2025-2026学年上海市宝山区通河中学高一（上）期中数学试卷（含解析）

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1、考生须诚信考试,遵守考场规则和考试纪律，并自觉服从监考教师和其他考试工作人员
管理；
2、监考教师发卷后，在试卷指定的地方填写本人准考证号、姓名等信息；考试中途考生不准以任何理由离开考场；
3、考生答卷用笔必须使用同一规格同一颜色的笔作答(作图可使用铅笔) ，不准用规定以外的笔答卷，不准在答卷上作任何标记。考生书写在答题卡规定区域外的答案无效。
4、考试开始信号发出后,考生方可开始作答。
一、填空题（共12题，满分42分，其中1-6题每题3分，7-12题每题4分）.
1．已知全集，1，，集合，则 ．
2．将化成有理数指数幂的形式 ．
3．用反证法证明：若“且”，则“且”，第一步应假设 ．
4．已知，则 ．
5．已知幂函数的图象过点，则实数 ．
6．“”是“一元二次方程有实数解”的 条件．
7．（4分）若、是方程的两根，则 ．
8．（4分）若对任意实数恒成立，则实数的取值范围是 ．
9．（4分）若不等式的解集为，，，则不等式的解集为 ．
10．（4分）对任意给定的实数，有，且等号当且仅当实数的取值范围为 时成立．
11．（4分）已知集合，2，，且满足：“若，则”，则满足条件的集合的个数为 ．
12．（4分）（文对任意实数，符号表示的整数部分，即是不超过的最大整数，在实数轴（箭头向右）上是在点左侧的第一个整数点，当是整数时就是．这个函数叫做“取整函数”，它在生产实践中有广泛的应用．那么 ．
二、选择题（本大题共有4题，满分12分，每题3分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题卷的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑。
13．已知且，则下列不等式正确的是
A．B．C．D．
14．设，，则的值是
A．B．C．D．
15．下列函数中：
①；
②；
③；
④．
其中图像不经过原点的函数的个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
16．若，且，则的最大值为
A．2B．C．4D．8
三、解答题（本大题共有5题，满分46分）解答下列各题必须在答题卷的相应位置写出必要的步骤。
17．（8分）已知集合，，，，，，若，求实数的值及．
18．（8分）（1）已知，，，，，求证：；
（2）已知实数，比较与的值的大小．
19．（8分）已知关于的不等式的解集为，不等式的解集为．
（1）若，求；
（2）若，求正数的取值范围．
20．（10分）如图所示，刘邦文化节期间，沛县文旅在大风歌广场搭建三块完全相同的矩形沛县传统文化展台，在三块展台四周（斜线部分）铺设观赏通道已知观赏通道宽度相同，三块展台面积均为150平方米．
（1）若矩形沛县地方特产展台的长比宽至少多5米，求展台宽的取值范围；
（2）若矩形沛县传统文化展台四周及中间观赏通道的宽度均为2米，在（1）的条件下，求矩形沛县传统文化展台宽为多少时，整个展示区域（展示区域包含三块展台和四周（斜线部分）观赏通道）面积最小，并求其最小值．
21．（12分）法国数学家佛朗索瓦韦达，在欧洲被尊称为“现代数学之父”，他最重要的贡献是对代数学的推进，他最早系统地引入代数符号，推进了方程论的发展，由于其最早发现代数方程的跟与系数之间的关系，因此，人们把这个关系称为韦达定理．韦达定理有着广泛的应用，是高中阶段非常重要的知识内容，为了致敬前辈数学家，请同学们利用韦达定理完成以下问题．
（1）关于的方程的一个实数根为2，求另一实数根及实数的值；
（2）关于的方程有两个实数根、，若，求实数的值；
（3）已知集合，，有且仅有3个元素，这3个元素恰为直角三角形的三条边长，求，的值．
参考答案
一、填空题（共有12题，满分42分，其中1-6题每题3分，7-12题每题4分）
1．已知全集，1，，集合，则 ， ．
解：由于全集，1，，集合，
根据集合补集运算可得，．
故答案为：，．
2．将化成有理数指数幂的形式 ．
解：．
故答案为：．
3．用反证法证明：若“且”，则“且”，第一步应假设 或 ．
解：若“且”，则“且”，第一步应假设：或．
故答案为：或．
4．已知，则 ．
解：因为，
所以，
故答案为：．
5．已知幂函数的图象过点，则实数 ．
解：幂函数的图象过点，
则，解得．
故答案为：．
6．“”是“一元二次方程有实数解”的 必要不充分 条件．
解：若一元二次方程有实数解，
则△，解得：，
故是的必要不充分条件，
故答案为：必要不充分．
7．（4分）若、是方程的两根，则 ．
解：和是方程的两个实数根，
，，
．
故答案为：．
8．（4分）若对任意实数恒成立，则实数的取值范围是， ．
解：对任意实数恒成立，
若，则，满足题意；
若，而不等式对任意实数恒成立，
所以，
综上：．
故答案为：，．
