第32讲 平面向量的概念与坐标运算 讲义-2027年高考数学一轮复习（全国I卷地区通用）【含解析】

这是一份第32讲 平面向量的概念与坐标运算 讲义-2027年高考数学一轮复习（全国I卷地区通用）【含解析】，共14页。
三、典题精讲 PAGEREF _Tc233978152 \h 5
考点一：平面向量的基本概念 PAGEREF _Tc233978153 \h 5
考点二：平面向量的线性表示 PAGEREF _Tc233978154 \h 6
考点三：平面向量共线定理的应用 PAGEREF _Tc233978155 \h 9
考点四：平面向量基本定理及应用 PAGEREF _Tc233978156 \h 9
考点五：平面向量的直角坐标运算 PAGEREF _Tc233978157 \h 12
考点六：向量共线的坐标表示 PAGEREF _Tc233978158 \h 14
考点七：平面向量的新定义问题 PAGEREF _Tc233978159 \h 16
四、高考真题 PAGEREF _Tc233978160 \h 17
一、考情分析
1. 考查频次与题型
近三年全国一卷中，平面向量的概念与坐标运算每年均有考查，题型均为单选题，分值为5分。考查内容涵盖了平面向量基本定理、向量的线性运算及其几何意义、向量的坐标运算与垂直条件，属于基础题。
2. 命题角度与特色
（1） 侧重基础与概念：主要考查向量的线性运算、坐标表示以及共线、垂直的充要条件，难度较低。
（2） 注重几何直观与实际情境：如2025年结合帆船比赛的实际情境，考查向量加减法的几何意义及模长计算，强调数学知识的实际应用能力。
3. 备考策略
（1） 熟练掌握平面向量的加减法、数乘运算的几何意义及坐标运算法则，确保基础运算零失误。
（2） 牢记向量共线与垂直的坐标表示公式，能够熟练进行代数与几何的相互转化。
（3） 深刻理解平面向量基本定理，能够利用基底准确表示未知向量，并能结合实际情境构建向量模型解决问题。
二、知识清单
1. 向量的有关概念
（1） 定义：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度（或模）.
（2） 向量的模：向量AB的大小，也就是向量AB的长度，记作|AB|.
（3） 特殊向量：
① 零向量：长度为0的向量，其方向是任意的.
② 单位向量：长度等于1个单位的向量.
③ 平行向量：方向相同或相反的非零向量.平行向量又叫共线向量.规定：0与任一向量平行.
④ 相等向量：长度相等且方向相同的向量.
⑤ 相反向量：长度相等且方向相反的向量.
2. 向量的线性运算和向量共线定理
（1） 向量的线性运算
【易错提醒】
（1） 向量表达式中的零向量写成0，而不能写成0.
（2） 两个向量共线要区别于两条直线共线，两个向量共线满足的条件是：两个向量所在直线平行或重合，而在直线中，两条直线重合与平行是两种不同的关系.
（3） 要注意三角形法则和平行四边形法则适用的条件，运用平行四边形法则时两个向量的起点必须重合，和向量与差向量分别是平行四边形的两条对角线所对应的向量；运用三角形法则时两个向量必须首尾相接，否则就要把向量进行平移，使之符合条件.
（4） 向量加法和减法几何运算应该更广泛、灵活如：OA−OB=BA，AM−AN=NM，OA=OB+CA⇔OA−OB=CA⇔BA−CA=BA+AC=BC.
3. 平面向量基本定理和性质
（1） 共线向量基本定理
如果a=λb（λ∈R)，则a∥b；反之，如果a∥b且b≠0，则一定存在唯一的实数λ，使a=λb.（口诀：数乘即得平行，平行必有数乘）.
（2） 平面向量基本定理
如果e1和e2是同一个平面内的两个不共线向量，那么对于该平面内的任一向量a，都存在唯一的一对实数λ1,λ2，使得a=λ1e1+λ2e2，我们把不共线向量e1,e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记为{e1,e2}，λ1e1+λ2e2叫做向量a关于基底{e1,e2}的分解式.
① 推论1：若a=λ1e1+λ2e2=λ3e1+λ4e2，则λ1=λ3,λ2=λ4.
② 推论2：若a=λ1e1+λ2e2=0，则λ1=λ2=0.
【易错提醒】 由平面向量基本定理可知：只要向量e1与e2不共线，平面内的任一向量a都可以分解成形如a=λ1e1+λ2e2的形式，并且这样的分解是唯一的.λ1e1+λ2e2叫做e1,e2的一个线性组合.平面向量基本定理又叫平面向量分解定理，是平面向量正交分解的理论依据，也是向量的坐标表示的基础.
