2025--2026学年福建厦门市松柏中学高二下册期中考数学试题 [含答案]

这是一份2025--2026学年福建厦门市松柏中学高二下册期中考数学试题 [含答案]，共21页。试卷主要包含了 如下四个散点图中，正相关的是， 已知函数，则， 已知随机变量，且，则，14B， 若随机变量的分布列为等内容，欢迎下载使用。
一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.
1. 如下四个散点图中，正相关的是（ ）
A. B.
C. D.
2. 已知函数，则（ ）
A. 1B. C. 2D.
3. 已知随机变量，且，则（ ）
A. 0.14B. 0.22C. 0.28D. 0.36
4. 在某次无人机灯光表演秀中，有8架无人机排布成如下图形式，已知每架无人机均可以发出红、黄、蓝3种颜色的光，编号1至5号的无人机颜色必须相同，编号7、8号的无人机颜色必须相同，编号6号的无人机与其他无人机颜色均不相同，则这8架无人机同时发光时，一共可以有（ ）种灯光组合.
A. 18B. 15C. 12D. 9
5. 的展开式中二项式系数的和为64，则展开式中的常数项为（ ）
A. 8B. 12C. 15D.
6. 某中学通过随机询问的方式调查该校100名高中生爱好打篮球的情况，得到如下列联表．根据小概率值的独立性检验，则下列结论正确的是（ ）
（其中，，）
A. 爱好打篮球和性别有关
B. 爱好打篮球和性别有关，这个结论犯错误的概率不超过0.001
C. 爱好打篮球和性别无关
D. 爱好打篮球和性别无关，这个结论犯错误的概率不超过0.001
7. 若随机变量的分布列为
则下列结论不正确的是（ ）
A. B.
C. D.
8. 已知不等式，对恒成立，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 某校高三年级选考地理科的学生有100名，现将他们该科的一次考试分数转换为等级分，已知等级分X的分数转换区间为，若等级分，则（ ）
参考数据：；；
A. 这次考试等级分的标准差为5
B. 这次考试等级分超过80分的约有45人
C. 这次考试等级分在内的人数约为48人
D.
10. 已知，则（ ）
A.
B.
C.
D.
11. 已知是函数的极值点，则（ ）
A. 有1个零点
B. 当时，
C. 曲线关于点对称
D. 过点与曲线相切的直线有2条
第二部分（非选择题共92分）
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知离散型随机变量X的分布列服从两点分布，且，则______.
13. 为落实立德树人的根本任务，践行五育并举，某学校开设A，B，C三门劳动教育校本课程，现有甲、乙、丙、丁、戊五位同学报名参加该校劳动教育校本课程的学习，每位同学仅报一门，每门至少有一位同学参加，而甲不能参加C课程，则不同的报名方法数为_________．
14. 设为两个随机事件，已知，则__________.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 设某工厂有两个车间生产同型号家用电器，第1车间的次品率为0.2，第2车间的次品率为0.1，两个车间的成品都混合堆放在同一个仓库.假设第1，2车间生产电器的比为.
（1）一个客户从成品仓库随机提取一台产品，计算该产品为合格品的概率；
（2）若客户从成品仓库随机提取一台产品为合格品，求该产品是第1车间生产的概率.
16. 共享汽车进驻城市，绿色出行引领时尚，某市有统计数据显示，某站点5天的使用汽车用户的数据如下，用两种模型①：②分别进行拟合，进行残差分析得到如表所示的残差值及一些统计量的值：
（1）残差值的绝对值之和越小说明模型拟合效果越好，根据残差，比较模型①，②的拟合效果，应选择哪一个模型？并说明理由；
（2）求出（1）中所选模型的回归方程．
（参考公式：，，参考数据：，）
17. DeepSeek是我国自主研发的人工智能模型．某公司为提升其应用能力，组织A，B两个部门全体员工共60人参加培训．
（1）此次培训的员工中有5名部门领导，其中有3人来自A部门．从这5名部门领导中随机选取2人，记表示选取的2人中来自A部门的人数，求随机变量的分布列和数学期望；
（2）若每位员工经过培训后合格的概率为，经预测，培训合格的员工每人每年平均为公司创造利润20万元，培训未合格的员工每人每年平均为公司创造利润10万元，且公司每年为参加培训的每位员工支付2万元的其他成本和费用．试估计该公司A，B两部门经培训后创造的年利润（公司年利润=员工创造的利润-其他成本和费用）．
18. 如图，在四棱锥中，为矩形，底面，，，为棱的中点，为棱上一点，且，连接，，．
（1）求证：；
（2）求直线与平面所成角的正弦值；
（3）若平面与四棱锥的棱交于点，求的值．
19. 已知函数．
（1）当时，求曲线在处的切线方程；
（2）当时，若不等式恒成立，求a的取值范围；
（3）若有两个零点，且，证明：．
数学
一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.
