2025-2026学年上海市黄浦区比乐中学高一（上）期中数学试卷（含解析）

这是一份2025-2026学年上海市黄浦区比乐中学高一（上）期中数学试卷（含解析），共5页。试卷主要包含了5 毫米黑色墨水签字等内容，欢迎下载使用。
生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、
姓名是否一致．
2．选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．非选择题答案用 0.5 毫米黑色墨水签字
笔在答题卡上相应位置书写作答，在试题卷上答题无效．
3．作图可先使用 2B 铅笔画出，确定后必须用 0.5 毫米黑色墨水签字笔描黑．
一、填空题（共有12道题，只要求直接填写结果，每空填对得3分）
1．用或填空：0 ．
2．设集合，，则 ．
3．已知集合，，，，则 ．
4．已知，是实数，要用反证法证明“若，则或”这个命题，首先要假设结论不成立，也就是假设 ．
5．不等式的解集是 ．
6．设集合，，若，则实数的取值范围是 ．
7．用有理指数幂的形式表示： ．
8．把指数式“”写成对数式 ．
9．关于的不等式的解集是，则实数 ．
10．设，方程的解集是 ．
11．若整式不等式的解集为，，不等式的解集为，则不等式的解集为 ．
12．已知关于的不等式至多有一个实数解，则实数的取值范围是 ．
二、选择题（本大题满分14分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，第13-14题选对得3分，第15-16题选对得4分，否则一律得零分。
13．若，3，，，，则是的 条件．
A．充分非必要条件B．必要非充分条件
C．充要条件D．既非充分又非必要条件
14．若，则下列不等式中不成立的是（ ）
A．B．C．D．
15．下列各式中，正确的是（ ）
A．B．
C．D．
16．以下四个代数式：（1）；（2）；（3）；（4）．其中的字母均表示实数，且代数式均有意义．那么代数式的最小值为2的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
三、解答题（本大题满分50分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤，写在答题卷相应的答题框内，写到框外的不予计分。
17．已知，，用及表示及．
18．已知：实数满足不等式，：实数满足不等式．
（1）设使成立的实数组成集合，求集合（用区间形式表示）；
（2）是否存在实数，使得是的充分条件？若存在，求实数的取值范围；若不存在，请说明理由．
19．已知：根式对一切实数有意义；：集合，．
（1）求成立时实数的取值范围；
（2）若与同时成立，求实数的取值范围．
20．（1）幂函数的图像经过点，求的解析式；
（2）已知函数为常数）．是否存在整数，使该函数在区间，上是严格减函数，并且函数值不恒为负？若存在，求出所有符合条件的；若不存在，请说明理由．
21．（1）已知实数，求的取值范围；
（2）如图，要设计一张矩形海报，该海报含有大小相等的左右两个矩形栏目（即图中阴影部分），这两栏的面积之和为，四周空白的宽度为，两栏之间的中缝空白的宽度为，怎样确定海报的高与宽的尺寸（单位：，能使矩形海报面积最小？最小面积是多少？
参考答案
一、填空题（共有12道题，只要求直接填写结果，每空填对得3分）
1．用或填空：0 ．
解：因为0是自然数，故．
故答案为：．
2．设集合，，则， ．
解：集合，
，
则
，．
故答案为：，．
3．已知集合，，，，则，， ．
解：由已知集合和，
可得，，，，，．
故答案为：，，．
4．已知，是实数，要用反证法证明“若，则或”这个命题，首先要假设结论不成立，也就是假设且 ．
解：要用反证法证明“若，则或”这个命题，
则应假设且．
故答案为：且．
5．不等式的解集是或 ．
解：由不等式，可得或，
解得或，
所以不等式的解集是或．
故答案为：或．
6．设集合，，若，则实数的取值范围是， ．
解：，
又，且，
所以，所以实数的取值范围是，．
故答案为：，．
7．用有理指数幂的形式表示： ．
解：，
故答案为：．
8．把指数式“”写成对数式 ．
解：，
．
故答案为：．
9．关于的不等式的解集是，则实数 3 ．
解：因为关于的不等式的解集是，
所以是方程的两个根，且，
由韦达定理可得，，
解得，
所以．
故答案为：3．
10．设，方程的解集是 ．
解：当时，方程化为，
此方程恒成立，所以解为；
当时，方程化为，
解得，满足，
所以解为；
当时，方程化为，