（3） 线段定比分点的向量表达式
在△ABC中，若点D是边BC上的点，且BD=λDC（λ≠−1)，则向量AD=AB+λAC1+λ.在向量线性表示（运算）有关的问题中，若能熟练利用此结论，往往能有“化腐朽为神奇”之功效，建议熟练掌握.
（4） 三点共线定理
平面内三点A,B,C共线的充要条件是：存在实数λ,μ，使OC=λOA+μOB，其中λ+μ=1，O为平面内一点.此定理在向量问题中经常用到，应熟练掌握.
A,B,C三点共线等价于以下任一条件：
① 存在唯一的实数λ，使得AC=λAB；
② 存在唯一的实数λ，使得OC=OA+λAB；
③ 存在唯一的实数λ，使得OC=（1−λ)OA+λOB；
④ 存在λ+μ=1，使得OC=λOA+μOB.
（5） 中线向量定理
在△ABC中，若点D是边BC的中点，则中线向量AD=12（AB+AC)，反之亦正确.
4. 平面向量的数量积与投影
（1） 向量的夹角：已知两个非零向量a和b，作OA=a，OB=b，则∠AOB=θ（0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角.当θ=0时，两向量同向；当θ=π时，两向量反向；当θ=π2时，两向量垂直，记作a⟂b.
（2） 数量积的定义：已知两个非零向量a和b，它们的夹角为θ，则数量|a||b|csθ叫做a与b的数量积（或内积），记作a⋅b，即a⋅b=|a||b|csθ.规定：零向量与任一向量的数量积为0.
（3） 投影：
① 投影量（数量投影）：|a|csθ叫做向量a在向量b上的投影量，计算公式为|a|csθ=a⋅b|b|.
② 投影向量：向量a在向量b上的投影向量为|a|csθ⋅b|b|=（a⋅b|b|2)b.
（4） 数量积的性质：
① a⋅a=|a|2或|a|=a⋅a.
② 若a,b为非零向量，则a⟂b⇔a⋅b=0.
③ |a⋅b|≤|a||b|（当且仅当a∥b时等号成立）.
（5） 数量积的运算律：
① 交换律：a⋅b=b⋅a.
② 数乘结合律：（λa)⋅b=λ（a⋅b)=a⋅（λb).
③ 分配律：（a+b)⋅c=a⋅c+b⋅c.
5. 平面向量的坐标表示及坐标运算
（1） 平面向量的坐标表示
在平面直角坐标中，分别取与x轴，y轴正半轴方向相同的两个单位向量i,j作为基底，那么由平面向量基本定理可知，对于平面内的一个向量a，有且只有一对实数x,y使a=xi+yj，我们把有序实数对（x,y)叫做向量a的坐标，记作a=（x,y).
（2） 向量的坐标表示和以坐标原点为起点的向量是一一对应的，即有
向量（x,y)⇔ 向量OA⇔ 点A（x,y).
（3） 设a=（x1,y1)，b=（x2,y2)，则a+b=（x1+x2,y1+y2)，a−b=（x1−x2,y1−y2)，即两个向量的和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差.
若a=（x,y)，λ为实数，则λa=（λx,λy)，即实数与向量的积的坐标，等于用该实数乘原来向量的相应坐标.
（4） 设A（x1,y1)，B（x2,y2)，则AB=OB−OA=（x2−x1,y2−y1)，即一个向量的坐标等于该向量的有向线段的终点的坐标减去始点坐标.
6. 平面向量的直角坐标运算
（1） 已知点A（x1,y1)，B（x2,y2)，则AB=（x2−x1,y2−y1)，|AB|=（x2−x1)2+（y2−y1)2.
（2） 已知a=（x1,y1)，b=（x2,y2)，则：
① 线性运算：a±b=（x1±x2,y1±y2)，λa=（λx1,λy1).
② 数量积：a⋅b=x1x2+y1y2.
③ 模长：|a|=x12+y12.
④ 夹角公式：csθ=a⋅b|a||b|=x1x2+y1y2x12+y12x22+y22.
⑤ 共线与垂直的充要条件：
a∥b⇔x1y2−x2y1=0；
a⟂b⇔x1x2+y1y2=0（a,b为非零向量）.
【防坑警示】
（1） 向量的数量积不满足结合律，即（a⋅b)c≠a（b⋅c)，因为前者是与c共线的向量，后者是与a共线的向量.
