2025--2026学年黑龙江省哈尔滨市第三中学校高一下册期中数学试题 [含解析]

这是一份2025--2026学年黑龙江省哈尔滨市第三中学校高一下册期中数学试题 [含解析]，共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设复数，是的共轭复数，则复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
2. 向量，的夹角为，并且，是单位向量，向量满足，那么向量与的夹角为（ ）
A. B. C. D.
3. 已知，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
4. 已知，为两条不同的直线，，为两个不同的平面，那么下列结论正确的是（ ）
A. 若，，且，则与为异面直线
B. 若，，且，则
C. 若，，且，则与为异面直线
D. 若，，且，则
5. 如图，是底部不可到达的一座建筑，是建筑的最高点.测量建筑高度时选择了一条水平基线，使，，在同一条直线上，在，两点用测角仪器测得的仰角分别是，，，测角仪器的高是.那么测得建筑的高度为（ ）
A. B. C. D.
6. 在中，，，，点为的中点，为上的点，并且，则的值为（ ）
A. B. C. D.
7. 正三棱柱的底面边长为，高为，为上的点，，平面将该棱柱截成两个几何体，那么小的几何体与大的几何体的体积比值为（ ）
A. B. C. D.
8. 在中，三个内角分别为，，，所对的三边长分别为，，，若，并且，则（ ）
A. B. C. D.
二、多选题：共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知复数，，，是的共轭复数，则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. D. 若，则的最大值为6
10. 已知一个圆锥的底面半径为1，高为2，则下列对该圆锥的表述正确的是（ ）
A. 侧面积为
B. 过两条母线的截面面积的最大值为2
C. 圆锥的内切球半径为
D. 设是圆锥的底面圆直径，是底面圆周上一点，若，则与所成角的余弦值为
11. 已知点在所在的平面内，则下列命题正确的是（ ）
A. 设，若是的重心，则
B. 若，则的面积与的面积之比为
C. 若是的内心，满足，则的值为
D. 若且，则
第Ⅱ卷（非选择题，共92分）
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.将答案填在答题卡相应的位置上.
12. 已知是关于的方程的一个根，其中，为实数，则________.
13. 若底面边长为，高为的正三棱柱所有顶点都在球的表面上，则球的表面积为________.
14. 的内角，，所对的边分别为，，，其面积为，若点满足，且，则S11a2+13c2sinA的最大值为________．
四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 如图，在正方体中，是底面的中心，点是的中点.
（1）求证：平面；
（2）求异面直线与所成角的余弦值.
16. 已知向量，b→=x,1x，.
（1）若，求a→+c→·b→−c→；
（2）设fx=a→+b→，，求函数的值域.
17. 如图，在四棱锥中，底面为菱形，，，，为的中点.
（1）求证：平面；
（2）求四棱锥的体积.
18. 在中，内角，，所对的边分别为，，，且.
（1）求的大小；
（2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围；
（3）若为边上一点（不包含端点），且满足，求的取值范围.
19. 若点是直线外一点，点，在线段上（，异于，），我们则称以下操作：P,Q;M=OPsin∠POMOQsin∠MOQ为“由点对施以张角运算”；并且，记.如图，四个有序点，，，，由点对施以张角运算，得A,D;B=1 .
（1）在，上分别取点，（异于端点），连交于点，证明：为的中点，且；
（2）已知A,D;C,B=3 ，.
①若，求的最大值；
②若，，求的值.
数学
第Ⅰ卷（选择题，共58分）
一、单选题：共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设复数，是的共轭复数，则复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
答案：A
解析：
思路：直接由共轭复数的定义及复数的几何意义可得.
解答过程：因为复数，是的共轭复数，所以，
所以复平面内对应的点为，位于第一象限.
2. 向量，的夹角为，并且，是单位向量，向量满足，那么向量与的夹角为（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
思路：先由数量积的定义可得，进而可得a⋅c=12,c=1 ，再由数量积直接计算夹角可得.
