2025-2026学年上海市静安区风华中学高一（上）期中数学试卷（含解析）

这是一份2025-2026学年上海市静安区风华中学高一（上）期中数学试卷（含解析），共5页。试卷主要包含了5 毫米黑色墨水签字等内容，欢迎下载使用。
生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、
姓名是否一致．
2．选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．非选择题答案用 0.5 毫米黑色墨水签字
笔在答题卡上相应位置书写作答，在试题卷上答题无效．
3．作图可先使用 2B 铅笔画出，确定后必须用 0.5 毫米黑色墨水签字笔描黑．
一、填空题（共10题，每题4分，共40分）
1．已知集合，，，，用列举法表示 ．
2．设，，则 ．
3．函数的定义域为 ．
4．已知指数函数的图像经过，则 ．
5．化简： ．
6．的解集为 ．
7．设，，则不等式，同时成立的充分必要条件是 ．
8．满足，，，，的集合有 个．
9．定义满足“如果，，那么，，且时，”的集合为闭集，说明“是闭集”是假命题的一个反例可以是 ．
10．如果方程的三个根可以作为一个三角形的三条边的长，那么实数的取值范围是 ．
二、选择题（共3题，每题4分，共12分）
11．已知实数、，下列四个不等式中正确且能取到等号的是（ ）
A．B．
C．D．
12．“”是“不等式对一切实数恒成立”的（ ）
A．充分非必要条件B．必要非充分条件
C．充要条件D．既非充分又非必要条件
13．关于函数且，有下列结论：①函数的定义域为；②函数的图像有且仅有两个定点；③当时，函数在区间上是严格增函数；④当时，函数的最小值为．其中正确结论的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
三、解答题（共5题，共48分）
14．设全集，已知集合，．
（1）用区间写出这两个集合；
（2）求和．
15．用三角不等式求解下列问题：
（1）求函数的最小值，并写出等号成立的条件；
（2）已知函数，证明：，并写出等号成立的条件．
16．已知集合，，若，求实数的取值范围．
17．已知幂函数．
（1）求的解析式；
（2）①若图像不经过坐标原点，写出函数在哪个区间上是严格增函数，哪个区间上是严格减函数；
②若图像经过坐标原点，解不等式．
18．对于实数，定义符号表示不大于的最大整数，例如：，，．
（1）根据定义作出函数和在，的大致图像；
（2）当时，求表达式的最小值及取到最小值时的取值范围；
（3）求下列方程的解集：①；②．
参考答案
一、填空题（共10题，每题4分，共40分）
1．已知集合，，，，用列举法表示， ．
解：因为集合，，，，
所以，．
故答案为：，．
2．设，，则 3 ．
解：，可得，
所以．
故答案为：3．
3．函数的定义域为，， ．
解：函数，
令，解得且，
则函数的定义域为，，．
故答案为：，，．
4．已知指数函数的图像经过，则 ．
解：设且，
因为的图像经过，
则，解得，
所以．
故答案为：．
5．化简： ．
解：根据根式的意义可得，原式
．
故答案为：．
6．的解集为，， ．
解：对于，即，解得；
对于，即，解得或；
所以不等式的解集为，，．
故答案为：，，．
7．设，，则不等式，同时成立的充分必要条件是 ．
解：充分性：时，显然成立，
必要性：当，且，则，所以，
故答案为：．
8．满足，，，，的集合有 15 个．
解：因为，，，，，
所以集合一定含元素，可能含，，，，且，
所以的个数即集合，，，的非空子集的个数，
所以满足条件的集合的个数为：．
故答案为：15．
9．定义满足“如果，，那么，，且时，”的集合为闭集，说明“是闭集”是假命题的一个反例可以是，（答案不唯一，符合题意即可） ．
解：为整数集，例如，，则，，
但，可知“是闭集”是假命题．
故答案为：，（答案不唯一，符合题意即可）．
