上海市静安区市北中学2024-2025学年高二（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份上海市静安区市北中学2024-2025学年高二（下）期中数学试卷（含解析），共20页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.袋中装有6个白球，5个黄球，4个红球，从中任取一球，抽到白球的概率为( )
A. 25B. 415C. 35D. 非以上答案
2.已知函数f(x)和g(x)在区间[a,b]上的图象如图所示，那么下列说法正确的是( )
A. f(x)在a到b之间的平均变化率大于g(x)在a到b之间的平均变化率
B. f(x)在a到b之间的平均变化率小于g(x)在a到b之间的平均变化率
C. 对于任意x0∈(a,b)，函数f(x)在x=x0处的瞬时变化率总大于函数g(x)在x=x0处的瞬时变化率
D. 存在x0∈(a,b)，使得函数f(x)在x=x0处的瞬时变化率小于函数g(x)在x=x0处的瞬时变化率
3.设F1，F2为椭圆C：x25+y2=1的两个焦点，点P在C上，若PF1⋅PF2=0，则|PF1|⋅|PF2|=( )
A. 0B. 1C. 2D. 4
4.对任意实数x，恒有ex−ax−1≥0成立，关于x的方程(x−a)lnx−x−1=0有两根为x1，x2(x10)的一条渐近线，则b= ______．
10.函数f(x)=lnx在点(1,f(1))处的切线方程为______．
11.某校的4名体育教师对足球、篮球、羽毛球3个运动兴趣小组进行指导，要求每项运动至少有一名教师指导，每名教师指导一项运动，则分派方法共有______种.
12.直线y=x+b被曲线y=12x2截得的弦长为4 2，则实数b= ______．
13.若函数f(x)=x3−x2+ax−2在R上单调递增，则实数a的取值范围是______．
14.已知f(x)=−x2+ax,x≤1ax−1,x>1，若函数y=f(x)有两个极值点，则实数a的取值范围是______．
15.已知有相同焦点F1、F2的椭圆和双曲线交于点P，|PO|=|F1F2|，椭圆和双曲线的离心率分别是e1、e2，那么1e12+1e22=______(点O为坐标原点)．
16.某校高一数学兴趣小组一共有30名学生，学号分别为1，2，3，…，30，老师要随机挑选四学生参加某项活动，要求任意两人的学号之差绝对值大于等于5，则有______种不同的选择方法.(用数值作答)
三、解答题：本题共5小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题14分)
已知圆C的圆心在直线2x−y−5=0上，且经过点A(0,3)，B(4,−1)．
(1)求圆C的标准方程；
(2)求过原点且与圆C相切的直线方程．
18.(本小题14分)
已知函数f(x)=2x3−ax2−36x+b在x=−1处取得极值1．
(1)求a，b的值；
(2)求f(x)在[−2,11]上的单调区间和最小值．
19.(本小题14分)
如图是一座抛物线型拱桥横截面的示意图，当水面在l时，拱顶O离水面2m，水面宽4m.那么当水面下降1m后．
(1)水面的宽为多少？
(2)求此时横截面中水面中心A到抛物线上的点距离的最小值．
20.(本小题18分)
已知双曲线C：x2−y23=1，点F1、F2分别为双曲线的左、右焦点，A(x1,y1)、B(x2,y2)为双曲线上的点．
(1)求右焦点F2到双曲线的渐近线的距离；
(2)若AF2=3F2B，求直线AB的方程；
(3)若AF1/​/BF2，其中A、B两点均在x轴上方，且分别位于双曲线的左、右两支，求四边形AF1F2B的面积的取值范围．
21.(本小题18分)
若定义在R上的函数y=f(x)和y=g(x)分别存在导函数f′(x)和g′(x).且对任意x均有f′(x)≥g′(x)，则称函数y=f(x)是函数y=g(x)的“导控函数”.我们将满足方程f′(x)=g′(x)的x0称为“导控点”．
(1)试问函数y=x是否为函数y=sinx的“导控函数”？
(2)若函数y=23x3+8x+1是函数y=13x3+bx2+cx的“导控函数”，且函数y=13x3+bx2+cx是函数y=4x2的“导控函数”，求出所有的“导控点”；
(3)若p(x)=ex+ke−x，函数y=q(x)为偶函数，函数y=p(x)是函数y=q(x)的“导控函数”，求证：“k=1”的充要条件是“存在常数c使得p(x)−q(x)=c恒成立”．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了古典概型，属于基础题．
任取一球总共有6+5+4=15种情况，其中是白球有6种情况．利用概率公式进行求解．
如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P(A)=mn．
【解答】
