2025--2026学年福建厦泉五校高一下册期中联考数学试题 [含答案]

这是一份2025--2026学年福建厦泉五校高一下册期中联考数学试题 [含答案]，共25页。试卷主要包含了单选题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题:本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 的虚部为（ ）
A. B. 0C. 1D. 6
2. 中，角所对的边分别为，若，则（ ）
A. B. C. D. 或
3. 如图，四边形的斜二测画法的直观图为等腰梯形，已知，，则下列说法正确的是（ ）
A.
B.
C. 四边形的面积为
D. 四边形的周长为
4. 如图，D是的边AC的中点，点E在BD上，且，则（ ）

A. B.
C. D.
5. 已知向量，，则向量在向量方向上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
6. 已知直三棱柱
A. B. C. D.
7. 如图，已知正六边形的边长为2，对称中心为，以为圆心作半径为1的圆，点为圆上任意一点，则的取值范围为（ ）

A. B. C. D.
8. 我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创造了一幅“勾股圆方图”，后人称其为“赵爽弦图”，类比赵爽弦图，用3个全等的小三角形拼成了如图所示的等边，若，则AC＝（ ）
A. 8B. 7C. 6D. 5
二．多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知都是复数，下列选项中正确的是（ ）
A. 若，则或B. 若，则
C. 若，则是实数D. 若，则
10. 的内角：所对边分别为，下列说法中正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则是等腰三角形
C. 若，则是锐角三角形
D. 若，则是等腰直角三角形
11. 下列说法正确的是（ ）
A. 已知向量，，且，则
B. 向量，，则“的夹角为锐角”是“”的充要条件
C. 若，、分别表示、的面积，则
D. 在中，向量与满足，且，则为等边三角形
第II卷（非选择题92分）
三. 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知向量的夹角为，，，则________．
13. 在一个底面圆直径和高都是2的圆柱内挖去一个圆锥，圆锥的底面与圆柱的上底面重合，圆锥的顶点是圆柱的下底面中心，这个几何体的表面积为____________.
14. 已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，点O为其外接圆的圆心，已知，则当角C取到最大值时△ABC的面积为___________.
四. 解答题：本题共6小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 知复数，复数在复平面内对应的点为
（1）若复数是关于的方程的一个根，，求的值：
（2）若复数满足，求复数的共轭复数.
16. 已知，，是同一平面内的三个不同向量，其中.
（1）若，且，求；
（2）若，且，求的最小值，并求出此时与夹角的余弦值.
17. 在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答.
问题：的内角，，的对边分别为，，.已知______.
（1）求；
（2）若为的中点，，，求的面积.
18. 如图是在沿海海面上相距海里的两个哨所，位于的正南方向.哨所在凌晨1点发现其南偏东方向处有一艘走私船，同时，哨所也发现走私船在其东北方向上.两哨所立即联系缉私艇前往拦截，缉私艇位于点南偏西的点，且与相距海里，试求：

（1）刚发现走私船时，走私船与哨所的距离；
（2）刚发现走私船时，走私船距离缉私艇多少海里？在缉私艇的北偏东多少度？
（3）若缉私艇得知走私船以海里/时的速度从向北偏东方向逃窜，立即以30海里/时的速度进行追截，缉私艇至少需要多长时间才能追上走私船？
19. 现有一几何体由上，下两部分组成，上部是正四棱锥，下部是正四棱柱（如图所示），且正四棱柱的高是正四棱锥的高的4倍.
（1）若，，求该几何体的体积.
（2）若正四棱锥的侧棱长为，，
（i）求正四棱锥的侧面积.
（ii）若，分别是线段，上的动点，求的最小值.
数学
第Ⅰ卷（选择题 共58分）
一、单选题:本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 的虚部为（ ）
A. B. 0C. 1D. 6
答案：C
解析：
思路：根据复数代数形式的运算法则以及虚部的定义即可求出.
解答过程：因为，所以其虚部为1，
故选：C.
2. 中，角所对的边分别为，若，则（ ）
A. B. C. D. 或
答案：A
解析：
思路：由正弦定理可得，再由边角关系确定角的大小即可.
解答过程：由题意，在中，则，所以，
因为，所以或，又，所以．
故选：A
3. 如图，四边形的斜二测画法的直观图为等腰梯形，已知，，则下列说法正确的是（ ）
A.
B.
C. 四边形的面积为
D. 四边形的周长为
答案：D
解析：
思路：根据斜二测画法，画出原图，结合长度、面积、周长等知识进行分析，从而确定正确答案.
解答过程：对于A、B，由题设易得，原平面图如下，，
，故A、B错误；
对于C，四边形的面积为：，即C错误．
对于D，在原图形中，过作交于点，则，
由勾股定理得，
故四边形的周长为：，即D正确；
4. 如图，D是的边AC的中点，点E在BD上，且，则（ ）

