2025--2026学年福建厦门实验中学高二下册期中考试数学试题 [含答案]

这是一份2025--2026学年福建厦门实验中学高二下册期中考试数学试题 [含答案]，共23页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知等比数列的公比，，则首项（ ）
A. B. C. 1D. 2
2. 已知函数的图象在点处的切线方程为，则（ ）
A. B. 3C. 4D. 8
3. 已知随机变量，且，则（ ）
A. 0.14B. 0.22C. 0.28D. 0.36
4. 某中学准备在校园科技节展示5款不同的AI学习软件，分别是：豆包、讯飞星火、文心一言、元宝、即梦．在展台中要求豆包和即梦两块展板相邻，且文心一言与讯飞星火两块展板不相邻，则有（ ）种不同的放置方式．
A. 12B. 24C. 36D. 48
5. 已知随机变量X的分布列为
若，则的值为（ ）
A. 2B. C. D.
6. 已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
7. 双曲线：的左右焦点分别为，以为直径的圆与双曲线的左支交于点（在第二象限），为坐标原点，且被直线平分，则双曲线的离心率为 （ ）
A. B. C. D.
8. 已知函数，若恒成立，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分数.
9. 某人工智能公司从某年起连续7年的利润情况如下表所示：
根据表中的数据得到关于的经验回归方程，则（ ）
A. 与之间的相关系数
B. 经验回归方程斜率的意义是每增加一个单位，平均增加0.5个单位
C. 第年的利润一定为亿元
D. 第年利润的残差为亿元
10. 对于随机事件，，若，，，则（ ）
A. B.
C. D.
11. 某人在次射击中，击中目标的次数为，，其中，，击中偶数次为事件，则下列说法正确的是（）
A. 当时，取得最大值
B. 若，，则的取值范围是
C. 若，，当取最大值时，则
D. 当时，随着n的增大而减小
三、填空题：本题共3小题，每题5分，共15分.
12. 在的展开式中，的系数为___________．
13. 如图，在平行六面体中，，，，则直线与直线所成角的余弦值为_____.
14. 有个编号分别为1，2，…，n的盒子，第1个盒子中有2个红球1个白球，其余盒子中均为1个红球1个白球，现从第1个盒子中任取一球放入第2个盒子，再从第2个盒子中任取一球放入第3个盒子，以此类推，则从第2个盒子中取到白球的概率是______，从第个盒子中取到白球的概率是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知等差数列的前项和为，，；数列的前项和.
（1）求数列与的通项公式；
（2）若，求数列的前项和.
16. 如图，在四棱锥中，，为的中点，.
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面的夹角的余弦值.
17. 在平面直角坐标系中，椭圆的两个焦点分别是，并且经过点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过的直线与椭圆相交于两点，求面积的最大值．
18. “英才计划”最早开始于2013年，由中国科协、教育部共同组织实施，到2023年已经培养了6000多名具有创新潜质的优秀中学生，为选拔培养对象，某高校在暑假期间从中学里挑选优秀学生参加数学和物理学科夏令营活动．
（1）若参加数学学科夏令营的7名中学生中恰有3人来自中学，从这7名中学生中选取3名中学生，求选取的中学生中来自中学的人数的分布列和数学期望；
（2）在夏令营活动中，物理学科举行了一次学科知识竞答活动，规则如下：两人一组，每一轮竞答中，每人分别答两题，若小组答对题数不小于3，则取得本轮胜利．已知甲乙两位同学组成一组，甲、乙答对每道题的概率分别为，．假设甲、乙两人每次答题相互独立，且互不影响．
（i）求甲、乙两位同学所在组每轮答题中取胜的概率；
（ii）当时，求的最大值．
19. 已知函数．
（1）求在上的极值；
（2）若在上恒成立，求实数的取值范围；
（3）若存在实数使得函数在上有两个不同的零点，证明：．
数学
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知等比数列的公比，，则首项（ ）
A. B. C. 1D. 2
答案：C
解析：
思路：由等比数列通项公式求解即可.
解答过程：由题意知，.
故选：C．
2. 已知函数的图象在点处的切线方程为，则（ ）
A. B. 3C. 4D. 8
答案：C
解析：
解答过程：由题意知，，
所以.
