辽宁省沈阳市第二中学2025-2026学年高一下学期期中考试数学试题（含答案）

这是一份辽宁省沈阳市第二中学2025-2026学年高一下学期期中考试数学试题（含答案），共7页。试卷主要包含了测试时间等内容，欢迎下载使用。
说明：1.测试时间：120 分钟 总分：150 分
2.客观题涂在答题纸上，主观题答在答题纸的相应位置上
第 Ⅰ卷 （58 分）
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1． 已知复数z ，则 EQ \* jc3 \* hps20 \\al(\s\up 2147483647(_),z)的虚部是( )
A ．1 B ．- 1 C ．1 i D ．- 1 i
2 2 2 2
【答案】A
【详解】易知z i，所以i，虚部为．
2．在Δ ABC中，角 A ，B ，C 所对的边分别为 a ，b ，c ，且a = 1 ，LA = 30 ，则Δ ABC外接圆的周长为( )
A ．2π B ．4π C ．2 D ．1
【答案】A
【详解】设Δ ABC外接圆的半径为R，
因为a = 1 ，LA = 30 ，由正弦定理，2R 解得R = 1，故Δ ABC外接圆的周长为 2π .
3． 已知，则 sin2α = ( )
A ． B ． C ． D ．
【答案】C
【详解】由(sinα - csα)2 = sin2 α + cs2 α - 2sinαcsα = 1 - sin2α ,故sinα - csα
故 sinα - cs 故 1 - sin ，即 sin
4． 已知a b = sin c = tan ，则( )
A ．c < b < a B ．b < c < a C ．b < a < c D ．a < b < c
【答案】C
【详解】如图，角x ∈ 0, π 的终边与单位圆圆0交于点B，单位
圆与x轴正半轴交于点A，
过A作AD 丄 x轴，交角x 的终边于点D，则B(csx, sinx) ，D(1, tanx)，
2
则SΔ0AB = x 1 x sinx = ，扇形0AB的面积为 x，SΔ0AD = x 1 x tanx = ，由三者的大小关系可知，，即 sinx < x < tanx, x ∈ 0, ，
因 ，则 sin tan ，即b < a < c.
5 ．已知 sin ，则 cs ）
A ．18 B ．16 C ． 7 D ．__ 7
25 25 25 25
【答案】C
3 3 3 3
【详解】cs 2α __ π = cs 2 α + π) __ π = cs π __ 2 α + π) =__ cs2 α + π
6．在Δ ABC中，BC = 4 ，AC = 2 ，LACB ，则( )
A ．AB = 2 3 B ．若CD是Δ ABC的中线，则CD = 3
C ．若CD是Δ ABC的高，则CD = 2 D ．若CD是Δ ABC的角平分线，则CD
【答案】D
【详解】对于 A， 由余弦定理，得AB = BC2 + AC2 __ 2BC·ACcsLACB = A 错误；
对于 B， 由CD是Δ ABC的中线，得C 则|C B 错误；
对于 C ，由CD是Δ ABC的高，得AC·BCsinLACB = AB·CD，则CD C 错误；
对于 D， 由CD是Δ ABC的角平分线，得LACD = LBCD 由SΔACD + SΔBCD = SΔABC，
得AC·CDsin + BC·CDsin = AC·BCsin，则CD D 正确.
