2025--2026学年甘肃省天水市第二中学等校高二下册期中考试数学试题 [含解析]

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一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 对于以下四个函数：①；②；③；④．在区间上函数的平均变化率最大的是（ ）
A. ①B. ②C. ③D. ④
2. 下列导数运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
3. 在空间直角坐标系中，点关于轴的对称点为点，则点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
4. 已知，，则等于（ ）
A. B.
C. D.
5. 某个弹簧振子在振动过程中的位移y(单位：mm)与时间t(单位：s)之间的关系为.则时，弹簧振子的瞬时速度为（ ）
A. B. 0C. D.
6. 已知两个向量，，且，则的值为（ ）
A. 1B. C. D. 6
7. 若函数在区间上单调递减，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
8. 若函数有两个不同的极值点，则实数a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. （多选题）如图，已知平行六面体，点是的中点，下列结论中正确的是（ ）．

A. B.
C. D.
10. 定义在上的可导函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A. -2是函数的极大值点，-1是函数的极小值点
B. 0是函数的极小值点
C. 函数的单调递增区间是
D. 函数的单调递减区间是
11. 若函数的导函数是偶函数，则下列说法正确的是（ ）
A. 的图象关于中心对称
B. 在点处的切线方程为：
C. 最小值为
D. 对任意，，都有
第Ⅱ卷（非选择题）
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知函数，则曲线在点处的切线方程为________.
13. 函数的单调增区间是___________.
14. 在棱长为3的正方体中，为线段靠近的三等分点.为线段靠近的三等分点，则直线到平面的距离为______.
四、解答题：本大题共5小题，共77分.解应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知空间三点，设
（1）求；
（2）若向量与互相垂直，求实数k的值.
16. 已知函数在时取得极大值4.
（1）求实数a，b的值；
（2）求函数在区间上的最值.
17. 如图，在直三棱柱中，，，D，E分别是，BC的中点．
（1）求证：平面ABD；
（2）求异面直线AC与BD所成角的余弦值．
18. 如图，已知平面平面，为等腰直角三角形，，四边形为直角梯形，，.
（1）求二面角的余弦值；
（2）线段QB上是否存在点M，使得平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.
19. 已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若有两个极值点，求证：．
数学
第Ⅰ卷（选择题）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 对于以下四个函数：①；②；③；④．在区间上函数的平均变化率最大的是（ ）
A. ①B. ②C. ③D. ④
答案：C
解析：
思路：分析求出四个函数的平均变化率，然后比较即可.
解答过程：①，②，③，④．
故选：C．
2. 下列导数运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
思路：利用基本初等函数的导数即可得解.
解答过程：对于A，因为(为常数),所以，故A错误；
对于B，，故B错误；
对于C，，故C正确；
对于D，，故D错误.
故选：C
3. 在空间直角坐标系中，点关于轴的对称点为点，则点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
思路：根据空间中关于坐标轴对称的点的坐标特征可直接得到结果.
解答过程：关于轴的对称点坐标为，即.
故选：B.
4. 已知，，则等于（ ）
A. B.
C. D.
答案：B
解析：
思路：根据向量坐标运算即可.
解答过程.
故选：B.
5. 某个弹簧振子在振动过程中的位移y(单位：mm)与时间t(单位：s)之间的关系为.则时，弹簧振子的瞬时速度为（ ）
A. B. 0C. D.
答案：C
解析：
思路：根据诱导公式化简函数，然后求出导函数，代入计算即可求解.
解答过程：由题可得位移是关于时间的函数，且满足，
则，
则该弹簧振子在时的瞬时速度是.
故选：C
6. 已知两个向量，，且，则的值为（ ）
A. 1B. C. D. 6
答案：C
解析：
思路：由知必存在，使得，即，即可求解.
解答过程：因为，
所以存在使得，即，
所以.
故选：C.
方法提示：事实上，若且，则必存在，使得，即，若均不为零，则有.
7. 若函数在区间上单调递减，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
思路：由题意可得在上恒成立，参变分离后计算即可得.
解答过程：由题意可得在上恒成立，
故在上恒成立，
由，故.
故选：B.
8. 若函数有两个不同的极值点，则实数a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
思路：结合题意可将问题转化为方程有两个不同正实数根、，解出方程组即可得.
解答过程：，
由函数有两个不同的极值点，故函数有两个变号零点，
即当时，有两个不同正实数根，
令方程有两个不同正实数根为、，
则有，，则，解得，
即实数a的取值范围是.
故选：C.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. （多选题）如图，已知平行六面体，点是的中点，下列结论中正确的是（ ）．