解答过程：因为向量，的夹角为，并且，是单位向量，所以a⋅b=abcsπ3=1×1×12=12，
所以a⋅c=aa−b=a2−a⋅b=12−12=12，
且c⃗=a⃗−b⃗2=a⃗2−2a⃗⋅b⃗+b⃗2=1−2×12+1=1 ，
所以csa,c=a⋅cac=121×1=12，且，所以.
所以向量与的夹角为.
3. 已知，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
思路：直接由数量积的几何意义求投影向量可得.
解答过程：因为，，所以AB=−32+−42=5 ，
且AB⋅a=−3,−4⋅1,1=−3×1−4×1=−7 ，
所以向量在向量上的投影向量为AB⋅aAB2⋅AB=−752−3,−4=2125,2825.
4. 已知，为两条不同的直线，，为两个不同的平面，那么下列结论正确的是（ ）
A. 若，，且，则与为异面直线
B. 若，，且，则
C. 若，，且，则与为异面直线
D. 若，，且，则
答案：B
解析：
思路：利用空间中线线、线面、面面间的位置关系依次判断即可．
解答过程：对于A，若，，且，
则与为异面直线或平行直线或相交直线，故A错误；
对于B，若，，且，
则，，故B正确；
对于C，若，，且，则与可能为相交直线，如下图所示：

所以若，，且，则与为异面直线为假命题，故C错误；
对于D，若，，且，则与可能相交，如下图所示：

也可能为异面直线，
所以若，，且，则为假命题，故D错误.
5. 如图，是底部不可到达的一座建筑，是建筑的最高点.测量建筑高度时选择了一条水平基线，使，，在同一条直线上，在，两点用测角仪器测得的仰角分别是，，，测角仪器的高是.那么测得建筑的高度为（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
思路：在中，利用正弦定理求出，再解求出，即可得解.
解答过程：在中，，
由正弦定理得，
所以，
，
在中，，
所以，
即此建筑物的高度是.
6. 在中，，，，点为的中点，为上的点，并且，则的值为（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：
思路：由共线可得，再由数量积的定义可得.
解答过程：因为点为的中点，所以，

由，且共线，
所以，，
AM⋅AC=14AB+38AC⋅AC=14AB⋅AC+38AC⋅AC.
7. 正三棱柱的底面边长为，高为，为上的点，，平面将该棱柱截成两个几何体，那么小的几何体与大的几何体的体积比值为（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
思路：先确定平面截棱柱的截面位置及截成的几何体的形状，一个三棱台和一个五面体，再分别计算三棱台的体积和三棱柱的体积，进而可得体积比值.
解答过程：如图：设平面与棱交于点，
由棱柱的性质知，平面，平面，
所以平面，且平面，平面平面，
所以，因此，所以几何体是三棱台，
，
VABC−EB1F=13×2×934+34+934×34，
，，
所以，小的几何体与大的几何体的体积比值为.
8. 在中，三个内角分别为，，，所对的三边长分别为，，，若，并且，则（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：
思路：题目考查解三角形的综合应用，重点考查余弦定理，正弦定理，三角恒等变换与三角形内角和定理.解题关键是通过余弦定理的代入运算，利用正弦定理将边的关系转化为角的三角函数关系，再利用三角恒等式化简，得到内角之间的数量关系，进而求出未知角.
解答过程：中，因为，由，，
所以，；
又因为，(为的外接圆的半径)，
，，，得，
又，，，
所以，
两角和的正弦公式，得，，，
中，，当时，所以，.
当时，矛盾，不存在，故选项D正确.
二、多选题：共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知复数，，，是的共轭复数，则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. D. 若，则的最大值为6
答案：AD
解析：
思路：设，，，则，根据复数的运算依次判断ABC，根据复数的几何意义判断D.
