第03讲 平面向量基的数量积及其应用（复习讲义）（全国通用）2027年高考数学一轮复习（全国I卷地区通用）（原卷版+解析版）

这是一份第03讲 平面向量基的数量积及其应用（复习讲义）（全国通用）2027年高考数学一轮复习（全国I卷地区通用）（原卷版+解析版），共2页。
01
命题透视·考情前瞻
对标素养，研判高考命题趋势
02
思维建模·脉络梳理
搭建知识框架，构建系统思维
03
知识精讲·靶向突破
拆解核心知识，归纳题型技巧
知识解构
知识点1平面向量数量积的有关概念 知识点2平面向量数量积的运算律
知识点3平面向量数量积的性质及其坐标表示 知识点4平面几何中的向量方法
题型破译 (含超链接）
\l "__x0001_题型5 数集的运算" 题型1 求平面向量的数量积 \l "__x0001_题型5 数集的运算" 题型2 平面向量的模长
【方法技巧】计算平面向量数量积的方法 【方法技巧】求平面向量的模的方法
\l "__x0001_题型5 数集的运算" 题型3 平面向量的夹角 \l "__x0001_题型8 利用集合的运算结果求参数" 题型4 垂直的综合运算
\l "__x0001_题型5 数集的运算" 题型5 投影向量 \l "__x0001_题型8 利用集合的运算结果求参数" 题型6 求参数值或取值范围问题
\l "__x0001_题型5 数集的运算" 题型7 求数量积的取值范围问题
【方法技巧】数量积最值（范围）的解法
\l "__x0001_题型8 利用集合的运算结果求参数" 题型8 向量在几何中的应用
\l "__x0001_题型5 数集的运算" 题型9 向量在物理中的应用
\l "__x0001_题型8 利用集合的运算结果求参数" 题型10 平面向量的新定义问题
\l "__x0001_题型10 集合的新定义问题" 题型11 平面向量与圆、三角函数等融合交汇
04
真题溯源·考向感知
溯源真题逻辑，感知高考考向
05
课本典例·高考素材
立足课本典例，挖掘高考素材
命题透视·考情前瞻
——对标素养，研判高考命题趋势
思维建模·脉络梳理
——搭建知识框架，构建系统思维
知识精讲·靶向突破
——拆解核心知识，归纳题型技巧
知●识●解●构
\l "_Tc25045" 知识点1 平面向量数量积的有关概念
1．向量的夹角
已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b，则∠AOB＝θ叫做向量a与b的夹角，向量夹角的取值范围是[0，π].
当θ＝eq \f(π,2)时，a与b垂直，记作a⊥b；当θ＝0时，a与b共线且同向；当θ＝π时，a与b共线且反向．
2．平面向量的数量积
定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，则数量|a||b|cs θ叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝ . 规定：0·a＝0.
3．投影向量
设a，b是两个非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(CD,\s\up6(→))＝b，过eq \(AB,\s\up6(→))的起点A和终点B，分别作eq \(CD,\s\up6(→))所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到eq \(A1B1,\s\up6(→))，我们称上述变换为向量a向向量b ，eq \(A1B1,\s\up6(→))叫做向量a在向量b上的 ，记为 .
【注意】设a，b是非零向量，它们的夹角为θ，则a在b上的投影向量为|a|cs θeq \f(b,|b|)＝eq \f(a·bb,|b|2).
自主检测（多选）关于平面向量，，，下列说法不正确的是（ ）
A．B．
C．若，且，则D．
\l "_Tc25045" 知识点2 平面向量数量积的运算律
（1）a·b＝ (交换律). （2）λa·b＝λ(a·b)＝ (结合律).
（3）(a＋b)·c＝ 分配律).
必记结论
1．平面向量数量积运算的常用公式
(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2. (2)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2.
(3)|a＋b|2＋|a－b|2＝2(|a|2＋|b|2)． (4)a·b＝eq \f(1,4)[(a＋b)2－(a－b)2](该式又称作极化恒等式)．
2．有关向量夹角的两个结论
两个向量a，b的夹角为锐角⇔a·b＞0且a，b不共线；
两个向量a，b的夹角为钝角⇔a·b＜0且a，b不共线.
自主检测（多选）已知是三个向量，则下列结论中正确的是（ ）
A．B．
C．D．若，则
\l "_Tc25045" 知识点3 平面向量数量积的性质及其坐标表示
设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a与b的夹角．
（1）数量积：a·b＝|a||b|cs θ＝x1x2＋y1y2.
（2）模：|a|＝eq \r(a·a)＝eq \r(x\\al(2,1)＋y\\al(2,1)).
