第33讲 平面向量的数量积及运算 综合测试-2027年高考数学一轮复习（全国I卷地区通用）【含解析】

这是一份第33讲 平面向量的数量积及运算 综合测试-2027年高考数学一轮复习（全国I卷地区通用）【含解析】，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
答案速查表
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.（2025·青岛·一模）已知a=(1,1)，b=(−1,2)，则a在b上的投影向量为（ ）
A. (−15,25) B. (15,25) C. (−55,255) D. (55,255)
【答案】A
【解析】a在b上的投影向量为|a|cs⟨a,b⟩⋅b|b|=a⋅b|b|⋅b|b|=a⋅b|b|2⋅b=−15(1,−2)=(−15,25).
【点拨】本题考查投影向量的坐标运算，熟练掌握投影向量的计算公式是解题关键.
2.（2025·九江·一模）已知向量a,b满足a⋅b=3，且|a|=32，则b在a上的投影向量为（ ）
A. −433a B. 433a C. −2a D. 2a
【答案】B
【解析】由题意得|b|cs⟨a,b⟩=a⋅b|a|=332=2>0，
∴b在a上的投影向量为|b|cs⟨a,b⟩⋅a|a|=2a32=433a.
【点拨】本题考查投影向量的计算，根据投影向量的定义结合已知条件进行求解即可.
3.（2026·佛山·检测）已知非零向量a,b,c满足3a+4b+5c=0,|a|=|b|=|c|，则a⋅b=（ ）
A. −53 B. −1 C. 0 D. 53
【答案】C
【解析】设|a|=|b|=|c|=m(m>0)，根据题意可得3a+4b=−5c，两边平方得(3a+4b)2=25c2，
展开整理得9|a|2+24a⋅b+16|b|2=25|c|2，代入|a|=|b|=|c|=m，
得9m2+24a⋅b+16m2=25m2，即25m2+24a⋅b=25m2，所以a⋅b=0.
【点拨】本题考查平面向量数量积的运算，通过移项平方构造数量积关系是解题的关键.
4.（2026·南通·一模）已知|a|=2，|b|=2，a与b的夹角为π4，则a⋅b=（ ）
A. 22 B. 2 C. 2 D. 3
【答案】A
【解析】由题意得a⋅b=2×2×csπ4=22.
【点拨】本题考查平面向量数量积的计算，直接利用数量积的定义求解即可.
5.（2026·济宁·三模）在平面四边形ABCD中，AB=CD=3，向量AB,DC的夹角为60∘，AE=2ED,BF=2FC，则|EF|=（ ）
A. 1 B. 7 C. 3 D. 4
【答案】B
【解析】EF=EA+AB+BF=−23AD+AB+23BC=−23(AB+BC+CD)+AB+23BC=13AB−23CD，
∴|EF|2=(13AB−23CD)2=19AB2−49AB⋅CD+49CD2=19×9−49×3×3×cs120∘+49×9=1+2+4=7，
∴|EF|=7.
故选：B.
【点拨】本题考查平面向量的线性运算与数量积，利用基底表示目标向量并平方求模是常用的解题策略.
6.（2026·江西三新协同教研共同体·4月训练）如图，在△ABC中，AB=3,AC=2,∠BAC=60∘，D是BC边上靠近点B的三等分点，则AD⋅BC=（ ）
A. −4 B. −113 C. −83 D. −73
【答案】B
【解析】因为D是BC边上靠近点B的三等分点，所以AD=23AB+13AC,BC=AC−AB，
AD⋅BC=(23AB+13AC)⋅(AC−AB)=13AC⋅AB−23AB2+13AC2=13×3×2×12−23×32+13×22=−113.
【点拨】本题考查平面向量基本定理及数量积的运算，选取合适的基底表示向量是解题的关键.
7.（2026·省十教育·最后一卷）不共线的两个单位向量a,b满足|a+b|=2|a⋅b|，若a⟂(ta+b)，则实数t的值为（ ）
A. 12 B. −12 C. 12或−1 D. −12或1
【答案】A
【解析】因为a,b为单位向量，|a+b|=2|a⋅b|，两边平方得2(a⋅b)2−a⋅b−1=0，解得a⋅b=1或a⋅b=−12，当a⋅b=1时，cs⟨a,b⟩=1，所以⟨a,b⟩=0，所以a,b共线，不满足题意；当a⋅b=−12时，由a⟂(ta+b)，得ta2+a⋅b=t−12=0，所以t=12.故选A.
【点拨】本题考查向量模与数量积的关系及向量垂直的充要条件，通过平方转化求出数量积是解题的突破口.
8.（2026·滨州·二模）设a,b,c∈(0,π2)，且a=csa，b=sin(csb)，c=cs(sinc)，则它们的大小关系为（ ）
A. b0且csx>0，
所以ℎ'(x)=−sin(sinx)csx−1