2025-2026学年福建省厦门市实验中学高二（下）期中数学试卷

这是一份2025-2026学年福建省厦门市实验中学高二（下）期中数学试卷，共6页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知等比数列{an}的公比q=2，a4=8，则首项a1=（ ）
A. -2B. -1C. 1D. 2
2.已知函数f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程为3x-y-2=0，则f（1）+f′（1）=（ ）
A. 8B. 3C. 4D. -4
3.已知随机变量X～N（2，σ2），且P（X≤4）=0.64，则P（0≤X≤2）=（ ）
A. 0.14B. 0.22C. 0.28D. 0.36
4.某中学准备在校园科技节展示5款不同的AI学习软件，分别是：豆包、讯飞星火、文心一言、元宝、即梦.在展台中要求豆包和即梦两块展板相邻，且文心一言与讯飞星火两块展板不相邻，则有（ ）种不同的放置方式.
A. 12B. 24C. 36D. 48
5.已知随机变量X的分布列为
若，则D（X）的值为（ ）
A. 2B. C. D.
6.已知函数在区间[1，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围是（ ）
A. a＜2B. a＞2C. a≤2D. a≥2
7.双曲线C：的左右焦点分别为F1，F2，以F1F2为直径的圆与双曲线C的左支交于点M（M在第二象限），O为坐标原点，且∠MOF2被直线平分，则双曲线C的离心率为（ ）
A. 2B. C. 4D. 5
8.已知函数f（x）=ex+m-lnx+m,m∈R，若f（x）≥0恒成立，则m的取值范围为（ ）
A. （-1，+∞）B. [-1，+∞）C. （-∞，-1]D. （-∞，-1）
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.某人工智能公司从某年起连续7年的利润情况如下表所示：
根据表中的数据得到y关于x的经验回归方程，则（ ）
A. y与x之间的相关系数r＞0
B. 经验回归方程斜率的意义是x每增加一个单位，平均增加0.5个单位
C. 第8年的利润一定为6.3亿元
D. 第6年利润的残差为0.1亿元
10.对于随机事件A，B，若，，，则（ ）
A. B. C. D.
11.某人在n次射击中，击中目标的次数为X，X～B（n,p），其中n∈N*，0＜p＜1，击中偶数次为事件A，则下列说法正确的是（ ）
A. 当时，D（X）取得最大值
B. 若n=3，，则的取值范围是
C. 若n=20，p=0.8，当P（X=k）取最大值时，则k=16
D. 当时，P（A）随着n的增大而减小
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在的展开式中，x2的系数为 .
13.如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=AA1=2，，，则直线BD1与直线AC所成角的余弦值为 .
14.有n个编号分别为1，2，…，n的盒子，第1个盒子中有2个红球1个白球，其余盒子中均为1个红球1个白球，现从第1个盒子中任取一球放入第2个盒子，再从第2个盒子中任取一球放入第3个盒子，以此类推，则从第2个盒子中取到白球的概率是 ，从第n个盒子中取到白球的概率是 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a2=3，S10=65；数列{bn}的前n项和Tn=2bn-2.
（1）求数列{an}与{bn}的通项公式；
（2）若cn=anbn，求数列{cn}的前n项和Gn.
16.(本小题15分)
如图，在四棱锥S-ABCD中，SD⊥AD，SD⊥CD，AD⊥CD，CD∥AB，E为SA的中点，DA=DC=DS=AB.
（1）求证：DE⊥平面SAB；
（2）求平面SAD与平面BDE的夹角的余弦值.
17.(本小题15分)
在平面直角坐标系xOy中，椭圆E的两个焦点分别是F1（-1，0），F2（1，0），并且经过点.
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）过F2的直线l与椭圆相交于A，B两点，求△AOB面积的最大值.
18.(本小题17分)
“英才计划”最早开始于2013年，由中国科协、教育部共同组织实施，到2023年已经培养了6000多名具有创新潜质的优秀中学生.为选拔培养对象，某高校在暑假期间从中学挑选优秀学生参加数学和物理学科夏令营活动.
（1）若参加数学学科夏令营的7名中学生中恰有3人来自A中学，从这7名中学生中选取3名，求选取的中学生中来自A中学的人数X的分布列和数学期望；
（2）在夏令营活动中，物理学科举行了一次学科知识竞答活动，规则如下：两人一组，每一轮竞答中，每人分别答两题，若小组答对题数不小于3，则取得本轮胜利.已知甲、乙两位同学组成一组，甲、乙答对每道题的概率分别为p1，p2.假设甲、乙两人每次答题相互独立，且互不影响.
（i）求甲、乙两位同学所在组每轮答题中取胜的概率P；
（ii）当时，求P的最大值.
19.(本小题17分)
已知函数.
（1）求f（x）在（0，+∞）上的极值；
（2）若x3f（x）＞asinx在（0，π）上恒成立，求实数a的取值范围；
（3）若存在实数m使得函数g（x）=f（x）-m在（0，+∞）上有两个不同的零点x1，x2，证明：x1+x2＞4.
1.【答案】C
2.【答案】C
3.【答案】A
4.【答案】B
5.【答案】D
6.【答案】C
7.【答案】B
8.【答案】B
9.【答案】AB
10.【答案】BCD
11.【答案】ACD
12.【答案】1
13.【答案】
14.【答案】

15.【答案】解：（1）∵等差数列{an}的前n项和为Sn，a2=3，S10=65，
∴，解得，
∴an=2+（n-1）×1=n+1．
∵Tn=2bn-2，∴Tn-1=2bn-1-2，n≥2，
两式相减得bn=2bn-1，
又b1=2b1-2，∴b1=2，
∴{bn}是以2为首项，公比为2的等比数列，
∴；
（2）由（1）知．
∴①，
∴②，
①-②得
=，
∴．
16.【答案】证明：因为SD⊥CD，AD⊥CD，SD∩AD=D，SD，AD⊂平面SAD，
可得CD⊥平面SAD，由DE⊂平面SAD，
所以CD⊥DE，且CD∥AB，所以AB⊥DE，
又因为SD=AD，E为SA的中点，则DE⊥SA，
且SA∩AB=A，SA，AB⊂平面SAB，
所以DE⊥平面SAB
17.【答案】（1） （2）
18.【答案】，k=0，1，2，3；E（X）=；
（i）++；
（ii）．
19.【答案】极小值为，无极大值 （-∞，1] 证明：当x∈（0，+∞）时，g（x）=0即，
不妨设x2＞x1，由（1）可知0＜x1＜2＜x2，
要证明x1+x2＞4，即证x2＞4-x1，
因为4-x1=2+2-x1＞2，且f（x）在（2，+∞）上单调递增，所以只需要证f（x2）＞f（4-x1），
又因为f（x2）=f（x1），
所以只需要证f（x1）＞f（4-x1），即证，
即证，
两边同时除以e4，得，
化简为，
因为0＜x1＜2，所以只需证，
即证，
令φ（x）=ex-2（4-x）-x（0＜x＜2），
则φ′（x）=（3-x）ex-2-1，
令t（x）=（3-x）ex-2-1（0＜x＜2），
则t′（x）=（2-x）ex-2＞0在（0，2）上恒成立，
所以t（x）在（0，2）上单调递增，t（x）＜t（2）=0，
即φ′（x）＜0在（0，2）上恒成立，
所以φ（x）在（0，2）上单调递减，
所以φ（x）＞φ（2）=0．
故，即f（x1）＞f（4-x1），
所以x1+x2＞4 X
0
1
m
P
n
第x年
1
2
3
4
5
6
7
利润y/亿元
2.9
3.3
3.6
4.4
4.8
5.2
5.9