7．记Δ ABC的内角A, B, C的对边分别为a, b, c，若B = 60，b ac，则 sinA + sinC = ( )
A ． B ． 2 C ． D ．
【答案】C
【详解】因为B = 60, b ac ，则由正弦定理得 sinAsinC sin2 B 由余弦定理可得:b2 = a2 + c2 __ ac ac，
即:a2 + c ac ，根据正弦定理得sin2A + sin2 C sinAsinC 所以 2 = sin2A + sin2 C + 2sinAsinC
因为A, C为三角形内角，则 sinA + sinC > 0，则 sinA + sinC
8．已知平面向量EQ \* jc3 \* hps20 \\al(\s\up 0(_→),a)、EQ \* jc3 \* hps20 \\al(\s\up 2(_→),b)、EQ \* jc3 \* hps20 \\al(\s\up 0(_→),c) 满足 EQ \* jc3 \* hps20 \\al(\s\up 0(_→),a) = EQ \* jc3 \* hps20 \\al(\s\up 2(_→),b) = EQ \* jc3 \* hps20 \\al(\s\up 0(_→),a) . EQ \* jc3 \* hps20 \\al(\s\up 0(_→),c) = 2 ，且 EQ \* jc3 \* hps20 \\al(\s\up 0(_→),a) + λEQ \* jc3 \* hps20 \\al(\s\up 0(_→),c) ≥ EQ \* jc3 \* hps20 \\al(\s\up 0(_→),a) __ EQ \* jc3 \* hps14 \\al(\s\up 4(1_→),2c)I对任意实数λ恒成立，则 EQ \* jc3 \* hps14 \\al(\s\up 4(1__→),2a) + EQ \* jc3 \* hps20 \\al(\s\up 2(_→),b) + EQ \* jc3 \* hps14 \\al(\s\up 5(1 _→),2b) __ EQ \* jc3 \* hps20 \\al(\s\up 2147483647(_→),c) 的最小值为( )
A ． 3 + 1 B ．2 3 C ． 3 + 5 D ．2 5
【答案】B
【详解】由 ，两边平方得EQ \* jc3 \* hps20 \\al(\s\up 2147483647(_→),a)2 + 2λEQ \* jc3 \* hps20 \\al(\s\up 2147483647(_→),a) . EQ \* jc3 \* hps20 \\al(\s\up 2147483647(_→),c) + λ2 . EQ \* jc3 \* hps20 \\al(\s\up 2147483647(_→),c)2 ≥ EQ \* jc3 \* hps20 \\al(\s\up 2147483647(_→),a)2 __ EQ \* jc3 \* hps20 \\al(\s\up 2147483647(_→),a) . EQ \* jc3 \* hps20 \\al(\s\up 2147483647(_→),c) + EQ \* jc3 \* hps14 \\al(\s\up 4(1_→),4c)2又EQ \* jc3 \* hps20 \\al(\s\up 2147483647(_→),a) . EQ \* jc3 \* hps20 \\al(\s\up 2147483647(_→),c) = 2 ，且 对任意实数λ恒成立，
即EQ \* jc3 \* hps20 \\al(\s\up 2147483647(_→),c)2 恒成立，所以
即 EQ \* jc3 \* hps20 \\al(\s\up 2147483647(_→),c)2 __ 4)2 ≤ 0，所以EQ \* jc3 \* hps20 \\al(\s\up 2147483647(_→),c)2 = 4，即 EQ \* jc3 \* hps20 \\al(\s\up 2147483647(_→),c) = 2 .
由 EQ \* jc3 \* hps20 \\al(\s\up 0(_→),a) = EQ \* jc3 \* hps20 \\al(\s\up 2(_→),b) = EQ \* jc3 \* hps20 \\al(\s\up 0(_→),c) = 2，知 EQ \* jc3 \* hps14 \\al(\s\up 5(1__→),2a) + EQ \* jc3 \* hps20 \\al(\s\up 2(_→),b)l = EQ \* jc3 \* hps20 \\al(\s\up 0(_→),a) + EQ \* jc3 \* hps14 \\al(\s\up 5(1 _→),2b)l ， EQ \* jc3 \* hps14 \\al(\s\up 5(1 _→),2b) __ EQ \* jc3 \* hps20 \\al(\s\up 0(_→),c) = EQ \* jc3 \* hps20 \\al(\s\up 0(_→),c) __ EQ \* jc3 \* hps20 \\al(\s\up 2(_→),b)
所以 EQ \* jc3 \* hps14 \\al(\s\up 5(1__→),2a) + EQ \* jc3 \* hps20 \\al(\s\up 2(_→),b) + EQ \* jc3 \* hps14 \\al(\s\up 5(1 _→),2b) __ EQ \* jc3 \* hps20 \\al(\s\up 0(_→),c) = EQ \* jc3 \* hps20 \\al(\s\up 0(_→),a) + EQ \* jc3 \* hps14 \\al(\s\up 5(1 _→),2b)l + EQ \* jc3 \* hps20 \\al(\s\up 0(_→),c) __ EQ \* jc3 \* hps14 \\al(\s\up 5(1 _→),2b)I ≥ EQ \* jc3 \* hps20 \\al(\s\up 0(_→),a) + EQ \* jc3 \* hps20 \\al(\s\up 0(_→),c) = EQ \* jc3 \* hps20 \\al(\s\up 0(_→),a)2 + 2EQ \* jc3 \* hps20 \\al(\s\up 0(_→),a) . EQ \* jc3 \* hps20 \\al(\s\up 0(_→),c) + EQ \* jc3 \* hps20 \\al(\s\up 0(_→),c)2 = 2 3,
当且仅当 同向时取等号.