1. 如下四个散点图中，正相关的是（ ）
A. B.
C. D.
答案：A
解析：
思路：
根据散点图中点的分布情况，判断是否具有相关性和正负相关关系.
解答过程：对于A，散点图中的点从左向右是上升的，且在一条直线附近，是正相关；
对于B，散点图中的点从左向右是下降的，且在一条直线附近，是负相关；
对于C、D，散点图中的点不成带状分布，没有明显的相关关系；
故选：A.
方法提示：方法点睛：该题考查的是有关正负相关的判断问题，解题方法如下：
（1）观察图中散点图是不是成带状区域；
（2）判断其从左往右上升正相关，下降负相关.
2. 已知函数，则（ ）
A. 1B. C. 2D.
答案：A
解析：
思路：根据导数的运算法则，再代入求解即可.
解答过程：由求导公式得：，
将代入导函数，得到关于的方程：，
所以.
3. 已知随机变量，且，则（ ）
A. 0.14B. 0.22C. 0.28D. 0.36
答案：A
解析：
思路：利用正态密度曲线的对称性可求得的值.
解答过程：利用正态密度曲线的对称性可求得的值
因为随机变量，且，
则，
所以.
故选：A.
4. 在某次无人机灯光表演秀中，有8架无人机排布成如下图形式，已知每架无人机均可以发出红、黄、蓝3种颜色的光，编号1至5号的无人机颜色必须相同，编号7、8号的无人机颜色必须相同，编号6号的无人机与其他无人机颜色均不相同，则这8架无人机同时发光时，一共可以有（ ）种灯光组合.
A. 18B. 15C. 12D. 9
答案：C
解析：
思路：利用已知条件，通过分类求解即可.
解答过程：若发出2种光，则有种；若发出3种光，则有种，
则共有种.
故选：C
5. 的展开式中二项式系数的和为64，则展开式中的常数项为（ ）
A. 8B. 12C. 15D.
答案：C
解析：
思路：依据题干得到，然后求得通项公式，根据常数项的特点计算即可.
解答过程：由题可知：，通项公式为，
令，所以常数项为.
故选：C
6. 某中学通过随机询问的方式调查该校100名高中生爱好打篮球的情况，得到如下列联表．根据小概率值的独立性检验，则下列结论正确的是（ ）
（其中，，）
A. 爱好打篮球和性别有关
B. 爱好打篮球和性别有关，这个结论犯错误的概率不超过0.001
C. 爱好打篮球和性别无关
D. 爱好打篮球和性别无关，这个结论犯错误的概率不超过0.001
答案：B
解析：
思路：首先计算出卡方，再根据独立性检验思想判断即可；
解答过程：解：根据列联表可得，因为，根据小概率值的独立性检验，爱好打篮球和性别有关，这个结论犯错误的概率不超过0.001，
故选：B
7. 若随机变量的分布列为
则下列结论不正确的是（ ）
A. B.
C. D.
答案：D
解析：
思路：根据数学期望及方差定义计算，再结合数学期望及方差的性质计算即可.
解答过程：因为随机变量的分布列可得，所以，
所以，所以，A选项正确；C选项正确；
，
所以，B选项正确，D选项错误.
故选：D.
8. 已知不等式，对恒成立，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：
思路：将问题转化为对恒成立，构造函数，进而通过导数方法求出函数的最小值，即可得到答案.
解答过程：不等式对恒成立，
即对恒成立，
令，
则，
因为函数在上单调递增，
所以函数在上单调递增，
又，，
所以存在唯一，使得，即，，
则时，；时，，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，
则，即.
故选：D.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 某校高三年级选考地理科的学生有100名，现将他们该科的一次考试分数转换为等级分，已知等级分X的分数转换区间为，若等级分，则（ ）
参考数据：；；
A. 这次考试等级分的标准差为5
B. 这次考试等级分超过80分的约有45人
C. 这次考试等级分在内的人数约为48人
D.
答案：ACD
解析：
思路：根据的含义易判断A,B两项，对于C,D,先把范围转换成用表示，利用概率值求出相应范围的概率值，再进行估算即可.