（2） 由a⋅b=a⋅c且a≠0，不能推出b=c，只能推出a⟂（b−c).
（3） 向量的模满足三角不等式：||a|−|b||≤|a±b|≤|a|+|b|，当且仅当a,b共线时等号成立.
三、典题精讲
考点一：平面向量的基本概念
考法1：辨析平面向量的基本概念
例1.（2026·山东济南·二模）已知a,b为非零向量，则“a+b与a−b共线”是“a与b共线”的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【思路】判断充要条件，需分别证明充分性和必要性.从已知向量共线的定义出发，利用待定系数法进行推导.
【解析】∵向量a,b为非零向量，若a+b与a−b共线，则存在实数λ，使得a+b=λ(a−b)，整理得(1−λ)a+(λ+1)b=0.∵a,b非零，∴1−λ与λ+1不同时为0，∴向量a与b共线.反之，若a与b共线，设a=μb，则a+b=(μ+1)b，a−b=(μ−1)b，显然a+b与a−b共线.∴“a+b与a−b共线”是“a与b共线”的充要条件.
【考点一 方法总结】
1. 证明向量共线的充要条件时，常设a=λb或利用线性组合的系数关系进行推导.
考点二：平面向量的线性表示
考法2：化简向量的线性表达式
例2.（2026·广东深圳·二模）在平行四边形ABCD中，AE=2ED，则BE=
A. −53AB+23AC B. −13AB+23AC
C. 13AB+23AC D. 53AB+23AC
【答案】A
【思路】目标是求BE，已知条件是平行四边形和边上的比例关系.可以利用向量加法的三角形法则，将BE转化为BA+AE，再逐步用基底AB和AC表示.
【解析】∵BE=BA+AE=−AB+23AD=−AB+23(AC+CD)=−AB+23AC+23CD=−AB+23AC−23AB=−53AB+23AC.
【规律】平面向量线性表示的核心是“目标拆解”，利用三角形法则或平行四边形法则，将未知向量向已知基底方向逐步转化.
考法3：利用基底表示目标向量
例3.（2026·江苏南京·二模）已知四边形ABCD为正方形，P为线段AC上一点（不包括端点A，C），则AP=
A. λ(AB+AD)，λ∈(0,1) B. λ(AB+BC)，λ∈(0,2)
C. λ(AB−AD)，λ∈(0,1) D. λ(AB−BC)，λ∈(0,2)
【答案】A
【思路】点P在线段AC上，说明AP与AC同向共线，可设AP=λAC，再结合正方形的性质将AC用边向量表示.
【解析】∵P为线段AC上一点（不包括端点A，C），如图，∴存在λ∈(0,1)，使得AP=λAC=λ(AB+AD).
【规律】点在线段上（不含端点）可转化为向量的数乘关系，系数λ∈(0,1).
考法4：利用向量线性表示求参数
例4.（2025·江西萍乡·一模）在△ABC中，D是BC上一点，满足BD=2DC，M是AD的中点，若BM=λBA+μBC，则λ+μ=
A. 56 B. 78 C. 54 D. 58
【答案】A
【思路】已知BM的基底表示，需要求系数和.可从BM出发，利用中点性质将其转化为BA和BD的线性组合，再利用BD=2DC转化为基底.
【解析】∵BM=12(BA+BD)=12(BA+23BC)=12BA+13BC，则λ=12，μ=13，∴λ+μ=56.
【规律】利用平面向量基本定理求参数，通常从几何图形出发，推导目标向量的基底表示，对比系数即可求解.
例5.（2026·江西九江·二模）在平行四边形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点.若AE=mAB+nAF，则m−n=
A. −34 B. −14 C. 14 D. 34
【答案】C
【思路】目标是求AE关于基底AB和AF的表达式.可先将AE用AB和AD表示，再将AD用AB和AF表示，代入即可.
【解析】∵E是BC的中点，AE=AB+BE=AB+12AD=AB+12(AF+FD).又F是CD的中点，AE=AB+12(AF−12AB)=34AB+12AF，∴m=34，n=12，m−n=14.
【规律】基底转换问题的关键是找到新旧基底之间的线性关系，通过代入消元实现基底的统一.
考法5：利用向量线性运算求模长
例6.（2026·浙江宁波·二模）已知正方形ABCD的边长为1，则|AB+BC−DB|=
A. 0 B. 1 C. 2 D. 2
【答案】D
【思路】要求向量的模，先观察括号内的向量表达式能否化简.利用正方形的性质，将DB转化为AB−BC，化简后再求模长.