解答过程：设，，，则
对于A，，，
所以，故A正确；
对于B，当z1=1,z2=2 时，|z1+z2|=|3|=3 ，|z1|+|z2|=|1|+|2|=3 ，
此时，故B错误；
对于C，，，
故z2=|z|2不一定成立，故C错误；
对于D，表示点在复平面内以为圆心，为半径的圆，
表示点到点的距离，
所以的最大值为，故D正确；
10. 已知一个圆锥的底面半径为1，高为2，则下列对该圆锥的表述正确的是（ ）
A. 侧面积为
B. 过两条母线的截面面积的最大值为2
C. 圆锥的内切球半径为
D. 设是圆锥的底面圆直径，是底面圆周上一点，若，则与所成角的余弦值为
答案：BCD
解析：
思路：由扇形的面积公式计算判断A；根据圆锥的性质计算判断B；设内切球球心为，半径为，过作，根据相似三角形计算判断C；根据异面直线所成角的求法计算判断D.
解答过程：对于A，设圆锥的母线长为，由题意可知，
所以圆锥的侧面积为，故A错误；
对于B，因为过两条母线的截面为等腰三角形，
且，
所以顶角为锐角，故过两条母线的截面面积的最大值为轴截面面积，
其面积为，故B正确；
对于C，设内切球球心为，半径为，过作，
则，，则与相似，
则，即，故C正确；
对于D，过点作交底面圆于，如图所示：
则即为与所成角或其补角，
因为，所以为等腰直角三角形，
所以为弧的中点，为弧的中点，
故，
所以，
所以则与所成角的余弦值为，故D正确.
11. 已知点在所在的平面内，则下列命题正确的是（ ）
A. 设，若是的重心，则
B. 若，则的面积与的面积之比为
C. 若是的内心，满足，则的值为
D. 若且，则
答案：AC
解析：
思路：对于A根据重心定理及三点共线定理可得；对于B，由条件可得与到的距离比，进而可得三角形面积比；对C，先由内心可知，结合条件可得，再由正弦定理可得；对D，由条件可得及，再可得，故D错误.
解答过程：对于A，设是的中点，所以AP=23AD=23×12AB+AC=13AB+13AC，
因为，所以，，故A正确；
对于B，设是的中点，由，得，

所以PE⃗EC⃗=35，所以到的距离与到的距离的比为h1h=35，
所以S△ABCS△APB=12ABh12ABh1=hh1=53≠51，故B错误；
对于C，因为是的内心，所以是的三个内角的角平分线的交点，
设延长交于点，记内切圆半径为.
因为是的平分线，所以BDDC=ABAC=cb，
所以=AB+cc+bAC−AB=bb+cAB+cb+cAC，
同理在，APPD=ABBD，又因为BDDC=cb，所以BD=cb+c⋅a ，
所以APPD=ABBD=ccb+c⋅a=b+ca，因此APAD=b+ca+b+c，
所以=b+ca+b+cbb+cAB+cb+cAC，
所以a+b+cAP=bPB−PA+cPC−PA，即−a+b+cPA=bPB−PA+cPC−PA，
所以，由条件，得，
再由正弦定理可得，故C正确；
对于D，由PA2+BC2=PB2+CA2，得PA2−PB2=CA2−BC2，
PA−PBPA+PB=CA−BCCA+BC，即BAPA+PB=CA+CBCA−CB，
BAPA+PB=BACA+CB，BAPA+PB−CA−CB=0 ，
BAPA+AC+PB+BC=0 ，，即，得.
同理PB2+CA2=PC2+AB2，PB2−PC2=AB2−CA2，
PB−PCPB+PC=AB−CAAB+CA，CBPB+PC=AB+ACAB−AC，
CBPB+PC=CBAB+AC，CBPB+PC−AB−AC=0 ，CBPB+BA+PC+CA=0 ，
CB2PA=0 ，，所以.
又因为，所以ABAP+PC=1 ，，
因为，所以，故D错误.
第Ⅱ卷（非选择题，共92分）
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.将答案填在答题卡相应的位置上.
