2022-2023学年辽宁省沈阳市第二中学高一下学期期中考试数学试题含答案

2022-2023学年辽宁省沈阳市第二中学高一下学期期中考试数学试题

一、单选题

1．已知圆心角是2弧度的扇形的周长为4，则扇形的面积为（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】A

【分析】由扇形的周长和面积公式求解.

【详解】由扇形的周长公式得，

解得，所以扇形的面积为.

故选：A

2．点A的坐标为，将点A绕原点逆时针旋转后到达点位置，则的横坐标为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】设点是终边上一点，则点是终边上一点，根据三角函数定义即可求出.

【详解】设点是终边上一点，则，，

则点是终边上一点，

则，

所以.

故选：D.

3．在△ABC中，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是（      ）

A．，， B．，，

C．，， D．，，

【答案】C

【分析】由正弦定理解三角形进行判断．

【详解】解：由正弦定理可得，

对于选项A，，，，有，∴，∴，故△ABC有唯一解．

对于选项B，，，，又，故，故△ABC无解．

对于选项C，，，，有，∴，又，故△ABC有两个解．

对于选项D，，，，由，得，故B为锐角，故△ABC有唯一解．

故选：C．

4．在△ABC中，，则这个三角形一定是（    ）

A．等腰三角形 B．直角三角形

C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形

【答案】D

【分析】利用余弦定理表示出和，代入已知等式整理可得到或，即可确定三角形的形状.

【详解】由余弦定理可得：，，

代入中，

得，

等式两边同乘得：

，

移项合并得：，

整理得：，

即，

可得或，

则三角形为等腰三角形或直角三角形，

故选：D.

5．若，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】设扇形的面积为，由三角函数线结合得到答案.

【详解】画出的三角函数线，如下：

则，，，

设扇形的面积为，

则，，

又，故，

所以，，

因为，所以.

所以.

故选：A

6．《易经》是阐述天地世间关于万象变化的古老经典，如图所示的是《易经》中记载的几何图形——八卦图．图中正八边形代表八卦，中间的圆代表阴阳太极图，其余八块面积相等的图形代表八卦田．已知正八边形的边长为，点是正八边形边上的一点，则的最大值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】过点作直线的垂线，垂足为点，计算出，分析可知当点在线段上时，在方向上的射影取最大值，结合平面向量数量积的几何意义可求得结果.

【详解】过点作直线的垂线，垂足为点，

观察图形可知，当点在线段上时，在方向上的射影取最大值，

且，则，所以，，

故的最大值为.

故选：C.

7．若，，且，，则的值是（    ）

A． B． C．或 D．或

【答案】B

【分析】根据，进而根据两角和的余弦公式展开，然后结合同角三角函数的基本关系求得答案.

【详解】，又∵，∴.

又∵，∴，

于是

，易得，则.

故选：B.

8．已知，，若存在最大值，则正数m的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由辅助角公式可得，其中，，又由，从而得，又因为存在最大值，从而可得，最后根据，求解即可.

【详解】解：因为，其中，

又因为，所以，

又因为m为正数，所以，，

所以，

又因为存在最大值，

所以，又因为，

从而可得，

所以，

解得.

所以正数m的取值范围是.

故选：C.

二、多选题

9．设向量，满足且，则以下结论正确的是（    ）

A．

B．在上的投影的数量为

C．，使得成立

D．当时，与的夹角为锐角

【答案】AB

【分析】根据条件可得，结合向量模的运算即可判断A；根据向量投影的计算公式可判断B；求出的最小值可判断C；找特例可判断D.

【详解】因为且，

所以，所以，

所以，故A正确；

在上的投影的数量为：，故B正确；

因为，

所以，即不存在，使得，故C错误；

当时，，此时与的夹角为0，不是锐角，故D错误.

故选：AB

10．将函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再把得到的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，下列结论正确的是（    ）

A．函数的图象关于对称

B．若，，则的最小值为

C．函数的图象关于直线对称

D．函数的图象在上单调递增

【答案】AD

【分析】根据三角函数的图象变换法则，先求出的解析式，再由正切函数的图象性质，逐一判断即可.