【解析】∵在正方形ABCD中DB=DA+AB=AB−BC，∴AB+BC−DB=AB+BC−(AB−BC)=2BC，则|AB+BC−DB|=|2BC|=2.
【规律】求多个向量和差的模长，首选化简向量表达式，将其转化为单个已知模长的向量，再进行计算.
考法6：结合几何性质解决向量综合问题
例7.（2026·福建厦门双十中学·检测）已知点O是△ABC的重心，点P是△ABC所在平面内一点.若OP=x1OA+y1OB，且OP=x2CA+y2CB（x1,x2,y1,y2∈R），则
A. x1=3x2,y1=3y2 B. x2=3x1,y2=3y1
C. x1+y1=3(x2+y2) D. x2+y2=3(x1+y1)
【答案】C
【思路】已知点O是重心，隐含条件为OA+OB+OC=0.将第二个表达式中的CA和CB用OA,OB,OC表示，再消去OC，对比系数.
【解析】∵已知点O是△ABC的重心，则OA+OB+OC=0，即OC=−OA−OB.OP=x2CA+y2CB=x2(OA−OC)+y2(OB−OC)=x2OA+y2OB−(x2+y2)OC=x2OA+y2OB+(x2+y2)(OA+OB)=(2x2+y2)OA+(x2+2y2)OB.又OP=x1OA+y1OB，∴x1=2x2+y2，y1=x2+2y2，∴x1+y1=3(x2+y2).
【规律】三角形重心O的向量性质OA+OB+OC=0是实现向量转化的重要桥梁.
【考点二 方法总结】
1. 平面向量的线性表示与化简：
（1） 平面向量线性表示的核心是“目标拆解”，利用三角形法则或平行四边形法则，将未知向量向已知基底方向逐步转化.
（2） 基底转换问题的关键是找到新旧基底之间的线性关系，通过代入消元实现基底的统一.
（3） 求多个向量和差的模长，首选化简向量表达式，将其转化为单个已知模长的向量，再进行计算.
2. 结合几何性质的向量问题：
（1） 点在线段上（不含端点）可转化为向量的数乘关系，系数λ∈(0,1).
（2） 利用平面向量基本定理求参数，通常从几何图形出发，推导目标向量的基底表示，对比系数即可求解.
（3） 三角形重心O的向量性质OA+OB+OC=0是实现向量转化的重要桥梁.
考点三：平面向量共线定理的应用
考法7：利用向量共线定理求参数
例8.（2026·山东淄博·二模）已知向量a，b不共线，且c=xa+b，d=2a+(2x−3)b，若c与d共线，则实数x的值为
A. 2 B. −12 C. 2或−12 D. −2或12
【答案】C
【思路】已知两向量共线，可设c=λd，代入已知表达式，利用a,b不共线，列出关于x和λ的方程组求解.
【解析】∵c与d共线，∴存在实数λ，使得c=λd，即xa+b=λ[2a+(2x−3)b]=2λa+λ(2x−3)b.∵a，b不共线，∴x=2λ1=λ(2x−3)，消去λ得2x2−3x−2=0，解得x=2或x=−12.
【考点三 方法总结】
1. 若a,b不共线，且ma+nb=xa+yb，则必有m=x且n=y.
考点四：平面向量基本定理及应用
考法8：利用平面向量基本定理求参数
例9.（2026·湖南邵阳·联考）在平行四边形ABCD中，点E在线段AC上，且AE=23AC.若ED=λAD+μAB，其中λ,μ∈R，则λ+μ=
A. −13 B. −23 C. 23 D. 13
【答案】D
【思路】目标是求ED的基底表示.利用三角形法则ED=AD−AE，再结合已知比例关系将AE用基底表示.
【解析】∵ED=AD−AE=AD−23AC=AD−23(AD+AB)=13AD−23AB，∴λ=13，μ=−23，λ+μ=−13.
【规律】向量的线性表示常以图形为载体，利用向量的加减法法则进行首尾相接的拆分.
考法9：利用平面向量基本定理与三点共线定理求参数
例10.（2026·河南濮阳·二模）如图，在等边三角形ABC中，AB=6，点O是靠近B的三等分点，过O的直线分别交射线AB,AC于不同的两点M,N，AB=mAM，AC=nAN，则下列选项中不正确的是
A. AO=23AB+13AC B. cs∠AOC=721
C. 2m+n=3 D. 1m+2n的最小值为83
【答案】B
【思路】逐项分析.A项利用三等分点性质推导；B项利用余弦定理计算；C项利用三点共线定理推导系数关系；D项利用C项结论结合基本不等式求最值.
