2025--2026学年甘肃省天水市第二中学等校高一下册期中检测数学试题 [含解析]

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一、单项选择题：本期共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知复数，则的虚部是（ ）
A. 2B. C. D.
2. （ ）
A. B. C. D.
3. 已知，，且，则等于（ ）
A. 2B. C. 1D.
4. △ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知，，，则b=
A. B. C. 2D. 3
5. 如图，在中，，为CD的中点，设，，则（ ）
A. B. C. D.
6. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
7. 设，，，则（ ）
A. B. C. D.
8. 如图所示，为了测量山高，选择和另一座山的山顶作为测量基点，从点测得点的仰角，点的仰角，，从点测得．已知山高，则山高（单位：）为（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知复数（为虚数单位），则（ ）
A. z的虚部为B. z的共轭复数为
C. D. z在复平面内对应的点位于第一象限
10. 已知平面向量，，则（ ）
A. B. 与可作为一组基底向量
C. 与夹角的余弦值为D. 在方向上的投影向量的坐标为
11. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是( ).
A. 若，则
B. 若，则为锐角三角形
C. 若，则为等腰三角形
D. 若，，这样的三角形有两解，则的取值范围为
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. ______.
13. 若，则__________.
14. 如图，在中，已知边上的两条中线相交于点，则___________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知向量与的夹角为，且.
（1）求的值；
（2）求的值；
（3）求向量与向量的夹角.
16. 设，，，为平面内的四点，已知，，.
（1）若四边形为平行四边形，求点的坐标；
（2）若，，三点共线，，求点的坐标.
17. 已知，，且．
（1）求的值；
（2）求的值．
18. 已知，，分别为三个内角，，的对边，且．
（1）求角的大小；
（2）若，，求的面积．
19. 已知，，．
（1）求函数的解析式；
（2）求在上的最大值和最小值．
（3）设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若且，求周长的最大值．
数学
第一部分（选择题 共58分）
一、单项选择题：本期共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知复数，则的虚部是（ ）
A. 2B. C. D.
答案：A
解析：
思路：根据复数运算求得，根据虚部定义求得结果.
解答过程： ，∴z的虚部为：2
故选：A
2. （ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：
解答过程：因为，所以.
3. 已知，，且，则等于（ ）
A. 2B. C. 1D.
答案：C
解析：
思路：由向量平行的充要条件即可求解.
解答过程：因为，，且，
所以，解得.
故选：C.
4. △ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知，，，则b=
A. B. C. 2D. 3
答案：D
解析：
解答过程：由余弦定理得，
解得（舍去），故选D.
【考点】余弦定理
【名师方法提示：本题属于基础题,考查内容单一,根据余弦定理整理出关于b的一元二次方程,再通过解方程求b.运算失误是基础题失分的主要原因,请考生切记！
5. 如图，在中，，为CD的中点，设，，则（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：
思路：根据向量的线性运算结合条件即可得答案.
解答过程：由已知得
.
故选：D.
6. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：
思路：根据，代入即可求解.
解答过程：因为，
由.
故选：D.
7. 设，，，则（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
思路：根据二倍角公式化简，再根据特殊角的三角函数值判断的大致范围选择即可
解答过程：根据正余弦和正切的二倍角公式有，，，.因为，，，故
故选：B
8. 如图所示，为了测量山高，选择和另一座山的山顶作为测量基点，从点测得点的仰角，点的仰角，，从点测得．已知山高，则山高（单位：）为（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
思路：计算出，在中，利用正弦定理求得，然后在中可计算出.
解答过程：在中，，为直角，则，
在中，，，则，
由正弦定理，可得，
在中，，，.
故选：A.
方法提示：本题考查测量高度问题，考查正弦定理的应用，考查计算能力，属于中等题.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知复数（为虚数单位），则（ ）
A. z的虚部为B. z的共轭复数为
C. D. z在复平面内对应的点位于第一象限
答案：ACD
解析：
思路：先对复数分母进行实数化，得到z=32+12i ，再根据共轭复数、复数的模和复数的几何意义判断选项.
解答过程：先对复数进行实数化，则：z=1+2i1+i=(1+2i)(1−i)(1+i)(1−i)=1−i+2i−2i21−i2=3+i2=32+12i ，那么
对于选项A：复数的虚部为，故A正确；
对于选项B， 的共轭复数为32−12i ，故B错误；
对于选项C， |z|=(32)2+(12)2=102，故C正确；
对于选项D，在复平面内对应的点为，横、纵坐标均为正，属于第一象限，故D正确.
10. 已知平面向量，，则（ ）
A. B. 与可作为一组基底向量
C. 与夹角的余弦值为D. 在方向上的投影向量的坐标为
答案：BC
解析：
思路：对A：计算即可得；对B：借助基底向量的定义即可得；对C：借助平面向量夹角公式计算即可得；对D：借助投影向量定义计算即可得.