10．如果方程的三个根可以作为一个三角形的三条边的长，那么实数的取值范围是 ．
解：设的两根分别为，，首先△，得，
因为三个根可以作为一个三角形的三条边的长，
所以，，
由韦达定理得，，所以把两边平方，
得，即，解得，
所以实数的取值范围为．
故答案为：．
二、选择题（共3题，每题4分，共12分）
11．已知实数、，下列四个不等式中正确且能取到等号的是（ ）
A．B．
C．D．
解：对于选项，取，则，故错误；
对于选项，，
当且仅当，即时取等号，
而，因此等号不能取到，故错误；
对于选项，取，，则，故错误；
对于选项，，则，故正确．
故选：．
12．“”是“不等式对一切实数恒成立”的（ ）
A．充分非必要条件B．必要非充分条件
C．充要条件D．既非充分又非必要条件
解：若不等式对一切实数恒成立，
当时，可得，符合题意；
当时，可得，解得；
综上，实数的取值范围为，
所以“”是“不等式对一切实数恒成立”的充分非必要条件．
故选：．
13．关于函数且，有下列结论：①函数的定义域为；②函数的图像有且仅有两个定点；③当时，函数在区间上是严格增函数；④当时，函数的最小值为．其中正确结论的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
解：因为，
对于①：显然，故①错误；
对于②：因为，则，当且仅当，即时，等号成立．
由于只有时的值才能与参数无关，但，所以是不可能的，所以函数的图象上不存在与参数无关的定点，故②错误；
对于③：当，，则，
因为在内单调递减，且在定义域内单调递减，
所以函数在区间上是严格增函数，故③正确；
对于④：因为，当且仅当时，等号成立，
若，则在定义域内单调递增，
可得，当且仅当时，等号成立，
所以函数的最小值为，故④正确．
故选：．
三、解答题（共5题，共48分）
14．设全集，已知集合，．
（1）用区间写出这两个集合；
（2）求和．
解：（1）由可得或，
所以，，；
由可得，
解得或，
所以，，．
（2）由（1）可知：，，，，，，则，
所以，．
15．用三角不等式求解下列问题：
（1）求函数的最小值，并写出等号成立的条件；
（2）已知函数，证明：，并写出等号成立的条件．
解：（1）函数的定义域为，
，
当且仅当，即时取等号，
所以函数的最小值为，此时．
（2）函数的定义域为，
，
当且仅当，即时取等号，
而当时，，当且仅当时取等号，
所以，当且时取等号．
16．已知集合，，若，求实数的取值范围．
解：因为，则，而，
当时，△，解得；
当时，设方程的两个根分别为，，则，
要满足题意，只需，解得，
所以实数的取值范围是．
17．已知幂函数．
（1）求的解析式；
（2）①若图像不经过坐标原点，写出函数在哪个区间上是严格增函数，哪个区间上是严格减函数；
②若图像经过坐标原点，解不等式．
解：（1）因为为幂函数，
所以，解得或2，
故或．
（2）或，
①若图像不经过坐标原点，则，
所以的严格单调递减区间为，，无严格递增区间；
②若图像经过坐标原点，则，
由可得，解得，
所以原不等式的解集为．
18．对于实数，定义符号表示不大于的最大整数，例如：，，．
（1）根据定义作出函数和在，的大致图像；
（2）当时，求表达式的最小值及取到最小值时的取值范围；
（3）求下列方程的解集：①；②．
解：（1）由于，，那么，
因此在，的大致图像如图所示：
且，
因此在，的大致图像如图所示：
（2）由于，且，可得，
又由于，
当且仅当，即，时，等号成立，
因此的最小值为8，此时的取值范围为，．
（3）对于①：，可得，
若，那么，
可得，解得；
若，那么，不合题意；
若，那么，
可得，解得；
综上所述：的解集为；
对于②：，
若，那么，那么可得，
但，即不成立，不合题意；
若，那么，那么可得，
但，即不成立，不合题意；
若，那么，那么可得，
但，即不成立，不合题意；
若，那么，那么可得，
即，解得；
若，那么，，即成立，符合题意；
若，根据图象可知，
可得，即不成立，不合题意；
综上所述：的解集为，．