第34讲 复数 讲义-2027年高考数学一轮复习（全国I卷地区通用）【含解析】

这是一份第34讲 复数 讲义-2027年高考数学一轮复习（全国I卷地区通用）【含解析】，共14页。
三、典题精讲 PAGEREF _Tc234161763 \h 3
考点一：复数的概念 PAGEREF _Tc234161764 \h 3
考点二：复数的相等与共轭复数 PAGEREF _Tc234161765 \h 5
考点三：复数的运算 PAGEREF _Tc234161766 \h 6
考点四：复数的模 PAGEREF _Tc234161767 \h 9
考点五：复数的几何意义 PAGEREF _Tc234161768 \h 11
考点六：与复数有关的最值问题 PAGEREF _Tc234161769 \h 13
考点七：复数的三角形式 PAGEREF _Tc234161770 \h 15
四、高考真题 PAGEREF _Tc234161771 \h 17
一、考情分析
1. 考查频次与题型
近三年全国一卷对复数知识点的考查频率极高，每年均有一道独立的选择题直接考查.题目多出现在试卷的前段，整体难度较低，属于必拿的基础得分题.
2. 命题角度与特色
（1） 聚焦基本概念与核心运算.真题主要围绕复数的代数形式展开，重点考查四则运算（尤其是除法运算中的分母实数化）、虚部与实部的概念辨析、共轭复数以及模长的计算.
（2） 题型呈现多样化趋势.除了传统的单选题直接计算外，2026年出现了多选题形式，在一道题中综合考查了复数的多个基础概念与性质，对知识掌握的全面性提出了要求.
3. 备考策略
（1） 夯实基础概念.必须清晰界定复数的实部、虚部（注意虚部不含虚数单位）、共轭复数、模长等基本概念，避免概念混淆导致的失分.
（2） 熟练掌握代数运算.高度熟练复数的加、减、乘、除四则运算法则，特别是除法运算中分子分母同乘共轭复数的技巧，确保计算准确无误.
二、知识清单
1. 复数的概念
（1） i叫虚数单位，满足i2=−1，当k∈Z时，i4k=1，i4k+1=i，i4k+2=−1，i4k+3=−i.
（2） 形如a+bi(a,b∈R)的数叫复数，记作a+bi∈C.
① 复数z=a+bi(a,b∈R)与复平面上的点Z(a,b)一一对应，a叫z的实部，b叫z的虚部；b=0⇔z∈R，Z点组成实轴；b≠0，z叫虚数；b≠0且a=0，z叫纯虚数，纯虚数对应点组成虚轴（不包括原点）.两个实部相等，虚部互为相反数的复数互为共轭复数.
② 两个复数a+bi，c+di(a,b,c,d∈R)相等⇔a=cb=d（两复数对应同一点）.
③ 复数的模：复数a+bi(a,b∈R)的模，也就是向量OZ的模，即有向线段OZ的长度，其计算公式为|z|=|a+bi|=a2+b2，显然，|z|=|a−bi|=a2+b2，z⋅z=a2+b2.
2. 复数的加、减、乘、除的运算法则
（1） (a+bi)±(c+di)=(a±c)+(b±d)i.
（2） (a+bi)⋅(c+di)=(ac−bd)+(ad+bc)i.
① (a+bi)⋅(a−bi)=z⋅z=a2+b2=|z|2（注意z2≠|z|2）.
② z+z=2a.
③ 其中|z|=a2+b2，叫z的模；z=a−bi是z=a+bi的共轭复数(a,b∈R).
（3） a+bic+di=(a+bi)⋅(c−di)(c+di)⋅(c−di)=(ac+bd)+(bc−ad)ic2+d2（c2+d2≠0）.
（4） 实数的全部运算律（加法和乘法的交换律、结合律、分配律及整数指数幂运算法则）都适用于复数.
（5） 常用复数运算结论：
① (1+i)2=2i，(1−i)2=−2i.
② 1+i1−i=i，1−i1+i=−i，1i=−i.
③ in+in+1+in+2+in+3=0(n∈Z).
（6） 共轭复数与模的运算性质：
① z1±z2=z1±z2，z1⋅z2=z1⋅z2，z1z2=z1z2(z2≠0).
② |z1z2|=|z1||z2|，z1z2=|z1||z2|(z2≠0)，zn=|z|n(n∈N∗).
③ ||z1|−|z2||≤|z1±z2|≤|z1|+|z2|.
3. 复数的几何意义
（1） 复数z=a+bi(a,b∈R)对应平面内的点Z(a,b).
（2） 复数z=a+bi(a,b∈R)对应平面向量OZ.
（3） 复平面内实轴上的点表示实数，除原点外虚轴上的点表示虚数，各象限内的点都表示复数.
（4） 复数z=a+bi(a,b∈R)的模|z|表示复平面内的点Z(a,b)到原点的距离.
4. 复数的三角形式
（1） 复数的三角表示式：一般地，任何一个复数z=a+bi都可以表示成r(csθ+isinθ)形式，其中r是复数z的模；θ是以x轴的非负半轴为始边，向量OZ所在射线（射线OZ）为终边的角，叫做复数z=a+bi的辐角.r(csθ+isinθ)叫做复数z=a+bi的三角表示式，简称三角形式.
（2） 辐角的主值：任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值，且这些值相差2π的整数倍.规定在0≤θ