2025届高考数学一轮复习教师用书第七章第一节数列的概念讲义（Word附解析）

第七章 数列第一节　数列的概念【必备知识·逐点夯实】【知识梳理·归纳】1.数列的有关概念2.数列的表示法【微点拨】(1)并不是所有的数列都有通项公式;(2)数列的通项公式不唯一;(3)归纳与猜想是研究数列的重要方法.3.数列的分类【微点拨】(1)数列的单调性可以类比数列的通项公式对应的函数解析式在区间(0,+∞)上的单调性;(2)可以把数列函数化,利用函数方法研究数列的单调性.4.数列的前n项和数列{an}的前n项和Sn=a1+a2+a3+…+an-1+an,则an=S1,n=1,Sn-Sn-1,n≥2.【基础小题·自测】1.(多维辨析)(多选题)下列结论不正确的是 (　　)A.数列5,2,0与2,0,5是同一个数列B.根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个C.任何一个数列不是递增数列,就是递减数列D.如果数列{an}的前n项和为Sn,则对∀n∈N*,都有an=Sn-Sn-1【解析】选ACD.A中两个数列项的顺序不同,不是同一个数列;B正确;C中数列可能是常数数列或摆动数列;D中当n=1时,a1=S1-S0无意义.2.(选择性必修第二册P5例2·变形式)数列0,23,45,67,…的一个通项公式为 (　　)A.an=n-1n+1 B.an=n-12n+1C.an=2(n-1)2n-1 D.an=2n2n+1【解析】选C.将0写成01,观察数列中每一项的分子、分母可知,分子为偶数列,可表示为2(n-1),n∈N*;分母为奇数列,可表示为2n-1,n∈N*.3.(选择性必修第二册P6例5·变形式)数列1,3,6,10,15,…的递推公式可以是(　　)A.an+1=an+n,n∈N*B.an=an-1+n,n≥2,n∈N*C.an+1=an+(n+1),n≥2,n∈N* D.an=an-1+(n-1),n∈N*,n≥2【解析】选B.设数列1,3,6,10,15,…为an,则a2-a1=2,a3-a2=3,a4-a3=4,a5-a4=5,…,n=2时,A,D不合题意;而C中不包含a2-a1=2,由此可得数列an满足an-an-1=n,n≥2,n∈N*.4.(选择性必修第二册P4例1·变形式)已知数列{an}满足 an=n(n+1)2,则S3=________. 【解析】数列{an}满足an= n(n+1)2, 可得a1= 1,a2= 3,a3= 6, 所以S3= 1 + 3 + 6 = 10. 答案:10【巧记结论·速算】在数列{an}中,若an最大,则an≥an-1,an≥an+1(n≥2). 若an最小,则an≤an-1,an≤an+1(n≥2).【即时练】已知数列an中,an=n2-5n+4,则数列an的最小项是 (　　)A.第1项 B.第3项、第4项C.第4项 D.第2项、第3项【解析】选D.根据题意,数列an中,an=n2-5n+4,则an+1-an=(n+1)2-5(n+1)+4-n2+5n-4=2n-4,当n<2时,有an+1-an<0,则有a1>a2,当n=2时,有an+1-an=0,则有a2=a3,当n>2时,有an+1-an>0,则有a33-3n对任意n∈N*恒成立,所以k∈(0,+∞).角度2 数列的周期性[例4]已知数列{an}满足an+1=an-an-1(n≥2),a1=m,a2=n,Sn为数列{an}的前n项和,则S2 029的值为 (　　)A.2 029n-m B.n-2 029mC.m D.n【解析】选C.根据题意计算可得a3=n-m,a4=-m,a5=-n,a6=m-n,a7=m,a8=n,…,因此数列{an}是以6为周期的周期数列,且a1+a2+…+a6=0,所以S2 029=S338×6+1=a1=m.【解题技法】关于数列的周期性在求数列的某一项的值,且该项的序号较大时,应该考虑该数列是否具有周期性,一般地,求出数列的前几项,确定周期,然后利用数列的周期性即可求出所求项.【对点训练】已知数列{an}中,a1=12,an+1=1+an1-an,则a2 025= (　　)A.-2 B.12 C.-13 D.3【解析】选B.因为a1=12,所以a2=1+a11-a1=3,a3=1+a21-a2=-2,a4=1+a31-a3=-13,a5=1+a41-a4=12,…,所以数列{an}是周期数列且周期T=4,所以a2 025=a1=12.【课程标准】1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式).2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数.3.能够利用an与Sn的关系求数列的通项公式.4.能根据数列递推关系求数列的项或通项公式.【考情分析】考点考法:高考题常以数列的概念为载体,考查数列项、前n项和及其与通项公式的关系.Sn和an的关系是高考热点,在各种题型中都会有所体现.核心素养:数学抽象、数学运算、逻辑推理.概念含　义数列按照确定的顺序排列的一列数数列的项数列中的每一个数数列的通项数列{an}的第n项an通项公式数列{an}的第n项与序号n之间的关系式前n项和数列{an}中,Sn=a1+a2+…+an列表法列表格表示n与an的对应关系图象法把点(n,an)画在平面直角坐标系中公式法通项公式把数列的通项使用公式表示的方法递推公式使用初始值a1和an与an+1的关系式或a1,a2和an-1,an,an+1的关系式等表示数列的方法函数法an=f(n),n∈N*单调性递增数列∀n∈N*,an+1>an递减数列∀n∈N*,an+1