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得 6 分，部分选对得部分分．
9．下列化简正确的是( )
A ．tan25 + tan35 + 3tan25 . tan35 = 3
【答案】AC
【详解】A 选项， 由 tan 25 + 35 得 tan25 + tan35 = 3 __ 3tan25 . tan35，
即 tan25 + tan35 + 3tan25 . tan35 = 3，故 A 正确； B 选项，cs sin cs ，故 B 错误；
C 选项，tan45 ，故 C 正确；
D 选项 , 故 D 错误.
10．在Δ ABC中，角 A ，B ，C 所对的边分别为 a ，b ，c ，则下列结论正确的是( ) A ．若A > B，则 sinA > sinB
B ．若sin2A + sin2B > sin2 C，则Δ ABC是锐角三角形
C ．若A = 30，b = 5 ，a = 2，则Δ ABC有两解
D ．若Δ ABC的面积为 S，且S a2 + b2 __ c2 ，则C =
【答案】AD
【详解】对于 A， 由A > B，可得a > b， 由正弦定理可得 sinA > sinB，所以 A 正确；
对于 B ，由正弦定理得a2 + b2 > c2 ，所以 csC 所以 C 为锐角，但 A ，B 可能为钝角，不能确定Δ ABC为锐角三角形，故 B 错误；
对于 C，已知A = 30 ，b = 5 ，a = 2，根据正弦定理可知，解得 sinB 所以无解，C 错误；
对于 D，若Δ ABC的面积为 S，因为S = a2 + b2 __ c2)，则absinC x 2abcsC，所以sinC = csC，则 tanC ， 由于C ∈ 0,π, 则C = ，故 D 正确.
11． 已知函数f = sin ⑴x ，则下列说法正确的是( )
A ．若将f(x)图象向左平移个单位长度，所得图象与原图象重合，则⑴ 的最小值为 4
B ．若f() = f ()，则⑴ 的最小值为 1
C ．若f(x)在 ,π)内无零点，则⑴ 的取值范围为 0,
2 2 4
D ．若f(x)在 π ,π)内单调递减，则⑴ 的取值范围为 1 , 5
【答案】BD
【详解】对于 A 选项，函数fx = sin ⑴x + )的图象向左平移个单位长度，所得的函数的原图象重合，故π为最小正周期的整数倍，
4
所以 k，整理得⑴ = 8k ，(k ∈ Z)，故⑴ 的最小值为 8，故 A 错误；
对于 B 选项， 由于f(x = sin ⑴x + π , f π = f π)，
所以 sin (⑴π + π = sin (⑴π + π ,
即 所以⑴ =__ 12k或⑴ = 1 + 4k，
所以⑴ 的最小值为 1，故 B 正确；
对于 C 选项， 由已知得 整理得__ + 2k ≤ ⑴ ≤ + k，(k ∈ Z)，
当k = 0 时，0 < ⑴ ≤ 3 ，当k = 1 时，3 ≤ ⑴ ≤ 7，
4 2 4
故⑴ 的取值范围为 0, 3 U 3 , 7， 故 C 错误.
对于 D 选项， 由于fx = sin ⑴x + 在 ,π)内单调递减，
由于函数y = sinx在 , 内单调递减，
则满足 ，解得 + 4k ≤ ⑴ ≤ + 2k ，(k ∈ Z)，
当k = 0 时， ⑴ ∈ 1 , 5； 故 D 正确.