（3）夹角：cs θ＝eq \f(a·b,|a||b|)＝eq \f(x1x2＋y1y2,\r(x\\al(2,1)＋y\\al(2,1))·\r(x\\al(2,2)＋y\\al(2,2))).
（4）a⊥b的充要条件：a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.
（5）|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立)⇔|x1x2＋y1y2|≤eq \r(x\\al(2,1)＋y\\al(2,1))·eq \r(x\\al(2,2)＋y\\al(2,2)).
自主检测（多选）若，，则（ ）
A．B．
C．与的夹角为D．在方向上的投影向量为
\l "_Tc25045" 知识点4 平面几何中的向量方法
（1）用向量表示问题中的几何元素，将几何问题转化为向量问题；
（2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系；
（3）把运算结果“翻译”成几何关系.
自主检测已知非零平面向量、、，满足，，若与的夹角为，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
题●型●破●译
题型1 求平面向量的数量积
例1-1（2026·山西临汾·一模）已知向量，满足，，，则（ ）
A．B．1C．2D．3
例1-2（2026·陕西榆林·一模）在直角坐标系xOy中，点A，B满足，则（ ）
A．1B．C．2D．4
例1-3【新考法已知平面向量，，均为单位向量，若与的夹角为60°，则的最大值为（ ）
A．B．4C．D．5
例1-4【新思维】如图，在四边形中，，，，为线段的中点，，则（ ）
A．3B．
C．D．
方法技巧 计算平面向量数量积的方法
(1)利用定义：a·b＝|a||b|cs〈a，b〉.
(2)利用坐标运算，若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2.
(3)利用基底法求数量积.
(4)灵活运用平面向量数量积的几何意义.
【变式训练1-1】已知向量，，均为单位向量，且，则（ ）
A．0B．C．2D．
【变式训练1-2】（2026·北京延庆·一模）矩形中，，，且，则（ ）．
A．B．C．6D．3
【变式训练1-3·变载体】如图，已知矩形的边长满足，以为圆心的圆与相切于，则（ ）
A． B．
C．8 D．
【变式训练1-4·变载体】已知平面向量，若，则（ ）
A．B．C．D．
【变式训练1-5】已知向量，且向量与向量的夹角为，则 ．
题型2 平面向量的模长
例2-1（2026·四川巴中·一模）若 是夹角 的单位向量， ，则 （ ）
A．B．2C．D．
例2-2（2026·山西朔州·一模）已知向量，且，则（ ）
A．B．C．D．
方法技巧 求平面向量的模的方法
①公式法：利用|a|=a·a及(a±b)2=|a|2±2a·b+|b|2；
②几何法：利用向量的几何意义.
【变式训练2-1】已知，则（ ）
A．1B．2C．D．
【变式训练2-2】已知向量，若，则（ ）A．B．C．D．
【变式训练2-3】已知向量与的夹角为，，，则（ ）
A．1B．C．D．
【变式训练2-4·变考法】（2026·山东德州·一模）若平面向量两两夹角相等，且，则（ ）
A．B．36C．或6D．3或36
题型3 平面向量的夹角
例3-1（2026·新疆·一模）设向量为单位向量，且，则向量的夹角为（ ）
A．B．C．D．
例3-2平面向量满足，且，则向量的夹角为（ ）
A．B．C．D．
例3-3（2026·广东江门·一模·变角度）在中，是边的中点，是边上的点，且，则向量与向量的夹角的余弦值为___________.