【解析】对于A，∵O是靠近B的三等分点，∴AO=AB+BO=AB+13BC=AB+13(AC−AB)=23AB+13AC，A正确.对于B，在△AOC中，AC=6，AO=62+22−2×6×2×cs60∘=27，OC=4，由余弦定理得cs∠AOC=AO2+OC2−AC22AO⋅OC=28+16−362×27×4=714，B错误.对于C，由题意得AO=23mAM+13nAN，∵M，O，N三点共线，∴23m+13n=1，即2m+n=3，C正确.对于D，1m+2n=13(1m+2n)(2m+n)=13(4+nm+4mn)≥13(4+2nm⋅4mn)=83，当且仅当n=2m，即m=34，n=32时等号成立，D正确.
【规律】三点M,O,N共线，若AO=xAM+yAN，则必有x+y=1.
例11.（2026·浙江宁波十校·联考）（多选）如图所示，已知△ABC，点M，N满足AM=12AB，AN=13AC，BN与CM交于点P，AP交BC于点D，AP=tAD，则
A. AP=15AB+25AC B. BP=25BN
C. t=25 D. CP=25CA+25CB
【答案】D
【思路】已知交点比例，求向量的线性表示.可设AP=λAM+(1−λ)AC和AP=μAB+(1−μ)AN，联立方程组求出系数.
【解析】对于A，由C,P,M共线，存在λ使AP=λAM+(1−λ)AC=λ2AB+(1−λ)AC，由B,P,N共线，存在μ使AP=μAB+(1−μ)AN=μAB+1−μ3AC，联立系数相等：λ2=μ1−λ=1−μ3，解得：λ=45，μ=25，因此：AP=25AB+15AC，故选项A错误.对于B，BP=AP−AB=(25AB+15AC)−AB=−35AB+15AC，BN=AN−AB=13AC−AB=−AB+13AC，若BP=25BN，则：−35AB+15AC=25(−AB+13AC)=−25AB+215AC，显然系数不相等，选项B错误.对于C，由于AP=tAD，且D在BC上，故设AD=kAB+(1−k)AC，则AP=tAD=tkAB+t(1−k)AC，结合AP=25AB+15AC，得：tk=25t(1−k)=15，解得t=35，选项C错误.对于D，由CP=AP−AC=(25AB+15AC)−AC=25AB−45AC，∴CP=25(CB−CA)−45AC=25CA+25CB，故选项D正确.
【规律】“爪子型”图形中，利用双重三点共线列方程组是求解交点向量表示的通法.
考法10：利用平面向量基本定理与三点共线定理求最值
例12.（2026·安徽铜陵·模拟）在△ABC中，点D为边BC的中点，过点D的直线与AB，AC两边（或其延长线）分别交于点E，F，设AB=xAE，AC=yAF(x>0,y>0)，则1x+2y的最小值为
A. 12+2 B. 1+2 C. 32+2 D. 2+2
【答案】C
【思路】已知E,D,F三点共线，可利用三点共线定理得到x,y的关系式，再利用乘“1”法结合基本不等式求最值.
【解析】∵D是BC的中点，∴AD=12AB+12AC=12xAE+12yAF.由于E,D,F三点共线，∴12x+12y=1，其中x>0,y>0.1x+2y=(1x+2y)(12x+12y)=32+y2x+xy≥32+2y2x⋅xy=32+2，当且仅当y2x=xy，即x=22−2,y=4−22时等号成立.∴1x+2y的最小值为32+2.
【规律】三点共线定理常与基本不等式结合，解题步骤为：找共线得关系式 → 乘“1”展开 → 用基本不等式求最值.
例13.（2026·山东济宁·二模）G是△ABC的重心，过点G且不过△ABC顶点的直线l分别交边AB，AC于点M，N，记△AMG和△CNG的面积分别为S1,S2，则S1S2的最小值是____.
【答案】2+32
【思路】利用重心性质和三点共线定理，设AM=xAB，AN=yAC，得到x,y的关系.再将面积比转化为x,y的表达式，利用换元法和基本不等式求最值.
【解析】设AM=xAB，AN=yAC，∵G是△ABC的重心，∴AG=13AB+13AC=13xAM+13yAN.∵M,G,N三点共线，∴13x+13y=1，即y=x3x−1.∵M,N分别在边AB,AC上，∴0