解得，满足，
所以解为；
当时，方程化为，
此方程恒成立，所以解为，
综上，方程的解集为．
故答案为：．
11．若整式不等式的解集为，，不等式的解集为，则不等式的解集为，， ．
解：不等式的解集为，所以的解集为，
又，的解集为，
所以，
因为不等式的解集为，，
可得不等式的解集为，，，
所以的解集为，，．
故答案为：，，．
12．已知关于的不等式至多有一个实数解，则实数的取值范围是， ．
解：由题意可知，关于的不等式至多有一个实数解，
当时，，解得，有无数多个实数解，不符合题意，
当时，要使二次不等式至多有一个实数解，
只需，解得，
所以实数的取值范围是，．
故答案为：，．
二、选择题（本大题满分14分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，第13-14题选对得3分，第15-16题选对得4分，否则一律得零分。
13．若，3，，，，则是的 条件．
A．充分非必要条件B．必要非充分条件
C．充要条件D．既非充分又非必要条件
解：由，3，，则可能为，，，，，3，，
所以是的必要不充分条件．
故选：．
14．若，则下列不等式中不成立的是（ ）
A．B．C．D．
解：，
，
．
因此不正确．
故选：．
15．下列各式中，正确的是（ ）
A．B．
C．D．
解：对于，，故错误；
对于，无法直接分解为，故错误；
对于，，故错误；
对于，由的分析得．
故选：．
16．以下四个代数式：（1）；（2）；（3）；（4）．其中的字母均表示实数，且代数式均有意义．那么代数式的最小值为2的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
解：对于（1）：当和小于0时，，
此时代数式最小值不是2，故（1）错误；
对于（2）：因为，所以，则，
所以，
此时代数式最小值不是2，故（2）错误；
对于（3）：因为，
所以，
当且仅当，即时取等号，
此时代数式的最小值为2，故（3）正确；
对于（4）：当时，，
此时代数式最小值不是2，故（4）错误．
故选：．
三、解答题（本大题满分50分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤，写在答题卷相应的答题框内，写到框外的不予计分。
17．已知，，用及表示及．
解：，，
，
．
18．已知：实数满足不等式，：实数满足不等式．
（1）设使成立的实数组成集合，求集合（用区间形式表示）；
（2）是否存在实数，使得是的充分条件？若存在，求实数的取值范围；若不存在，请说明理由．
解：（1）因为，解得，
可得集合，；
（2）假设存在实数，使得是的充分条件，设是的解集，则，
因为，即，
因为方程的根为，，
当时，，解得，，，
可得，显然，不包含于，，故不成立；
当时，不等式变为，解集为，成立；
当时，解集为，，，则，包含于，成立．
综上，存在，使得，即是的充分条件．
19．已知：根式对一切实数有意义；：集合，．
（1）求成立时实数的取值范围；
（2）若与同时成立，求实数的取值范围．
解：（1）由题意恒成立，
当时，恒成立，符合题意；
当时，可得，解得，
综上实数的取值范围为，．
（2）由（1）得，成立时的取值范围为，．
因为，，
当时，，解得，
此时，，符合题意；
当时，若判别式△，解得，
此时，，符合题意；
若△，解得，
由，解得，
此时，，不符合题意；
若△，解得，
此时有两个实数根，不符合题意，
所以成立时的范围为，
所以与同时成立，实数的取值范围是．
20．（1）幂函数的图像经过点，求的解析式；
（2）已知函数为常数）．是否存在整数，使该函数在区间，上是严格减函数，并且函数值不恒为负？若存在，求出所有符合条件的；若不存在，请说明理由．
解：（1）根据题意，函数为幂函数，
设，图像经过点，
则有，解得，
所以；
（2）存在整数，使该函数在区间，上是严格减函数，
因为，
若函数在区间，上是严格减函数，并且函数值不恒为负，
则有，
解得，又为整数，
所以，，0，．
21．（1）已知实数，求的取值范围；
（2）如图，要设计一张矩形海报，该海报含有大小相等的左右两个矩形栏目（即图中阴影部分），这两栏的面积之和为，四周空白的宽度为，两栏之间的中缝空白的宽度为，怎样确定海报的高与宽的尺寸（单位：，能使矩形海报面积最小？最小面积是多少？
解：（1）当时，，当且仅当，即取等号，
当时，，则，
所以，当且仅当，即取等号，
综上所述：的取值范围为，，；
（2）设矩形栏目宽为，高为，则，
所以，
当且仅当，即，取等号，
所以海报的高为与宽为，可使矩形海报面积最小，最小面积为25920．