解：袋中装有15个球，从中任取1球有15种取法，
记“抽到的是白球”即为事件A，则P(A)=615=25
故选：A
2.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了导数的概念及其应用问题，属于基础题.解题时应结合平均变化率与瞬时变化率以及导数的几何意义，判定每一个选项是否正确．
由函数在某一区间上的平均变化率的定义，可以判定选项A、B错误；由函数在某一点处的瞬时变化率是函数在该点处的导数，即函数在该点处的切线的斜率，可以判定选项C错误，D正确．
【解答】
解：对于A、B，∵f(x)在a到b之间的平均变化率是f(b)−f(a)b−a，
g(x)在a到b之间的平均变化率是g(b)−g(a)b−a，
∴f(b)−f(a)b−a=g(b)−g(a)b−a，即二者相等；
∴选项A、B错误；
对于C、D，∵函数f(x)在x=x0处的瞬时变化率是函数f(x)在x=x0处的导数，即函数f(x)在该点处的切线的斜率，同理函数g(x)在x=x0处的瞬时变化率是函数g(x)在x=x0处的导数，即函数g(x)在x=x0处的切线的斜率，由图形知，选项C错误，D正确．
故选：D．
3.【答案】C
【解析】解：已知F1，F2为椭圆C：x25+y2=1的两个焦点，点P在C上，
则|PF1|+|PF2|=2 5，
又PF1⋅PF2=0，
则PF1⊥PF2，
则|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=16，
则2|PF1|⋅|PF2|=(|PF1|+|PF2|)2−(|PF1|2+|PF2|2)=20−16=4，
即|PF1|⋅|PF2|=2．
故选：C．
由椭圆的定义，结合勾股定理求解．
本题考查了椭圆的定义，重点考查了勾股定理，属基础题．
4.【答案】B
【解析】解：y=ex，y=ax+1恒过(0,1)，y=ex在x=0处的切线的斜率为1，
对任意实数x，恒有ex−ax−1≥0成立，可得a=1，
关于x的方程(x−a)lnx−x−1=0转化为lnx=x+1x−1，
若x1满足lnx1=x1+1x1−1，
则有ln1x1=1x1+11x1−1结合原方程有两根为x1，x2(x10，解得b>−12，且x1+x2=2，x1x2=−2b，
由弦长公式，可得|AB|= 1+12|x1−x2|= 2⋅ 22−4(−2b)=4 2，
解得b=32，
所以实数b的值为32．
故答案为：32．
联立方程组，结合韦达定理和曲线的弦长公式求解即可．
本题考查了弦长公式和直线与抛物线的综合，考查了转化思想，属中档题．
13.【答案】[13,+∞)
【解析】解：因为函数f(x)=x3−x2+ax−2在R上单调递增，
所以f′(x)=3x2−2x+a≥0在R上恒成立，则Δ=4−12a≤0，得a≥13，
此时f(x)=x3−x2+ax−2在R上单调递增．
故答案为：[13,+∞)．
根据已知得出f′(x)=3x2−2x+a≥0在R上恒成立，结合根的判别式求解．
本题考查导数的综合应用，属于简单题．
14.【答案】(0,2)
【解析】解：∵二次函数g(x)=−x2+ax开口向下，x=−a2×(−1)=a2是g(x)极大值，
一次函数h(x)=ax−1，当a≠0时，函数h(x)时单调函数，没有极值点，
要想函数y=f(x)有两个极值点，则这两个极值点为x=a2和x=1，
又∵函数g(x)在(a2,1)上单调递减，∴h(x)在(1,+∞)上递增，
∴a20−1+a≤a−1，
∴a∈(0,2)．
故答案为：(0,2)．
分段函数的单调性，由题意得到对应结论，然后建立不等式组，求得实数a的取值范围．
本题考查导数的应用，属于中档题．
15.【答案】5
【解析】解：由题意设焦距为2c，椭圆的长轴长2a，双曲线的实轴长为2m，不妨令P在双曲线的右支上，P(s,t)，m+n=2a1，m−n=2a2，可得m=a1+a2，n=a1−a2，
|PF1|2=(s+c)2+t2=m2=(a1+a2)2，①
|PF2|2=(s−c)2+t2=n2=(a1−a2)2，②
由|PO|2=s2+t2=4c2
由椭圆的定义|PF1|+|PF2|=2a 又|PO|=|F1F2|，s2+t2=4c2，
故|PF1|2+|PF2|2=4c2
①+②得2s2+2t2+2c2=2a12+2a22，
可得10c2=2a12+2a22
可得1e12+1e22=5
故答案为：5．
由题设中的条件，设焦距为2c，椭圆的长轴长2a，双曲线的实轴长为2m，根据椭圆和双曲线的性质以及勾弦定理建立方程，联立可得m，a，c的等式，整理即可得到结论．
本题考查圆锥曲线的共同特征，考查通过椭圆与双曲线的定义焦点三角形中用勾弦定理建立三个方程联立求椭圆离心率e1与双曲线心率e2满足的关系式，解决本题的关键是根据所得出的条件灵活变形，凑出两曲线离心率所满足的方程来．
16.【答案】3060
【解析】解：设选出的四位学生学号分别为a，b，c，d，不妨设a