9．（4分）若不等式的解集为，，，则不等式的解集为 ， ．
解：因为不等式的解集为，，，
所以，解得，
则不等式即为，
解得，
故的解集为，．
故答案为：，．
10．（4分）对任意给定的实数，有，且等号当且仅当实数的取值范围为 时成立．
解：依题意，，
由绝对值不等式的取等条件可得，当，即或时等号成立．
故答案为：．
11．（4分）已知集合，2，，且满足：“若，则”，则满足条件的集合的个数为 4 ．
解：由集合，2，，可得的可能情况有：
，，，，，，，，，，，2，，
其中，满足“若，则”的集合有：，，，，，
故满足条件的集合的个数为4．
故答案为：4．
12．（4分）（文对任意实数，符号表示的整数部分，即是不超过的最大整数，在实数轴（箭头向右）上是在点左侧的第一个整数点，当是整数时就是．这个函数叫做“取整函数”，它在生产实践中有广泛的应用．那么 3595 ．
解：根据题意可得，有1个0，，有2个1，，有4个2
，有8个3，
所以，
令
所以，
．
．
故答案为：3595．
二、选择题（本大题共有4题，满分12分，每题3分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题卷的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑。
13．已知且，则下列不等式正确的是
A．B．C．D．
解：因为，取，，则，故错误；
因为且，取，则，故错误；
若，则，故错误；
因为且，所以，所以，故正确．
故选：．
14．设，，则的值是
A．B．C．D．
解：由，，
得．
故选：．
15．下列函数中：
①；
②；
③；
④．
其中图像不经过原点的函数的个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
解：的图象过原点，，在处没定义，不过原点，
的图象经过原点．
故选：．
16．若，且，则的最大值为
A．2B．C．4D．8
解：若，，可得，
所以，当且仅当时等号成立，
取，，
得，
所以，则，当且仅当，时等号成立，
所以的最大值为8．
故选：．
三、解答题（本大题共有5题，满分46分）解答下列各题必须在答题卷的相应位置写出必要的步骤。
17．（8分）已知集合，，，，，，若，求实数的值及．
解：，，，，，，且，中，
或，
解得：或，
①当时，，1，，，，，不满足题意舍去；
②当时，，0，，，，，满足题意，
综上所述：实数的值为，，，0，1，．
18．（8分）（1）已知，，，，，求证：；
（2）已知实数，比较与的值的大小．
解：（1）证明：因为，，，
则，
当且仅当，即，时，等号成立；
（2）因为，
因为，则，，当且仅当时，等号成立，
可得，即，
所以，当且仅当时，等号成立．
19．（8分）已知关于的不等式的解集为，不等式的解集为．
（1）若，求；
（2）若，求正数的取值范围．
解：（1）根据题意，若，则有且，
解可得，
即不等式的解集为，，即，；
（2），
则；
且，
又由，
，即，；
若，则，
必有，
即的取值范围是，．
20．（10分）如图所示，刘邦文化节期间，沛县文旅在大风歌广场搭建三块完全相同的矩形沛县传统文化展台，在三块展台四周（斜线部分）铺设观赏通道已知观赏通道宽度相同，三块展台面积均为150平方米．
（1）若矩形沛县地方特产展台的长比宽至少多5米，求展台宽的取值范围；
（2）若矩形沛县传统文化展台四周及中间观赏通道的宽度均为2米，在（1）的条件下，求矩形沛县传统文化展台宽为多少时，整个展示区域（展示区域包含三块展台和四周（斜线部分）观赏通道）面积最小，并求其最小值．
解：（1）设矩形展台的宽为米，以为展台的面积为150平方米，
则长为米，
依题意，即，
即，即，
所以矩形展台宽的取值范围是，；
（2）整个展示区域的宽为米，长为米，
所以整个展台的面积为：，
当且仅当，即时等号成立．
所以矩形展台宽为10米时，整个展示区域的面积最小，最小值是722平方米．
21．（12分）法国数学家佛朗索瓦韦达，在欧洲被尊称为“现代数学之父”，他最重要的贡献是对代数学的推进，他最早系统地引入代数符号，推进了方程论的发展，由于其最早发现代数方程的跟与系数之间的关系，因此，人们把这个关系称为韦达定理．韦达定理有着广泛的应用，是高中阶段非常重要的知识内容，为了致敬前辈数学家，请同学们利用韦达定理完成以下问题．
（1）关于的方程的一个实数根为2，求另一实数根及实数的值；
（2）关于的方程有两个实数根、，若，求实数的值；
（3）已知集合，，有且仅有3个元素，这3个元素恰为直角三角形的三条边长，求，的值．
解：（1）设另外一个根为，由韦达定理得，，
解得，．
（2）方程有两个实数根、，
由韦达定理得，
故，
代入得，解得或，
由得，故，
（3）由题意可知：函数与的图象恰好有3个交点，
即方程有两个实数根、，不妨设且满足，关于对称轴对称，
第三个根，，时，，①
故，，②
由勾股定理得，进而得，
由于，所以，进而得，将其代入①②可得，
由于，所以，则．