2025--2026学年辽宁省沈阳市实验中学高二下册期中数学试题 [含答案]

这是一份2025--2026学年辽宁省沈阳市实验中学高二下册期中数学试题 [含答案]，共5页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 函数的单调减区间为（ ）
A. B. C. D.
2. 从某市参加升学考试的学生中随机抽查名学生的数学成绩进行统计分析，在这个问题中，下列说法错误的是（ ）
A. 总体指的是该市参加升学考试的全体学生的数学成绩
B. 样本是指名学生的数学成绩
C. 样本量指的是名学生
D. 个体指的是该市参加升学考试的每一名学生的数学成绩
3. 已知的图象如图所示（其中是函数的导函数），下面四个图象中，是的大致图象的是（ ）
A. B.
C. D.
4. 若，，则事件A与B的关系是（ ）.
A. 事件A与B互斥B. 事件A与B对立
C. 事件A与B相互独立D. 事件A与B互斥又相互独立
5. 已知等比数列前项和满足，数列是递增的，且，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
6. 函数与函数公切线的斜率为（ ）
A. B. C. 或D. 或
7. 已知正项数列满足，当最大时，的值为（ ）
A. 4B. 5C. 6D. 7
8. 已知数列中，，，记，，，给出下列结论：①；②；③；④，则这4个结论中正确的有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列计算正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则
10. 下列命题中，真命题的是（ ）
A. 一个样本的平均数为3，若添加一个新数据3组成一个新样本，则新样本的平均数不变，方差变小
B. 数据组成一个样本，其回归直线方程为，其中，去除一个异常点后，得到新的回归直线必过点
C. 若随机变量服从正态分布，，则
D. 数据27，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位数是23；
11. 已知数列的前n项和为，，.则下列选项正确的为（ ）
A.
B. 数列是以2为公比的等比数列
C. 对任意的，
D. 的最小正整数n的值为15
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 两位游客准备分别从古汉台、拜将台、兴汉胜境、石门栈道风景区4个景点中随机选择其中一个景点游玩，记事件“两位游客中至少有一人选择古汉台”，事件“两位游客选择的景点不同”，则______．
13. 已知函数，且曲线在点处的切线方程为.则曲线上点处的切线与直线和直线所围成的三角形面积为______.
14. 设数列的前项和为，，且对任意的都有.若存在，使得，则实数等于______.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 2024年3月，某校语文教师对学生提出“3月读一本书”的要求，每位学生都选择且只能选择《红楼梦》和《三国演义》中的一本，现随机调查该校男、女生各100人，整理得到列联表如下．
（1）依据小概率值的独立性检验，能否认为学生选择《红楼梦》还是《三国演义》与性别有关？
（2）已知学生选择哪本书是相互独立的，用频率代替概率，从该校选择《红楼梦》的学生中随机抽取3人，抽到的女生人数设为，求的分布列和数学期望．
参考公式：，其中．
参考数据：
16. 已知是无穷正整数数列，定义操作为删除数列中除以k余数为s的项，剩下的项按原先后顺序不变得到新数列.若，，进行操作后剩余项组成新数列，设数列的前项和为.
（1）求；
（2）设数列满足，求数列的前项和.
17. 已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若在内的最大值为2，求的值；
（3）若，求的取值范围．
18. 已知数列的前项和，设数列满足
（1）求数列和的通项公式；
（2）记，求数列的前项和；
（3）在和，中插入个相同的数，构成一个新数列：，1，，，，，3，3，3，，…，求数列的前2026项和.
19. 甲乙两个人进行一次迷宫游戏，两个人在两个房间内游走.每经过1分钟，两人都可以选择进行一次移动.甲从当前房间移动到另一房间的概率为0.6，留在该房间的概率为0.4；若上一分钟甲乙两人都在一个房间，那么下一分钟乙必定移动到另一个房间，否则乙从当前房间移动到另一房间或留在当前房间的概率均为0.5.已知在第0分钟时，甲在0号房间，乙在1号房间.设在第分钟时，甲乙两人在0号房间的概率分别为，.
