2025-2026学年上海八中高一（上）期中数学试卷（含解析）

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1、考生须诚信考试,遵守考场规则和考试纪律，并自觉服从监考教师和其他考试工作人员
管理；
2、监考教师发卷后，在试卷指定的地方填写本人准考证号、姓名等信息；考试中途考生不准以任何理由离开考场；
3、考生答卷用笔必须使用同一规格同一颜色的笔作答(作图可使用铅笔) ，不准用规定以外的笔答卷，不准在答卷上作任何标记。考生书写在答题卡规定区域外的答案无效。
4、考试开始信号发出后,考生方可开始作答。
一、填空题（每题3分）
1．设全集，2，3，，集合，，则 ．
2．已知等式恒成立，则 ．
3．已知，，则 ．
4．若幂函数的图像经过点，则其表达式为 ．
5．“”是“、是方程的两根”的 条件．
6．当时，求的最小值为 ．
7．若代数式有意义，则其中实数的取值范围是 ．
8．满足条件，，，，，的集合的个数是 ．
9．已知集合，，若集合有3个真子集，则实数的取值范围为 ．
10．若不等式的解集为，则实数的取值范围是 ．
11．若集合有且仅有两个子集，则实数的取值集合为 ．
12．由无理数论引发的数字危机一直延续到19世纪，直到1872年，德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数（史称戴德金分割），并把实数理论建立在严格的科学基础上，才结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机，所谓戴德金分割，是指将有理数集划分为两个非空的子集与，且满足，，中的每一个元素都小于中的每一个元素，则称为戴德金分割．试判断，对于任一戴德金分割，下列选项中，可能成立的是 ．
①没有最大元素，有一个最小元素；②没有最大元素，也没有最小元素；③有一个最大元素，有一个最小元素；④有一个最大元素，没有最小元素．
二、选择题（每题3分）
13．下列命题中错误的是
A．若，，则B．若，则
C．若，则D．若，，则
14．对于集合和，令，，，若，，，，则
A．整数集B．C．D．，
15．下列运算中正确的是
A．B．
C．D．
16．假设在某次交通事故中，测得肇事汽车的刹车距离大于，肇事汽车在该路段的限速为．根据经验，在该路段的刹车距离（单位：与刹车前的速度（单位：之间的关系为，下面的表格记录了三次实验的数据：
对于以下两个结论：
①若该肇事汽车刹车前的速度为，则的最小正整数的值为；
②可以断定，该肇事汽车在刹车前是超速行驶．
其中正确的是
A．①成立，②成立B．①成立，②不成立
C．①不成立，②成立D．①不成立，②不成立
三、解答题（8+8+10+10+16）
17．（8分）已知集合，，全集为．
（1）求集合和；
（2）求阴影部分表示的集合．
18．（8分）已知幂函数在上为严格减函数．
（1）求实数的值；
（2）若，求实数的取值范围．
19．（10分）迎进博会，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左、中、右三个矩形栏目，这三栏的面积之和为，四周空白的宽度为，栏与栏之间的中缝空白的宽度为．
（1）试用栏目高与宽表示整个矩形广告面积；
（2）怎样确定矩形栏目高与宽的尺寸，能使整个矩形广告面积最小，并求最小值．
20．（10分）已知函数．
（1）当时，恒成立，求实数的取值范围；
（2）当，时，恒成立，求实数的取值范围．
21．（16分）设是实数集的非空子集且至少有两个元素，称集合，且为集合的生成集．
（1）当，3，时，写出集合的生成集；
（2）若是由5个正实数构成的集合，求其生成集中元素个数的最小值；
（3）用反证法证明：不存在4个正实数构成的集合，使其生成集，3，5，6，10，．
参考答案
一、填空题（每题3分）
1．设全集，2，3，，集合，，则 ， ．
解：因为集合，，全集，2，3，，
则．
故答案为：，．
2．已知等式恒成立，则 6 ．
解：因为恒成立，
所以恒成立，
则，解得，故．
故答案为：6．
3．已知，，则 72 ．
解：因为，，
则，
所以．
故答案为：72．
4．若幂函数的图像经过点，则其表达式为 ．
解：设幂函数为，
幂函数的图像经过点，则，解得，
故．
故答案为：．
5．“”是“、是方程的两根”的 必要且不充分 条件．
解：若，则可能、，不满足、是方程的两根；
反之，若、是方程的两根，则、，可得成立．
综上所述，“”是“、是方程的两根”的必要且不充分条件．
故答案为：必要且不充分．
6．当时，求的最小值为 10 ．
解：当时，，
当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为10．
故答案为：10．
7．若代数式有意义，则其中实数的取值范围是 ，， ．
解：若代数式有意义，则需满足，
即，或，
则的取值范围是，，．
故答案为：，，．
8．满足条件，，，，，的集合的个数是 7 ．
解：由题意，集合可以是，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共7个．
故答案为：7．
9．已知集合，，若集合有3个真子集，则实数的取值范围为 ．
解：由集合，有3个真子集，
得中有2个元素，可得，，
所以，解得．
故答案为：．
10．若不等式的解集为，则实数的取值范围是 ．
解：设，
则函数的最大值为1，
所以不等式的解集为时，实数的取值范围是．
故答案为：．
11．若集合有且仅有两个子集，则实数的取值集合为， ．