解答过程：对A：，则，故A错误；
对B：易得与为不共线的向量，故与可作为一组基底向量，故B正确；
对C：，故C正确；
对D：，故D错误.
故选：BC.
11. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是( ).
A. 若，则
B. 若，则为锐角三角形
C. 若，则为等腰三角形
D. 若，，这样的三角形有两解，则的取值范围为
答案：AD
解析：
思路：利用正弦定理判断A、D，利用余弦定理判断B，利用正弦定理将边化角，再由二倍角公式判断C.
解答过程：对于A，因为，由正弦定理可得，所以，故A正确；
对于B，由余弦定理，可知为锐角，
但是无法判断角A和角B是否为锐角，所以无法判断是否为锐角三角形，故B错误；
对于C，因为，所以，即，
又，所以，所以或，
即或，即为等腰三角形或直角三角形，故C错误；
对于D，因为三角形有两解，所以，即，即的取值范围为，故D正确.
故选：AD.
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. ______.
答案：
解析：
思路：利用两角和的正切公式计算，整理即可.
解答过程：因为，
所以.
故
13. 若，则__________.
答案：
解析：
思路：平方后利用二倍角公式可得
解答过程：，，
解得.
故答案为.
14. 如图，在中，已知边上的两条中线相交于点，则___________．
答案：
解析：
思路：根据给定条件，取为基底，利用向量数量积公式求解作答.
解答过程：在中，令，，则，
所以，
因为、边上的两条中线，相交于点，则，，
于是.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知向量与的夹角为，且.
（1）求的值；
（2）求的值；
（3）求向量与向量的夹角.
答案：（1）
（2） （3）
解析：
思路：（1）根据题意，利用向量的数量积的定义即可求解；
（2）根据题意，利用向量的数量积的运算律，直接计算，即可求解；
（3）根据题意，利用向量的夹角公式，直接计算，即可求解.
（1）因为向量与的夹角为，且，
则.
（2）因为向量与的夹角为，且，且.
可得.
（3）设向量与向量的夹角为，
可得，
因为，可得，所以向量与向量的夹角为.
16. 设，，，为平面内的四点，已知，，.
（1）若四边形为平行四边形，求点的坐标；
（2）若，，三点共线，，求点的坐标.
答案：（1）
（2）解析：
思路：（1）设，利用，可求点的坐标；
（2）利用三点共线，可得，可得，利用数量积可求点的坐标.
（1）因为，，，所以，
因为四边形为平行四边形，所以，
设，所以，
所以，所以
（2）因为，，三点共线，，
所以设，
又，所以，所以，
又
所以.
17. 已知，，且．
（1）求的值；
（2）求的值．
答案：（1）
（2）解析：
思路：（1）根据角的范围和题设条件，求出和的值，利用和角公式求出的值，即可求得的值；
（2）利用二倍角公式求出，的值，根据和角的余弦公式即可求得.
（1）因为，所以，
则，，
又因为，，
所以，，
所以
，
因为，所以；
（2）由（1）知，，，
故，
，
所以．
18. 已知，，分别为三个内角，，的对边，且．
（1）求角的大小；
（2）若，，求的面积．
答案：（1）
（2）．
解析：
思路：（1）利用正弦定理角化边化简，结合两角和的正弦公式即可推出，即可求解；
（2）由正弦定理求出c，由余弦定理求出a，结合三角形面积公式即可求得答案.
（1）在中，，
由正弦定理得，．
又，，
，，，
，．
（2）在中，，，，
由正弦定理得，，
由余弦定理得，解得（负值舍去），
的面积为．
19. 已知，，．
（1）求函数的解析式；
（2）求在上的最大值和最小值．
（3）设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若且，求周长的最大值．
答案：（1）
（2）最大值，最小值
（3）解析：
思路：（1）根据平面向量数量积的坐标运算规则计算得到展开式，再利用二倍角公式、辅助角公式化简整理，即可得到的解析式；
（2）由求出的取值范围，结合正弦函数的性质，即可计算出的最大、最小值；
（3）先由​结合B的范围求出角B，再利用余弦定理得到边的关系，结合基本不等式求最大值，进而得到周长最大值.
解答过程：（1）由a→=3sinx,−csx,b→=csx,csx，
则fx=a→⋅b→=3sinxcsx−cs2x=32sin2x−12cs2x+1=sin2x−π6−12.
（2）当时，.
则当（即）时，取得sin2x−π6的最大值为1；
当（即）时，取得sin2x−π6的最小值为.
故的最大值为，最小值为.
（3）∵fB=12,∴sin2B−π6−12=12，即，
为的内角，. 故.
. 则.
又，由余弦定理，
得，即a+c2−3ac=3 .
由均值不等式得：a+c2−3⋅a+c22≤3 ，
即a+c24≤3⇒a+c2≤12 ，从而，
当且仅当时取等号，此时为等边三角形．
周长最大值.