6 4 3 4
4 6 3
4 2 4
2 4
第Ⅱ卷 （92 分）
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
12．我国南宋著名数学家秦九韶，发现了从三角形三边求面积的公式，他把这种方法称为“三斜求积” ，它填补了我国传统数学的一个空白．如果把这个方法写成公式，就是S =
其中a, b, C是三角形的三边，S是三角形的面积．设某三角形的三边a = 3, b = 2, C = 5 ，则该三角形的面积S = ．
【答案】 11
2
【详解】因为a = 3, b = 2, C = 5 ，
13．若复数z1 和复数z2 满足 z1 = 6 ， z2 = 8 ， z1 + z2 = 10，则z1 __ z2 =
【答案】10
【详解】因为 z1 = 6 ， z2 = 8 ， z1 + z2 = 10，
由复数模的运算性质，可得 z1 + z2 2 = (z1 + z2)(z1 + z2) = (z1 + z2)(z1 + z2)
= z1z1 + z2z2 + z1z2 + z2z1 = z1 + z2 + z1z2 + z2z1，
所以62 + 82 + z1z2 + z2z1 = 100，所以z1z2 + z2z1 = 0，
又由 z1 __ z2 2 = z1z1 + z2z2 __ z1z2 __ z2z1 = z1 2 + z2 2 __ (z1z2 + z2z1) = 62 + 82 __ 0 = 100，所以z1 __ z2 = 10.
2 2
14．在Δ ABc中， 内角A,B,c所对的边分别为a,b ，C ，若a = 3bsinc，则的最大值等于
.
___________
【答案】 13
【详解】因为a = 3bsinc， 由正弦定理可得：sin A = 3 sin B sin c ，
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．
15．（13 分）已知函数fx = Asin(⑴x + φ)(A > 0, ⑴ > 0,0 < φ < π)的部分图象如图所示．
(1)求fx的解析式；
(2)求fx的对称轴方程；
(3)若方程fx = 3在(0, m1有且仅有一个实根，求实数m 的取值范围．
【详解】（1）由图可知A = f(x) max = 2，函数fx的最小正周期为T 又⑴ > 0，
所以，所以fx = 2sin(2x + φ)，
因为fx = 2sin 2 × __ + φI = 2sin φ __ = 2，可得 sin
所以φ __ = + 2kπk ∈ Z，则
因为 0 < φ < π, 故φ = ，因此f = 2sin 2x …………………………………5 分
故函数fx的对称轴方程为x Z) . …………………………………8 分
（3） 由fx = 3可得 2sin 2x 即 sin 2x
3 3 3
由x ∈ 0, m可得2π < 2x + 2π ≤ 2m + 2π ,
3 3 3
令t = 2x + 2π, 则t ∈ 2π , 2m + 2π, 如下图所示：
因为方程fx = 3在 0, m有且仅有一个实根，则
解得 ≤ m < π , 即实数m 的取值范围是 …………………………………13分
_→ _→ π 1
16．（15 分） 已知向量a = (2csx, 1) ，b = __cs x + 3 , 2 ．
(1)若EQ \* jc3 \* hps20 \\al(\s\up 0(_→),a)聂且x ，求 x 的值；
(2)记fx = EQ \* jc3 \* hps20 \\al(\s\up 2147483647(_→),a) . EQ \* jc3 \* hps20 \\al(\s\up 2(_→),b) ，x ∈R．
①求fx的单调增区间；
②若任意x ， 均满足__2 ≤ f x __ m ≤ 5，求实数 m 的取值范围．
【详解】（1） 由EQ \* jc3 \* hps20 \\al(\s\up 0(_→),a)聂EQ \* jc3 \* hps20 \\al(\s\up 2(_→),b)，则 2csx cs ， 即 csx =__ cs x + ，
解法 1：所以 csx = cs cs
2 3 6 3 3 3
由于x ∈ 0, π, 所以2π __ x ∈ π , 2π, 所以x = π __ x + π, 则x = π .