解：因为集合有且仅有两个子集，
所以集合有1个元素，
即方程有1个解，
即方程有1个解，
所以方程有1个解，
所以或，
解得或，
实数的取值集合为，．
故答案为：，．
12．由无理数论引发的数字危机一直延续到19世纪，直到1872年，德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数（史称戴德金分割），并把实数理论建立在严格的科学基础上，才结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机，所谓戴德金分割，是指将有理数集划分为两个非空的子集与，且满足，，中的每一个元素都小于中的每一个元素，则称为戴德金分割．试判断，对于任一戴德金分割，下列选项中，可能成立的是 ①②④ ．
①没有最大元素，有一个最小元素；②没有最大元素，也没有最小元素；③有一个最大元素，有一个最小元素；④有一个最大元素，没有最小元素．
解：若，，
则没有最大元素，有一个最小元素0，故①可能成立；
若，；
则没有最大元素，也没有最小元素，
故②可能成立；
若，；
有一个最大元素，没有最小元素，
故④可能成立；
有一个最大元素，有一个最小元素不可能，
因为这样就有一个有理数不存在和两个集合中，与和的并集是所有的有理数矛盾，
故③不可能成立．
故答案为：①②④．
二、选择题（每题3分）
13．下列命题中错误的是
A．若，，则B．若，则
C．若，则D．若，，则
解：．因为，所以，因为，所以，正确；
．因为，所以，所以，正确；
．，时，满足，得不出，错误；
．因为，，所以，所以，正确．
故选：．
14．对于集合和，令，，，若，，，，则
A．整数集B．C．D．，
解：由题意可知，若，，，，
任取，，
则，，
所以，其中，即表示所有奇函数组成的集合，
所以．
故选：．
15．下列运算中正确的是
A．B．
C．D．
解：：因为，所以，故错误，
：因为，所以，则，故错误，
：因为，故正确，
：因为，故错误，
故选：．
16．假设在某次交通事故中，测得肇事汽车的刹车距离大于，肇事汽车在该路段的限速为．根据经验，在该路段的刹车距离（单位：与刹车前的速度（单位：之间的关系为，下面的表格记录了三次实验的数据：
对于以下两个结论：
①若该肇事汽车刹车前的速度为，则的最小正整数的值为；
②可以断定，该肇事汽车在刹车前是超速行驶．
其中正确的是
A．①成立，②成立B．①成立，②不成立
C．①不成立，②成立D．①不成立，②不成立
解：由题意可得，
则，
即，易知该函数在上单调递增，
又，，，
若该肇事汽车刹车前的速度为，则的最小正整数的值为，①不成立；
又的最小正整数的值为，
可以断定，该肇事汽车在刹车前是超速行驶，②成立．
故选：．
三、解答题（8+8+10+10+16）
17．（8分）已知集合，，全集为．
（1）求集合和；
（2）求阴影部分表示的集合．
解：（1）由，得，解得，
所以，
由，得，解得，
所以；
（2）由图可知阴影部分表示的集合为，
因为，所以，
所以阴影部分表示的集合为．
18．（8分）已知幂函数在上为严格减函数．
（1）求实数的值；
（2）若，求实数的取值范围．
解：（1）因为函数是幂函数，
所以，得或，
因为幂函数在上为严格减函数，所以不符合题意，
所以．
（2）由（1）可得，
设函数，
因为函数在，上严格单调递减，
所以或或，得或．
所以实数的取值范围是．
19．（10分）迎进博会，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左、中、右三个矩形栏目，这三栏的面积之和为，四周空白的宽度为，栏与栏之间的中缝空白的宽度为．
（1）试用栏目高与宽表示整个矩形广告面积；
（2）怎样确定矩形栏目高与宽的尺寸，能使整个矩形广告面积最小，并求最小值．
解：（1）设矩形栏目的高为，宽为，则，
广告的高为，宽为（其中，，
广告的面积；
（2），
当且仅当，即时，取等号，此时．
故当广告矩形栏目的高为，宽为时，可使广告的面积最小．
20．（10分）已知函数．
（1）当时，恒成立，求实数的取值范围；
（2）当，时，恒成立，求实数的取值范围．
解：（1），即，
要使时，恒成立，则有△，
即，解得，
即的取值范围是，．
（2）当，时，设，分以下三种情况讨论：
①当，即时，在，上单调递增，
在，上的最小值为，
因此无解；
②当，即时，在，上单调递减，
在，上的最小值为（2），
因此解得；
③当，即时，在，上的最小值为，
因此解得．
综上所述，，即实数的取值范围是，．
21．（16分）设是实数集的非空子集且至少有两个元素，称集合，且为集合的生成集．
（1）当，3，时，写出集合的生成集；
（2）若是由5个正实数构成的集合，求其生成集中元素个数的最小值；
（3）用反证法证明：不存在4个正实数构成的集合，使其生成集，3，5，6，10，．
解：（1），3，，，，，
由生成集的定义可得，10，．
（2）设，，，，，不妨设．
，
集合中元素个数大于等于7，
若，2，4，8，时，集合，4，8，16，32，64，，且中元素个数为7，
生成集中元素个数的最小值为7．
（3）证明：假设存在4个正实数构成的集合，，，，使其生成集，3，5，6，10，，
不妨设，则集合的生成集，，，，，，
则必有，，此时，也有，，此时，
矛盾，假设不成立，故不存在4个正实数构成的集合，使其生成集，3，5，6，10，．
（单位：
5
10
20
（单位：
1.2025
2.725
6.73
（单位：
5
10
20
（单位：
1.2025
2.725
6.73