解答过程：对于A，因，则，故A正确；
对于B，因，即这次考试等级分超过80分的学生约占一半，故B错误；
对于C，因,
故这次考试等级分在内的人数约为人，故C正确；
对于D，因
,
故D正确.
故选：ACD.
10. 已知，则（ ）
A.
B.
C.
D.
答案：BC
解析：
思路：A选项，令可求；B选项令可求；C选项，令可求；D选项，把和时的展开式相加可求.
解答过程：令，得，故A错误；
令，得，故B正确；
令，得，故C正确；
将与这两式的左右两边分别相加，
得，解得，故D错误.
故选：BC.
11. 已知是函数的极值点，则（ ）
A. 有1个零点
B. 当时，
C. 曲线关于点对称
D. 过点与曲线相切的直线有2条
答案：ACD
解析：
思路：求出导函数，利用极值点的性质求得，然后求出的单调区间，结合单调性及极值的符号，根据零点存在定理判断零点个数判断A；先判断，再根据单调性判断B；由判断曲线的对称性判断C；设切点，利用导数的几何意义求出切线方程，将点代入切线方程化简得，进而求出切点坐标，即可判断切线条数判断D.
解答过程：由得，则，
解得，则，当时，，
当时，，所以在，上单调递增，
在上单调递减，所以的极小值为，极大值为，
满足是函数的极值点，
又，由零点存在定理得有1个零点，A正确；
由，得，，所以，又在上单调递增，所以，故B错误；
因为
，所以曲线关于点对称，C正确；
设过点的直线与曲线相切于点，
所以切线方程，
将点代入切线方程为，
整理得，即，解得，或，
过点的直线与曲线相切于点或，
因此过点与曲线相切的直线有2条，D正确．
故选：ACD．
第二部分（非选择题共92分）
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知离散型随机变量X的分布列服从两点分布，且，则______.
答案：
解析：
思路：利用两点分别的概率和性质结合给定条件求解即可.
解答过程：因为X的分布列服从两点分布，所以，
因为，
所以
∴，∴.
故
13. 为落实立德树人的根本任务，践行五育并举，某学校开设A，B，C三门劳动教育校本课程，现有甲、乙、丙、丁、戊五位同学报名参加该校劳动教育校本课程的学习，每位同学仅报一门，每门至少有一位同学参加，而甲不能参加C课程，则不同的报名方法数为_________．
答案：100
解析：
思路：先分组后排列，分组时有均分组则需要消序，排列时有特殊元素则需要优先排.
解答过程：将甲、乙、丙、丁、戊五位同学分为三组，每组人数分别为2、2、1或3、1、1，
此时分组方法有：；
然后将这三组同学分配给三门劳动教育校本课程，由于甲不能参加课程，
此时分配方法有：；
由分步计数原理可知，不同的报名方法种数为，
故答案为.
14. 设为两个随机事件，已知，则__________.
答案：##
解析：
思路：条件概率公式计算即可得.
解答过程：根据条件概率公式 PB|A=P(AB)P(A)，代入已知，
得.
由条件概率公式 ，变形得，
代入，
得.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 设某工厂有两个车间生产同型号家用电器，第1车间的次品率为0.2，第2车间的次品率为0.1，两个车间的成品都混合堆放在同一个仓库.假设第1，2车间生产电器的比为.
（1）一个客户从成品仓库随机提取一台产品，计算该产品为合格品的概率；
（2）若客户从成品仓库随机提取一台产品为合格品，求该产品是第1车间生产的概率.
答案：（1）
（2）解析：
（1）设“随机提取一台产品是合格品”为事件，“提取的一台产品是第车间的产品”为事件，“提取的一台产品是第车间的产品”为事件
根据题目可得，，，，
根据全概率公式，可得.
（2）根据贝叶斯公式，可得： .
16. 共享汽车进驻城市，绿色出行引领时尚，某市有统计数据显示，某站点5天的使用汽车用户的数据如下，用两种模型①：②分别进行拟合，进行残差分析得到如表所示的残差值及一些统计量的值：
（1）残差值的绝对值之和越小说明模型拟合效果越好，根据残差，比较模型①，②的拟合效果，应选择哪一个模型？并说明理由；
（2）求出（1）中所选模型的回归方程．
（参考公式：，，参考数据：，）
答案：（1）应该选择模型①，理由见解析
（2）解析：
思路：（1）分别计算模型①和模型②的残差值的绝对值之和，比较大小即可做出判断；
（2）先求出，再由参考数据和参考公式求出即可.