解法 2 ：所以 csx + cs ，即 csx + csx __ sinx = 0，因为 csx与 sinx不能同时为零，所以 csx ≠ 0，tanx = 3．
2 3
因为x ∈ 0, π, 所以x = π . 5 分
由 2kπ __ π ≤ 2x __ π ≤ 2kπ + π , 得kπ __ π ≤ x ≤ kπ + π , k ∈Z，
2 6 2 6 3
所以fx的单调增区间为 kπ __ , kπ + ,k ∈Z. …………………………………10 分
②因为x ，所以 2x
所以当 2x ，即x =__ 时，f xmin =__ 1；
当 2x ，即x = 时，f x max = ．
因为__2 ≤ fx __ m ≤ 5 恒成立，所以fx __ 5 ≤ m ≤ f x + 2 恒成立，
所以fx max __ 5 ≤ m ≤ f xmin + 2，因此__ ≤ m ≤ 1，
即 m 的取值范围为 …………………………………15 分
17．（15 分）某海域的东西方向上分别有 A，B 两个观测点（如图），它们相距 25 6海里．现有一艘轮船在 D 点发出求救信号，经探测得知 D 点位于A 点北偏东45，B 点北偏西75，这时位于 B 点南偏西45且与 B 相距 80 海里的 C 点有一救援船，其航行速度为 35 海里/小时．
(1)求 B 点到 D 点的距离BD；
(2)若命令 C 处的救援船立即前往 D 点营救，求该救援船到达 D 点需要的时间．
【详解】（1）由题意知：AB = 25 6，LDBA = 90 __ 75 = 15，LDAB = 90 __ 45 = 45，所以LADB = 180 __ 45 __ 15 = 120，
在Δ ABD中， 由正弦定理可得： BD = AB 即 BD = 25 6 ，
所以BD 海里)； …………………………………7 分（2）在Δ BCD中，LCBD = 180 __ 75 __ 45 = 60 ，BC = 80 ，BD = 50，
由余弦定理可得：
CD2 = BC2 + BD2 __ 2BC . BDcsLCBD
1
= 6400 + 2500 __ 2 × 80 × 50 × = 4900，
2
所以CD = 70 海里，所以需要的时间为 …………………………………15分
sinLDAB sinLADB sin45 sin120
18．（17 分）在Δ ABC中，角A ，B ，C的对边分别为a ，b ，c ，且acsC + 3asinC = b + c. (1)求A的值；
(2)若Δ ABC为锐角三角形，且c = 3 ，求Δ ABC面积的取值范围．
(3)若a + 1 = b, c > 2，当Δ ABC的周长最小时，求c 的值.
【详解】（1） 由正弦定理可得 sinAcsC + 3sinAsinC = sinB + sinC，又 sinB = sin (π __ A __ C) = sin (A + C) = sinAcsC + sinCcsA，
则 sinAcsC + 3sinAsinC = sinAcsC + sinCcsA + sinC，
即 3sinAsinC = sinCcsA + sinC，又C ∈ 0,π, 故 sinC ≠ 0，则 3sinA = csA + 1，故sinA __ csA = 2sin
6 2 6 6 6 6 6 3
即 sin A __ π = 1 ，又A __ π ∈ __ π , 5π , 故A __ π = π , 即A = π ； ………………………5 分
（2） 由（1）知：A = ；
法一、由正弦定理 2
所以AC
又 A+B+C=π , A 则B C，
因为Δ ABC为锐角三角形B C，
, 即 0 EQ \* jc3 \* hps20 \\al(\s\up 8( 3 ，1 < 3 · 1 + 1 < 2，
3 2 2 tanC 2
所以
所以Δ ABC的面积的取值范围为 …………………………………10 分
法二、求 b 的范围
S = 1 bcsinA = 1 b 3sin π = 3 b ，a2 = b2 + c2 __ 2bccs π = b2 + 3 __ 3b， 2 2 3 4 3
因为Δ ABC为锐角三角形，
所以 即EQ \* jc3 \* hps20 \\al(\s\up 6(b),3)2