【详解】将函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），

可得的图象；再把得到的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象.

由于当时，，故A正确；

的最小正周期为，若，，

则的最小值为一个周期，即，故B错误；

无对称轴，故C错误；

时，，且单调递增，

又函数在单调递增，由复合函数的单调性，

得函数的图象在上单调递增，故D正确.

故选：AD

11．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列的结论中正确的是（    ）

A．

B．

C．若△ABC是锐角三角形，恒成立

D．若，则

【答案】ACD

【分析】根据三角函数的二倍角公式，正弦定理，三角形的性质，三角函数的诱导公式，反三角函数的概念，即可分别求解.

【详解】因为在△ABC中，

，故A正确；

取，则，而，故B错误；

若△ABC是锐角三角形，则，

所以，又在上单调递增，

所以恒成立，故C正确；

因为，所以为钝角，所以，故D正确.

故选：ACD

12．已知，，若在上恰有2个零点，且，则下列说法正确的是（    ）

A．存在使是奇函数 B．当时，

C． D．在上单调递增

【答案】BCD

【分析】因为不恒成立，即可判断A，由根据零点范围即可判断B，由在上恰有2个零点，得，在仅有两个解，从而求解参数范围，可判断C，由得，根据参数范围可判断D．

【详解】由，，不恒成立，故不存在使是奇函数，A不正确；

当时，由

得，或，又

解得，则B正确；

由

由，得，

若在上恰有2个零点，

令得，在

仅有两个解，故，所以，C正确；

由得，又因为，

所以，故在上单调递增正确，

故选：BCD

三、填空题

13．函数的单调递增区间为      .

【答案】

【分析】先用辅助角公式将化为，然后由余弦型三角函数的单调性即可求解.

【详解】，

由，得，

所以的单调递增区间为.

故答案为：

14．我国南宋著名数学家秦九韶提出了由三角形三边求三角形面积的“三斜求积”公式.设△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，面积为S，“三斜求积”公式表示为.在△ABC中，若，，则用“三斜求积”公式求得△ABC的面积为      .

【答案】

【分析】利用正弦定理推出，从而求出，最后利用面积公式计算即可.

【详解】，及正弦定理可得，

即，舍去，

因为，

所以，

从而的面积为.

故答案为：.

15．设a，b是非零实数，且满足，则      .

【答案】/

【分析】先将原式化简得到，再令，即可得到，从而求得结果.

【详解】由题意可得，，

令，则，

即，

所以，即

故.

故答案为：

16．在正方形中，，，分别为线段，上的动点，且，则的取值范围为      .

【答案】

【分析】设，确定，由正弦定理表示出的长，根据数量积定义求得的表达式，结合三角恒等变换以及正弦函数性质，即可求得答案.

【详解】设，则，，

得，，

所以

,

由，得，得，

所以,

故答案为：

四、解答题

17．（1）已知，，求的值

（2）化简并求值：.

【答案】（1）；（2）

【分析】（1）利用换元法，结合三角函数的倍角公式进行转化求解即可；

（2）利用三角函数的倍角公式以及两角和与差的三角公式进行转化求解即可.

【详解】（1）设，则，则，

因为，所以，

则，

所以；

（2）

18．在中，已知点

(1)在边上是否存在一点，使，若存在，求的值；若不存在，说明理由

(2)求的面积.

【答案】(1),

(2)

【分析】（1）求出的方程，求解的方程，联立方程组求解的坐标，然后求解的值；

 (2）求解 ,，然后求解三角形的面积.