（1）应该选择模型①
模型①的残差值的绝对值之和为，
模型②的残差值的绝对值之和为，
∵，∴模型①的拟合效果较好，应该选模型①．
（2）由题可知：，，，．
∴，
．∴y关于x的回归方程为．
17. DeepSeek是我国自主研发的人工智能模型．某公司为提升其应用能力，组织A，B两个部门全体员工共60人参加培训．
（1）此次培训的员工中有5名部门领导，其中有3人来自A部门．从这5名部门领导中随机选取2人，记表示选取的2人中来自A部门的人数，求随机变量的分布列和数学期望；
（2）若每位员工经过培训后合格的概率为，经预测，培训合格的员工每人每年平均为公司创造利润20万元，培训未合格的员工每人每年平均为公司创造利润10万元，且公司每年为参加培训的每位员工支付2万元的其他成本和费用．试估计该公司A，B两部门经培训后创造的年利润（公司年利润=员工创造的利润-其他成本和费用）．
答案：（1）分布列见解析，期望为
（2）万元
解析：
思路：（1）首先确定，根据超几何分布求概率，写出分布列和数学期望；
（2）首先设为经过培训合格的人数，且，根据题意求所有员工每年创造的利润，再代入公式年利润公式，即可求解.
（1）由题意可知，，
，，，
所以随机变量的分布列如下，
；
（2）设为经过培训合格的人数，，，不合格人数为，
员工为公司创造的利润为万元，
则万元，
公司的年利润为万元.
所以估计该公司A，B两部门经培训后创造的年利润为万元.
18. 如图，在四棱锥中，为矩形，底面，，，为棱的中点，为棱上一点，且，连接，，．
（1）求证：；
（2）求直线与平面所成角的正弦值；
（3）若平面与四棱锥的棱交于点，求的值．
答案：（1）证明见解析
（2） （3）
解析：
思路：（1）先根据线面垂直的判定定理证明出平面，进而根据线面垂直的性质推断出，然后根据线面垂直的判定定理，证明出平面，所以；
（2）根据几何体特征，建立空间直角坐标系，先求得平面的法向量，再结合线面角的向量求法，即可求得直线与平面所成角的正弦值；
（3）设，由（2）所建的直角坐标系，得，因为点是平面与四棱锥的棱的交点，所以，即可求得的值.
（1）因为底面，底面，所以，
又底面为矩形，所以，
又平面，平面，且，
所以平面，又平面，所以，
又，为棱的中点，所以，
又平面，平面，且，
所以平面，又平面，所以；
（2）由（1）可得,
所以，以为原点，以为轴，以为轴，以为轴，建立空间直角坐标系，
如图所示，则，
则，
设平面的法向量为，则，
令，解得，即平面的法向量为，
设直线与平面所成角为，则
（3）因为平面与四棱锥的棱交于点，
设，则，
设，则，则，
所以，所以，
由（2）得，平面的法向量为，
所以，即，解得，
所以的值为.
19. 已知函数．
（1）当时，求曲线在处的切线方程；
（2）当时，若不等式恒成立，求a的取值范围；
（3）若有两个零点，且，证明：．
答案：（1）；
（2）；
（3）证明见解析.
解析：
思路：（1）应用导数的几何意义求切线方程即可；
（2）问题化为且，利用导数研究的性质，并结合分类讨论判断不等式恒成立，即可得参数范围；
（3）由题设，应用分析法将问题化为证明，令，进一步化为证明，利用导数证明不等式即可.
（1）由题设，则，且，，
所以曲线在处的切线方程为，即；
（2）由题设，即且，
令且，则，
令，则，故在上单调递增，
所以，
当，时，，则在上单调递增，，符合；
当，时，，时，
所以，使，即在上，在上单调递减，从而，不符合；
综上，；
（3）由，则，，且，
所以，故，
要证，需证，即，
需证，令，即，即证，
最终只需证明，令且，则，
所以在上单调递增，所以，即，
所以得证.打篮球
性别
男
女
爱好
40
20
不爱好
10
30
1
2
3
0.2
0.5
日期（天）
1
2
3
4
5
用户（人）
13
22
45
55
68
模型①的残差值
模型②的残差值
打篮球
性别
男
女
爱好
40
20
不爱好
10
30
1
2
3
0.2
0.5
日期（天）
1
2
3
4
5
用户（人）
13
22
45
55
68
模型①的残差值
模型②的残差值
0
1
2