A. B.
C. D.
答案：ACD
解析：
思路：由空间向量的线性运算进行求解即可．
解答过程：对于A，四边形是平行四边形，，A正确；
对于B，，B错误；
对于C，，C正确；
对于D，，D正确．
故选：ACD．
10. 定义在上的可导函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A. -2是函数的极大值点，-1是函数的极小值点
B. 0是函数的极小值点
C. 函数的单调递增区间是
D. 函数的单调递减区间是
答案：BC
解析：
思路：根据导函数的正负，即可判断原函数单调性和极值，得出正确选项.
解答过程：由题意可得，当时，，
当时，，
所以函数的单调递减区间是，单调递增区间是，
所以0是函数的极小值点，所以B，C正确，A，D错误.
故选：BC
11. 若函数的导函数是偶函数，则下列说法正确的是（ ）
A. 的图象关于中心对称
B. 在点处的切线方程为：
C. 最小值为
D. 对任意，，都有
答案：ABD
解析：
思路：求出函数的导函数，由求出的值，即可得到函数解析式，从而判断函数的奇偶性，即可判断A，利用导数的几何意义即可判断B，由，即可判断C，利用作差法判断D.
解答过程：因为，则，
又是偶函数，所以，即，
所以对任意的恒成立，所以，解得，则，定义域为，
且，即为奇函数，
所以的图象关于中心对称，故A正确；
， ，所以在处的切线方程为，即
，故B正确；
，故C错误；
设任意，则，，则，
又，
所以
，当且仅当时取等号，
所以对任意，都有，故D正确；
故选：ABD
第Ⅱ卷（非选择题）
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知函数，则曲线在点处的切线方程为________.
答案：
解析：
思路：根据切点和斜率求得切线方程.
解答过程：，，
切线斜率，故切线方程为，
即.
故
13. 函数的单调增区间是___________.
答案：##
解析：
思路：首先对求导，可得，令，解可得答案．
解答过程：解：
由得，
故的单调递增区间是.
故
14. 在棱长为3的正方体中，为线段靠近的三等分点.为线段靠近的三等分点，则直线到平面的距离为______.
答案：##
解析：
思路：先证明平面，再求出平面的法向量和直线的方向向量，应用点到平面的距离公式求得结果.
解答过程：如图，以D为坐标原点建立空间直角坐标系，
则，
所以，所以，
而平面，平面，故平面，
所以直线到平面的距离即为点到平面的距离.
又，，
设平面的法向量为，
故，即，取，则，
又，
故点到平面的距离为.
故答案为.
四、解答题：本大题共5小题，共77分.解应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知空间三点，设
（1）求；
（2）若向量与互相垂直，求实数k的值.
答案：（1）
（2）或
解析：
思路：（1）先求出的坐标，再利用向量数量积的坐标公式计算即得；
（2）先求出和，再利用向量垂直的充要条件列出方程，代入化简计算即得k值.
（1）由题意，，则；
（2）由（1）可得
因向量与互相垂直，则得：，
解得，或.
16. 已知函数在时取得极大值4.
（1）求实数a，b的值；
（2）求函数在区间上的最值.
答案：（1）；
（2）最大值为4，,最小值为0.
解析：
思路：（1）先求导，根据，解方程组求出a，b的值；
（2）根据函数在区间上的单调性，分别求出极值和端点值，再比较得出最大值和最小值.
（1），由题意得，解得.
此时，，
当时，，所以在单调递增，
当时，，所以在单调递减，
当时，，所以在单调递增，
所以在时取得极大值.
所以.
（2）由（1）可知，在单调递增，在单调递减，在单调递增.
又因为，，，，
所以函数在区间上的最大值为4，,最小值为0.
17. 如图，在直三棱柱中，，，D，E分别是，BC的中点．
（1）求证：平面ABD；
（2）求异面直线AC与BD所成角的余弦值．
答案：（1）证明见解析
（2）．
解析：
思路：（1）取AB的中点F，连接DF，EF，可证得四边形是平行四边形，进而得到，根据线面平行的判定定理可证得结论；
（2）以为坐标原点可建立空间直角坐标系，根据线线角的向量求法可求得结果.
（1）如图，取AB的中点F，连接DF，EF，
因为E是的中点，所以，且，
又，，D是的中点，
∴，，∴四边形是平行四边形．
∴，又平面ABD，平面ABD，
∴平面ABD．
（2）以B为坐标原点，BA，BC，所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
从而，．
∴，
∴直线AC与BD所成角的余弦值为．
18. 如图，已知平面平面，为等腰直角三角形，，四边形为直角梯形，，.
（1）求二面角的余弦值；
（2）线段QB上是否存在点M，使得平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.
答案：（1）
（2）解析：
思路：（1）先利用面面垂直的性质定理证平面，建立空间直角坐标系，利用向量法即可求解；
（2）利用共线关系表示点的坐标，利用列式求解即可求解.
（1）取的中点为.
平面平面平面，平面平面，
平面.
以点为坐标原点，分别以直线为轴，轴，过且平行的直线为轴，
建立如图的空间直角坐标系，
，
，，，
设平面的法向量为
即
令，则.
又平面的法向量为，则，
设二面角的平面角为，由图形知为锐角，
，即二面角的余弦值为.
（2）设，，
.
又平面的法向量为平面，∴，
∴，，即.
∴，故在线段上存在点，使平面，且的值是.
19. 已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若有两个极值点，求证：．
答案：（1）答案见解析
（2）证明见解析．
解析：
思路：（1）求出导函数，分类讨论确定的解，确定的正负，得单调性；
（2）同（1）得，且两个极值点满足，，计算并化为的函数，引入函数，由导数得单调性后可证．
（1）定义域为，
，，
①当时，恒成立，函数在上单调递增；
②当时，由得，
或时，，时，，
函数在递增；在递减；
（2）若存在两个极值点，则是方程的两个根，
∴，，，
令，所以在上单调递减，
则，又，故，所以，即．