第33讲 平面向量的数量积及运算 讲义-2027年高考数学一轮复习（全国I卷地区通用）【含解析】

这是一份第33讲 平面向量的数量积及运算 讲义-2027年高考数学一轮复习（全国I卷地区通用）【含解析】，共14页。
三、典题精练 PAGEREF _Tc234174440 \h 4
考点一：平面向量的投影、投影向量 PAGEREF _Tc234174441 \h 4
考点二：平面向量的数量积运算 PAGEREF _Tc234174442 \h 4
考点三：平面向量的模长 PAGEREF _Tc234174443 \h 5
考点四：平面向量的夹角 PAGEREF _Tc234174444 \h 6
考点五：平面向量的垂直问题 PAGEREF _Tc234174445 \h 7
考点六：平面向量的实际应用与综合 PAGEREF _Tc234174446 \h 8
四、高考真题 PAGEREF _Tc234174447 \h 8
一、考情分析
1. 考查频次与题型
近三年全国一卷对平面向量数量积及运算的考查较为稳定，既有直接考查其坐标运算与模长的客观题，也常在解析几何、解三角形等解答题中作为核心工具进行间接考查.
2. 命题角度与特色
（1） 基础性与工具性并重.客观题常直接考查数量积的坐标运算、向量垂直的等价条件及模长计算.
（2） 综合性强.在解答题中，向量数量积常与圆锥曲线、解三角形等知识深度融合，作为转化几何关系（如垂直、距离）的代数工具.
（3） 创设实际情境.如2025年第6题以帆船比赛为背景，考查向量的实际应用与模长计算.
3. 备考策略
（1） 熟练掌握平面向量数量积的定义、几何意义及坐标运算法则，牢记向量垂直的充要条件.
（2） 强化向量作为工具的应用意识，学会在解析几何、解三角形等综合问题中，利用向量数量积处理垂直、夹角和长度问题.
（3） 关注向量与实际生活的联系，提升从实际情境中抽象出向量模型并进行代数运算的能力.
二、知识清单
1. 平面向量数量积的概念与几何意义
（1） 平面向量数量积的定义
已知两个非零向量a与b，我们把数量|a||b|csθ叫做a与b的数量积（或内积），记作a⋅b，即a⋅b=|a||b|csθ，规定：零向量与任一向量的数量积为0.
（2） 平面向量数量积的几何意义
① 向量的投影：|a|csθ叫做向量a在b方向上的投影数量，当θ为锐角时，它是正数；当θ为钝角时，它是负数；当θ为直角时，它是0.
② a⋅b的几何意义：数量积a⋅b等于a的长度|a|与b在a方向上射影|b|csθ的乘积.
③ 投影向量：设a，b是两个非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，AB=a，CD=b，过AB的起点A和终点B，分别作CD所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到A1B1，我们称上述变换为向量a向向量b投影，A1B1叫做向量a在向量b上的投影向量.记为|a|csθe.
2. 数量积的运算律与性质
（1） 数量积的运算律
已知向量a、b、c和实数λ，则：
① a⋅b=b⋅a.
② (λa)⋅b=λ(a⋅b)=a⋅(λb).
③ (a+b)⋅c=a⋅c+b⋅c.
（2） 数量积的性质
设a、b都是非零向量，e是与b方向相同的单位向量，θ是a与e的夹角，则：
① e⋅a=a⋅e=|a|csθ.
② a⟂b⇔a⋅b=0.
③ 当a与b同向时，a⋅b=|a||b|；当a与b反向时，a⋅b=−|a||b|.特别地，a⋅a=|a|2或|a|=a⋅a.
④ csθ=a⋅b|a||b| (|a||b|≠0).
⑤ |a⋅b|≤|a||b|.
3. 数量积的坐标运算
（1） 坐标表示
已知非零向量a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，θ为向量a、b的夹角.
4. 易错警示
（1） 平面向量的数量积是一个实数，可正、可负、可为零，且|a⋅b|≤|a||b|.
（2） 数量积不满足消去律.当a≠0时，由a⋅b=0不能推出b一定是零向量，这是因为任一与a垂直的非零向量b都有a⋅b=0.当a≠0时，且a⋅b=a⋅c时，也不能推出一定有b=c，只能得出a⟂(b−c).
（3） 数量积不满足结合律.即(a⋅b)c≠(b⋅c)a，这是因为(a⋅b)c是一个与c共线的向量，而(b⋅c)a是一个与a共线的向量，而a与c不一定共线，所以(a⋅b)c不一定等于(b⋅c)a.
（4） 夹角为锐角或钝角的充要条件.非零向量夹角为锐角当且仅当a⋅b>0且a≠λb(λ>0)（即不共向）；夹角为钝角当且仅当a⋅b0) 的离心率为 23，下顶点为A，右顶点为B，|AB|=10.
（1） 求椭圆的标准方程；
（2） 已知动点P不在y轴上，点R在射线AP上，且满足 AR⋅AP=3.
（i） 设 P(m,n)，求点R的坐标（用m，n表示）；
（ii） 设O为坐标原点，M是椭圆上的动点，直线OR的斜率为直线OP的斜率的3倍，求 |PM| 的最大值.
4.（2026·全国一卷·第16题）已知在 △ABC 中，AB=3，BC=23，csB=33.
（1） 求 csA；
（2） 设D，E两点满足：D在BA的延长线上，DE∥BC，AE⟂AC.若 DE=6，求 CE.年份
题号与题型
分值
考察类型
考察内容
2024
第3题 单选题
5分
直接
平面向量垂直的坐标表示及数量积运算
2025
第6题 单选题
第18题 解答题
22分
直接
间接
向量模长的实际应用
解析几何中结合数量积求点坐标
2026
第16题 解答题
15分
间接
解三角形中结合向量垂直（数量积为0）求参数
结论
几何表示
坐标表示
模
|a|=a⋅a
|a|=x2+y2
数量积
a⋅b=|a||b|csθ
a⋅b=x1x2+y1y2
夹角
csθ=a⋅b|a||b|
csθ=x1x2+y1y2x12+y12⋅x22+y22
a⟂b的充要条件
a⋅b=0
x1x2+y1y2=0
a∥b的充要条件
a=λb(b≠0)
x1y2−x2y1=0
|a⋅b|与|a||b|的关系
|a⋅b|≤|a||b|（当且仅当a∥b时等号成立）
|x1x2+y1y2|≤x12+y12⋅x22+y22