【变式训练3-1】（2026·湖北黄石·一模）已知向量，则向量与夹角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
【变式训练3-2】（2026·河北石家庄·一模）已知平面向量满足，且，则与的夹角为（ ）
A．B．C．D．
【变式训练3-3·原创题】已知是两个垂直的单位向量．若，设向量的夹角为，则（ ）
A．B．C．D．
【变式训练3-4】已知向量，，则（ ）
A．B．C．D．
【变式训练3-5·原创题】已知非零向量与不共线，且满足，与的夹角为，则向量与向量的夹角为（ ）
A．B．C．D．
题型4 垂直的综合运算
例4-1（2026·湖南岳阳·一模）已知向量，若，则（ ）
A．-2B．0C．2D．4
例4-2已知向量，，若，则（ ）
A．B．C．D．
【变式训练4-1·变载体】（2026·广西南宁·一模）已知向量，．若，则（ ）
A．B．C．D．
【变式训练4-2·变载体】已知平面向量，，若，则实数（ ）
A．B．1C．或1D．4
题型5 投影向量
例5-1（2026·安徽宿州·一模）已知向量满足，且，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
例5-2如图，在中，，于，，，则在上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
【变式训练5-1】（2026·山东菏泽·一模）已知向量，，，则在上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
【变式训练5-2】（2026·湖南邵阳·一模）已知非零向量，满足，，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
【变式训练5-3·原创题】平面向量，满足，，与的夹角为，则在方向上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
【变式训练5-4变载体】已知平面内三点，则向量在上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
【变式训练5-5·变情境】（2026·安徽马鞍山·一模）两个粒子从同一发射源发射出来，在某一时刻，它们的位移分别为，设此时粒子相对粒子的位移为，则在上的投影向量为（ ）
A．B．
C．D．
题型6 求参数值或取值范围问题
例6-1（2026·河北承德·一模）已知向量，，若与的夹角的余弦值为，则的值为（ ）
A．B．C．或D．无法确定
例6-2在中，向量，，若为锐角，则实数x的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练6-1】已知向量，向量在向量上的投影向量是，且，则（ ）
A．B．C．2D．
【变式训练6-2·变考法】已知向量，若在上的投影向量相等，则的最小值为（ ）
A．2B．1C．D．
【变式训练6-3·变题型】已知两个非零向量的夹角为，且，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
题型7 求数量积的取值范围问题
例7-1已知中，，，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
例7-2（2026·天津河西·一模）已知是边长为2的等边三角形，点D在边上，且，则______；若平面内动点P满足，则的最小值为_____．
方法技巧 数量积最值（范围）的解法
（1）坐标法，通过建立直角坐标系，运用向量的坐标运算转化为代数问题处理.
（2）向量法，运用向量数量积的定义、不等式、极化恒等式等有关向量知识解决.
【变式训练7-1变载体】已知三点在单位圆上运动，且，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【变式训练7-2·变载体】（2026·辽宁抚顺·一模）已知菱形的边长为2，，点在线段上，点在线段上，，则的最大值为（ ）
A．B．2C．D．－2
【变式训练7-3·变情境】（2026·广东·一模）已知下图是一个边长为3的九宫格（由9个边长为1的小正方形构成），九宫格中有16个节点（如图加黑的16个点），从这16个点中任选互不相同的三个点，则的最大值为（ ）
A．12B．13C．15D．18
【变式训练7-4·变考法】已知向量，若，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【变式训练7-5·新情境】（多选）（2026·宁夏吴忠·二模）青花瓷（blue and white prcelain），又称白地青花瓷，常简称青花，是中国瓷器的主流品种之一，属釉下彩瓷.原始青花瓷于唐宋已见端倪，成熟的青花瓷则出现在元代景德镇的湖田窑.图一是一个由波涛纹和葡萄纹构成的正六边形青花瓷盘，已知图二中正六边形的边长为，圆的圆心为正六边形的中心，半径为，若点在正六边形的边上运动，动点，在圆上运动且关于圆心对称，则的取值可以是（ ）
A．B．C．2D．
题型8 向量在几何中的应用
例8-1【新思维】已知是平面向量，是单位向量，若非零向量与的夹角为，向量满足，则的最小值是（ ）．
A．B．C．D．
例8-2【新模型】（2026·江苏盐城·二模）已知向量满足，则取值范围是_______.
【变式训练8-1·变载体】已知，则的最大值为 ．
【变式训练8-2·变考法】在边长为1的正方形ABCD中，点E为线段CD上靠近C的三等分点，，则 ，F为线段BE上的动点，G为AF中点，则的最小值为 .
题型9 向量在物理中的应用
例9-1（2026·安徽阜阳·二模）如图，无弹性的细绳，的一端分别固定在A，B处，同样的细绳下端系着一个秤盘，且，绳子受力的大小为40 N，受力的大小为30 N，则绳子受力的大小为（ ）
A．B．C．D．
例9-2一条东西方向的河流两岸平行，河宽，河水的速度为向正东．一艘小货船准备从河南岸码头P处出发，航行到河对岸Q（与河的方向垂直）的正西方向并且与Q相距的码头M处卸货，若水流的速度与小货船航行的速度的合速度的大小为，则当小货船的航程最短时，小货船航行速度的大小为（ ）
A．B．C．D．
【变式训练9-1变载体】某货船执行从A港口到B港口的航行任务，B港口在A港口的正北方向．已知河水的速度为向东2m/s．若货船在静水中的航速为4m/s，船长调整船头方向航行，使得实际路程最短．则该船完成此段航行的实际速度为（ ）
A．2m/sB．m/sC．4m/sD．m/s
【变式训练9-2变载体】如图所示，支座A受，两个力的作用，已知，与水平线成角，，沿水平方向，两个力的合力F的大小，则（ ）
A．B．C．D．
题型10 平面向量的新定义问题
例10-1【新定义】（2026·福建龙岩·一模）如图，设是平面内相交成角的两条数轴，分别是与轴，轴正方向同向的单位向量.若向量，则有序实数对叫做向量在坐标系中的坐标.若在该坐标系中，，，则（ ）
A．B．C．D．0
【变式训练10-1·新运算】已知，，定义新运算，记，，满足，则（ ）
A．B．C．D．
【变式训练10-2·新运算】（2026·广东江门·一模）人脸识别就是利用计算机检测样本之间的相似度，余弦距离是检测相似度的常用方法.假设二维空间中有两个点为坐标原点，定义余弦相似度为（其中为向量的夹角），余弦距离为.已知，若的余弦距离为，则（ ）
A．B．C．D．
【变式训练10-3·新运算】已知向量，且，定义向量的新运算：．
（1）若向量，且，求；
（2）证明：是的充要条件，
题型11 平面向量与圆、三角函数等融合交汇
例11-1（2026·北京密云·一模）已知向量，则的最小值为（ ）
A．B．2C．-2D．
例11-2（2026·广东梅州·一模）在平面直角坐标系中，点的坐标为，点为圆上的动点，则的最小值为______.