（1）求第1分钟时，甲乙两人所在房间号之和为1的概率；
（2）求，的通项公式.
（3）若为等比数列，求，的值.
数学
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 函数的单调减区间为（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：
思路：求导，令导数小于零求解．
解答过程：函数的定义域为，
，
由得，所以的单调减区间为.
故选：D.
2. 从某市参加升学考试的学生中随机抽查名学生的数学成绩进行统计分析，在这个问题中，下列说法错误的是（ ）
A. 总体指的是该市参加升学考试的全体学生的数学成绩
B. 样本是指名学生的数学成绩
C. 样本量指的是名学生
D. 个体指的是该市参加升学考试的每一名学生的数学成绩
答案：C
解析：
思路：根据总体、样本、样本容量和个体的定义直接判断选项即可.
解答过程：总体指的是该市参加升学考试的全体学生的数学成绩，A正确；
样本是指名学生的数学成绩，B正确；
样本量是，C错误；
个体指的是该市参加升学考试的每一名学生的数学成绩，D正确.
故选：C
3. 已知的图象如图所示（其中是函数的导函数），下面四个图象中，是的大致图象的是（ ）
A. B.
C. D.
答案：C
解析：
思路：根据导函数的正负区间判断原函数的单调区间判断即可.
解答过程：当时，，
∴，故在区间上为减函数，排除AB；
当时，，∴，
故在区间上为减函数，排除D.
故选：C.
4. 若，，则事件A与B的关系是（ ）.
A. 事件A与B互斥B. 事件A与B对立
C. 事件A与B相互独立D. 事件A与B互斥又相互独立
答案：C
解析：
思路：先计算，再结合相互独立事件、互斥事件的判定定理即可得出结论.
解答过程：因为，
，所以事件A与B相互独立.
又，所以，所以事件A与B不互斥.
故选：C.
5. 已知等比数列前项和满足，数列是递增的，且，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
思路：根据等比数列前n项和公式，递推前三项，利用等比中项的性质计算参数A，再根据数列的单调性得，结合n的属性计算即可.
解答过程：因为等比数列前项和满足，所以，
，，
因为等比数列中，所以，
解得或（舍去），所以，
因为数列是递增的，
所以，所以，
因为，所以.
故选：C．
6. 函数与函数公切线的斜率为（ ）
A. B. C. 或D. 或
答案：C
解析：
思路：先设切点分别为，并通过点斜式方程写出两条切线方程，根据公切线方程得，最后计算值即可.
解答过程：设切点分别为，
且导数为，
所以切斜方程为既为，
也为，
所以，
且，
所以，
所以或，
所以公切线的斜率为或.
故选：C.
方法提示：关键点点睛：本题考查求公切线问题，解题关键是分别在函数上设不同切点并求切线方程，根据两切线方程一样来求解公切线斜率.
7. 已知正项数列满足，当最大时，的值为（ ）
A. 4B. 5C. 6D. 7
答案：B
解析：
思路：根据给定条件，构造函数，取对数并构造函数，利用导数确定取最大值的条件，进而确定数列单调性求出最大项.
解答过程：正项数列中，，令，显然，
令函数，求导得，
当时，；当时，，
函数在上单调递增，在上单调递减，，
因此当时，数列递增，当时，数列递减，
而，且，
则，当最大时，的值为5.
8. 已知数列中，，，记，，，给出下列结论：①；②；③；④，则这4个结论中正确的有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
答案：B
解析：
思路：先由递推式比较与的大小，得到an+1−an=(1−an)2≥0 ，从而判断数列单调递增．再结合和递推式证明对任意，都有．
①：令，把原递推式转化为bn+1=anbn，再利用推出，进而得到关于的比较关系，判断①是否成立．
②：直接由递推式整理出2an+1−an−1 的表达式，再利用判断该式的符号，从而判断②是否正确．
③：先借助①中得到的关系估计的大小，再利用数列单调递增，把与联系起来进行比较，判断不等式Sn