12. 已知是关于的方程的一个根，其中，为实数，则________.
答案：
解析：
思路：直接由实系数一元二次方程在复数集内的根与系数的关系解得.
解答过程：因为是关于的方程的一个根，且，为实数，
所以也是关于的方程的一个根，
由根与系数的关系可得：−p2=1+2i+1−2i,q2=1+2i1−2i，解得，
所以.
13. 若底面边长为，高为的正三棱柱所有顶点都在球的表面上，则球的表面积为________.
答案：
解析：
思路：先确定球心在上下底面中心的连线的中点处，再由垂径定理可得球半径，进而可得球的表面积.
解答过程：如图：
因为是边长为的正三角形，所以外接圆的直径，
因为正三棱柱所有顶点都在球的表面上，所以球心在上下底面中心连线的中点处，.
所以R=BO=BE2+OE2=22+12=5，球的表面积为.
14. 的内角，，所对的边分别为，，，其面积为，若点满足，且，则的最大值为________．
答案：
解析：
思路：化简，根据余弦定理，，
化简，使用基本不等式求最值，再检验最值可以取到．
解答过程：，．
设，，则．
，即得，
由得，即，
平方得，
即，解得．
由余弦定理，
而，代入所求式：
当且仅当时取等号，此时，可以构成三角形．
四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 如图，在正方体中，是底面的中心，点是的中点.
（1）求证：平面；
（2）求异面直线与所成角的余弦值.
答案：（1）证明见解析
（2）解析：
思路：（1）连接，，由中位线的定义可得，由线面平行的判定定理即可得证；
（2）结合（1）可知或其补角即为所求，在中，设值求解即可.
（1）连接，，
在中，
，分别为，的中点，

又平面，平面，
平面.
（2）由（1）知，
或其补角即为所求，
在Rt△AC1D1中，设，
则，，
所以.
16. 已知向量，，.
（1）若，求；
（2）设，，求函数的值域.
答案：（1）
（2）解析：
思路：(1)利用向量平行的坐标条件求出，代入求解即可
(2)将转化为关于的二次根式，再配方求解最值即可
（1）∵a→=1,−1，b→−c→=x−3,1x+1且 ，
所以， ，解得
∴b→=1,1，，b→−c→=−2,2，∴a→+c→⋅b→−c→=−12 ；
（2） 的值域为.
17. 如图，在四棱锥中，底面为菱形，，，，为的中点.
（1）求证：平面；
（2）求四棱锥的体积.
答案：（1）证明见解析
（2）解析：
思路：（1）由线面垂直的判定定理证明即可；
（2）由线面垂直的判定定理证得四棱锥的高后，再利用四棱锥体积公式计算求解.
（1）因为底面为菱形，，
所以是等边三角形，
又因为是的中点，所以，
又因为，所以.
因为，为中点，所以，
又因为，所以，
又因为，平面，
所以平面.
（2）经计算，，又，
所以，所以，
又因为，，平面，
所以平面，
所以是四棱锥的高，
所以.
18. 在中，内角，，所对的边分别为，，，且.
（1）求的大小；
（2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围；
（3）若为边上一点（不包含端点），且满足，求的取值范围.
答案：（1）
（2） （3）
解析：
思路：（1）利用三角恒等变换及三角形内角和定理求解即可；
（2）求得，利用正弦定理求得，最后利用面积公式求解即可；
（3）设，则，，，在、中，利用正弦定理可得出ADCD=sinπ3−2αsin2α+π3+32，利用换元法、三角恒等变换及三角函数的性质求解即可.
（1）因为2a−ccsB=bcsC ，
所以，
2sinAcsB=sinCcsB+sinBcsC=sinB+C=sin(π−A)=sinA
又因为 所以，所以，
所以
（2）因为，
所以c=4⋅sinCsinA=4⋅sinA+π3sinA=4(12sinA+32csA)sinA=2+23tanA，
因为为锐角三角形，
所以0