【变式训练11-1变载体】（2026·湖北十堰·一模）若向量，，记，则（ ）
A．B．C．D．
【变式训练11-2·融合三角】（2026·湖南常德·一模）已知平面向量，为单位向量，且，若，则（ ）
A．B．2C．D．
【变式训练11-3·融合圆】（2026·湖北黄冈·一模）在平面直角坐标系中，，，，则的最大值为（ ）
A．5B．C．D．
【变式训练11-4·变载体】（（2026·江西南昌·一模）已知向量，，，若向量满足，则的最大值为________.
真题溯源·考向感知
——溯源真题逻辑，感知高考考向
1.（2026·全国二卷·高考真题）已知，，则（ ）
A．B．C．D．
2.（2024·全国甲卷·高考真题）设向量，则（ ）
A．“”是“”的必要条件B．“”是“”的必要条件
C．“”是“”的充分条件D．“”是“”的充分条件
3.（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知向量满足，且，则（ ）
A．B．C．D．1
4．（2023·北京·高考真题）已知向量满足，则（ ）
5．（2023·全国乙卷·高考真题）正方形的边长是2，是的中点，则（ ）
A．B．3C．D．5
6.（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知向量，若，则（ ）
A． B． C． D．
7.（2022·全国乙卷·高考真题）已知向量满足，则（ ）
A．B．C．1D．2
8.（2025·全国二卷·高考真题）已知平面向量若，则
9.（2026·上海·高考真题）在中，、在边上，且，，与所成的夹角为，则的最大值为____________.
10.（2025·上海·高考真题）在平面中，和是互相垂直的单位向量，向量满足，向量满足，求在方向上的数量投影的最大值__________．
11.（2022·全国甲卷·高考真题）设向量，的夹角的余弦值为，且，，则_________．
12.（2021·全国乙卷·高考真题）已知向量，若，则__________．
课本典例·高考素材
——立足课本典例，挖掘高考素材
1.如果a，b是两个单位向量，那么下列四个结论中正确的是( ).
A.B.C.D.
2.若，是夹角为60°的两个单位向量，则与的夹角为( ).
A.30°B.60°C.120°D.150°
3.已知等边三角形ABC的边长为1，，，，那么( ).
A.3B.-3C.D.
4.若平面向量a，b，c两两的夹角相等，且，，，则( ).
A.2B.5C.2或5D.或
5.已知向量a与b的夹角为30°，，，求，的值.
6.已知的顶点坐标分别为，，，求，，的值.
7.如图，支座A受，两个力的作用，已知与水平线成角，，沿水平方向，，与的合力F的大小为100N，求以及F与的夹角的余弦值.
8.已知，向量，，满足条件，.求证：是等边三角形.核心考点
2026年
2025年
2024年
求平面向量的数量积
全国Ⅱ卷T3（5分）
向量垂直的坐标表示
全国二卷T12（5分）
全国Ⅰ卷T3（5分）
已知数量积求模
全国Ⅱ卷T3（5分）
考情分析
平面向量数量积的运算是高考必考的内容，一般以选择、填空形式出现．交汇命题时，向量一般与解析几何、三角函数、平面几何等相结合考查.
三年考情显示，主要考查平面向量数量积的几何意义及坐标运算，同时与三角函数及解析几何相结合的解答题也是热点．
复习目标
1会计算平面向量的数量积
2会用数量积判断两个平面向量的垂直关系
3能用坐标表示平面向量的数量积，并会表示及计算两个平面向量的夹角
4会用向量方法解决简单的平面几何问题、力学问题.