3. 已知随机变量，且，则（ ）
A. 0.14B. 0.22C. 0.28D. 0.36
答案：A
解析：
思路：利用正态密度曲线的对称性可求得的值.
解答过程：利用正态密度曲线的对称性可求得的值
因为随机变量，且，
则，
所以.
故选：A.
4. 某中学准备在校园科技节展示5款不同的AI学习软件，分别是：豆包、讯飞星火、文心一言、元宝、即梦．在展台中要求豆包和即梦两块展板相邻，且文心一言与讯飞星火两块展板不相邻，则有（ ）种不同的放置方式．
A. 12B. 24C. 36D. 48
答案：B
解析：
解答过程：根据题意将豆包、即梦捆绑为一个整体，则内部排列数为，
将豆包和即梦捆绑为一个整体，先排列该整体与元宝，所以排列数为，
2个元素排完后会产生 个空位，
又因为文心一言和讯飞星火不相邻，
所以从3个空位中选2个放入文心一言、讯飞星火，即排列数为 ，
所以总方法数为.
5. 已知随机变量X的分布列为
若，则的值为（ ）
A. 2B. C. D.
答案：D
解析：
解答过程：由题意可知，解得，
因为，解得，
所以.
6. 已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
解答过程：由，得，
因为函数在区间上单调递增，所以在上恒成立，
即对恒成立，而在上递增，所以，
所以实数的取值范围是.
7. 双曲线：的左右焦点分别为，以为直径的圆与双曲线的左支交于点（在第二象限），为坐标原点，且被直线平分，则双曲线的离心率为 （ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
思路：由为中位线及的三边比求出，进而由定义得与之间的关系，通过计算得出离心率.
解答过程：如图，
易知，设与的平分线交点为，
因为，则有，所以，
为的中点，则为的中点，
又在中，，
所以，
所以，
由双曲线定义，可得，
所以，所以双曲线的离心率，
故选：B.
8. 已知函数，若恒成立，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
思路：利用已知条件，把复杂不等式转化为简单函数，求导，利用导数分析单调性和极值，进而求出的取值范围．
解答过程：已知函数对恒成立，
则，
令，求导得，
单调递增，
，由单调性得，即，
令，求导得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
在处取得极大值：，
要使恒成立，只需满足，
的取值范围是．
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分数.
9. 某人工智能公司从某年起连续7年的利润情况如下表所示：
根据表中的数据得到关于的经验回归方程，则（ ）
A. 与之间的相关系数
B. 经验回归方程斜率的意义是每增加一个单位，平均增加0.5个单位
C. 第年的利润一定为亿元
D. 第年利润的残差为亿元
答案：AB
解析：
解答过程：由经验回归方程可知与之间的相关系数，故A正确；
因为经验回归方程的斜率为，
所以每增加一个单位，平均增加0.5个单位，故B正确；
将代入得，
所以第年的利润估计约为亿元，第年的利润不一定为亿元，故C错误；
将代入得，
由表可知，第年的观测值为，所以残差为，故D错误.
10. 对于随机事件，，若，，，则（ ）
A. B.
C. D.
答案：BCD
解析：
解答过程：选项A：因为，，
所以；
选项B：因为，，
所以；
选项C：因为，，
所以；
选项D：因为，，
所以.
11. 某人在次射击中，击中目标的次数为，，其中，，击中偶数次为事件，则下列说法正确的是（）
A. 当时，取得最大值
B. 若，，则的取值范围是
C. 若，，当取最大值时，则
D. 当时，随着n的增大而减小
答案：ACD
解析：
思路：对于A，根据，直接写出即可判断；对于B，求出概率，然后运用导数研究单调性，进而得到取值范围；对于C，求出，由求解范围即可；对于D，PA=Cn0×p0×1−pn−0+Cn2×p2×1−pn−2+Cn4×p4×1−pn−4+⋯ ，求出
PA=1+1−p−pn2=1+1−2pn2，借助函数分析单调性即可.
解答过程：对于A，，当时，取得最大值，故A正确；
对于B，因为PX=k=Cnk××1−pn−kk=0,1,2,⋯,n，若，则
PX≥32=PX=2+PX=3=C32×p2×1−p1+p3=−2p3+3p2.
由于，则f′p=−6p2+6p=−6pp−1，
由于，则，则在上单调递增.
则12=f12≤fp