数根，在(0,π)有0个实数根或2个实数根，
故F(x)=0在(0,2021π)有2021−12×2=2020个根或2021−12×2+2=2020+2=2022，
与F(x)有奇数个零点矛盾，舍去．
同理t1∉[−1,1]，t2∈(−1,1)也不成立，所以t1=−1或t2=1，
若t1=−1，则a=2，此时3t2+at−1=0的根为t2=13,t1=−1，
方程13=sinx、−1=sinx在(0,2π]]共有3个不同的实数根，而在(0,π)上，13=sinx有两个不同的根，−1=sinx无解，
所以F(x)=0在(0,2021π)有2021−12×3+2=3032个根，
与F(x)有奇数个零点矛盾，舍去；
若t2=1，则a=−2，方程3t2+at−1=0的根t1=−13,t2=1，
方程−13=sinx、1=sinx在(0,2π]共有3个不同的实数根，而在(0,π)上，−13=sinx无解，1=sinx有一个根，
所以F(x)=0在(0,2021π)有2021−12×3+1=3031个根，符合题意．
综上，a=−2，F(x)在(0,2021π)共有3031个不同的零点．
【解析】(1)根据表中数据可得关于ω，φ的方程组，解出ω，φ的值后再计算补全表中数据，再由表中数据可得A= 3，从而可得函数的解析式．
(2)先求出g(x)的解析式，再求出y=lg12[g(x)− 32]的定义域，结合三角函数的单调性可得复合函数的单调增区间．
(3)令t=sinx，设方程3t2+at−1=0的根为t=t1，t=t2(t1本题较为全面地考查了三角函数的图像和性质、三角函数的图像变换及复合函数零点的个数判断，考查学生的综合能力．属于难题．x
−2π3
π3
10π3
ωx+φ
0
π2
π
3π2
2π
sin(ωx+φ)
0
1
0
−1
0
f(x)
0
3
0
− 3
0
x
−2π3
π3
4π3
7π3
10π3
ωx+φ
0
π2
π
3π2
2π
sin(ωx+φ)
0
1
0
−1
0
f(x)
0
3
0
− 3
0