【详解】（1）  

,的斜率为：,,

所以的斜率为：,

所以的方程为：, 的方程,

,

解,

, ,

（2）的面积：

19．已知函数的部分图象如图所示．

(1)求函数的解析式；

(2)若关于x的方程有实根，求实数m的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由图象可得出的最大值和最小正周期，可求得、的值，再由结合的取值范围可求得的值，进而可求得函数的解析式；

（2）代入，再换元设，可得，再结合正弦函数的取值范围与二次函数的性质求解范围即可

【详解】（1）由图可知．

设函数的最小正周期为，则，

所以，

又因为，由解得．

又由图可知函数经过点，则，

又因为，

所以，

所以函数．

（2）由题，有实根，即， 设，则，即有实根.则，因为，故当时取得最小值，当时取得最大值，故

20．杭州市为迎接2022年亚运会，规划修建公路自行车比赛赛道，该赛道的平面示意图为如图的五边形ABCDE，运动员的公路自行车比赛中如出现故障，可以从本队的器材车、公共器材车上或收容车上获得帮助．比赛期间，修理或更换车轮或赛车等，也可在固定修车点上进行．还需要运送一些补给物品，例如食物、饮料，工具和配件．所以项目设计需要预留出BD，BE为赛道内的两条服务通道（不考虑宽度），ED，DC，CB，BA，AE为赛道，．

（1）从以下两个条件中任选一个条件，求服务通道BE的长度；

①；②

（2）在（1）条件下，应该如何设计，才能使折线段赛道BAE最长（即最大），最长值为多少？

【答案】（1）答案见解析；（2）．

【分析】(1)在中，利用正弦定理，可求得BD=6.

选①：先由三角形的内角和可得∠BDC=，从而知为直角三角形，然后由勾股定理，得解;

选②：在中，由余弦定理可得关于BE的方程，解之即可.

(2)在中，结合余弦定理和基本不等式，即可得解.

【详解】（1）在中，由正弦定理知，，解得，

选①：，，

，

在中，；

若选②，在中，由余弦定理知 ，，化简得，解得或（舍负），

故服务通道BE的长度 ；

（2）在中，由余弦定理知，，

，

，即，当且仅当时，等号成立，此时，的最大值为．

【点睛】关键点睛：本题主要考查解三角形的实际应用，还涉及利用基本不等式解决最值问题，熟练掌握正弦定理、余弦定理是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题.

21．已知函数的图像向左平移个单位，得到函数的图像，且为偶函数.

(1)求函数的对称中心及的解析式.

(2)若对，.当时，都有成立，求m的取值范围；

(3)若，方程存在4个不相等的实数根，求实数a的取值范围.

【答案】(1)，对称中心为

(2)

(3)

【分析】（1）先根据条件以及三角函数的性质求出，再根据的解析式求出对称中心和；

（2）运用同构法构造新函数，再根据函数的单调性以及三角函数的性质求解；

（3）先对方程作因式分解，再根据题目的要求和的图像作分类讨论求解.

【详解】（1）将向左平移后得：，

并且是偶函数，，又，

即，

令，则，所以对称中心为；

（2）由得：，即，

令，则显然当时，由得是增函数，

，

当时，，，即；

（3）由方程得：，并且，

或，显然当时对应的根是，

欲使得所给的方程有4个不同的根，则当时，必须对应2个不同的根，

令，，当时，，

的图像如下：

其中，，欲使得当时对应2个不同的t，

则对应的范围是或，即或，所以a的取值范围是；

综上，（1），对称中心为；（2）；（3）.

22．在锐角△ABC中，角A，B，C对边分别为a，b，c，设向量，，且.

(1)求证：

(2)求的取值范围.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）根据余弦定理，正弦定理，解三角方程即可证明；

（2）根据正弦定理将边转化为角，构建关于角的函数，再利用换元法及对勾函数的性质，即可求解.

【详解】（1）因为，，且，

所以，

又由余弦定理，，得，

所以，即，

由正弦定理可得，，

在△ABC中，，代入上式，

得，，

即，又因为是锐角，

所以，即.

（2）由和正弦定理可得，

，

因为△ABC是锐角三角形，

所以，所以，

所以，，令，

则，

因为对勾函数在上单调递增，所以，

所以的取值范围是.