A. B.
C. D.
答案：D
解析：
思路：根据平面向量的线性运算求解即可.
解答过程：由题意，
.
故选：D
5. 已知向量，，则向量在向量方向上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：
思路：根据题意求得，根据向量的坐标运算结合投影向量的定义分析求解.
解答过程：由题意可得：，则，
所以向量在向量方向上的投影向量为.
故选：D.
6. 已知直三棱柱
A. B. C. D.
答案：C
解析：
解答过程：因为直三棱柱中，AB＝3，AC＝4，AA1＝12，AB⊥AC，所以BC＝5，且BC为过底面ABC的截面圆的直径．取BC中点D，则OD⊥底面ABC，则O在侧面BCC1B1内，矩形BCC1B1的对角线长即为球直径，所以2R＝＝13，即R＝
7. 如图，已知正六边形的边长为2，对称中心为，以为圆心作半径为1的圆，点为圆上任意一点，则的取值范围为（ ）

A. B. C. D.
答案：C
解析：
思路：解法一 连接，，设，根据向量的线性运算用，表示出，然后结合三角函数的性质即可求得结果．
解法二 以为坐标原点建立平面直角坐标系，设，根据数量积的坐标表示得到，再结合三角函数的性质即可求得结果．
解法三 借助向量投影的知识将转化，找到取得最值时点的位置，即可求得结果．
解答过程：解法一 ：如图所示：

连接，设，连接，依题意得，，，，
则，
．
因为，所以，（三角函数的有界性）
所以．
故选：C．
解法二 如图，

以为坐标原点，以直线为轴，过且和垂直的直线为轴建立平面直角坐标系，
则依题意可得，，，
因为圆的半径为1，所以可设，
所以，，所以，
又，（三角函数的有界性）
所以．
故选：C．
解法三 如图所示：

设，则．
可看成是在上的投影，
当点与重合时最小，最小值为，
当点与重合时最大，最大值为0，
故．
故选：C．
8. 我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创造了一幅“勾股圆方图”，后人称其为“赵爽弦图”，类比赵爽弦图，用3个全等的小三角形拼成了如图所示的等边，若，则AC＝（ ）
A. 8B. 7C. 6D. 5
答案：B
解析：
思路：在中，设，根据题意利用正弦定理可得，然后利用余弦定理即可求解.
解答过程：在中，，设，则，
由正弦定理可知，，即，则，
在中，，
，又，则，故，
故选：B.
二．多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知都是复数，下列选项中正确的是（ ）
A. 若，则或B. 若，则
C. 若，则是实数D. 若，则
答案：ACD
解析：
思路：根据复数的相关定义，以及复数的运算公式，即可求解.
解答过程：若，则或，故A正确；
若， ，满足，但，故B错误；
若，则是实数，故C正确；
若，则，得或，所以，故D正确.
故选：ACD.
10. 的内角：所对边分别为，下列说法中正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则是等腰三角形
C. 若，则是锐角三角形
D. 若，则是等腰直角三角形
答案：AD
解析：
解答过程：对于A，因为在中，由正弦定理可得等价于，又因三角形中大边对大角，故等价于，选项A正确；
对于B，因为，所以或，即或，是等腰三角形或直角三角形，选项B错误；
对于C，由可以确定是锐角，但不能确定和的大小，所以不能判断是锐角三角形，选项C错误；
对于D，由正弦定理，结合条件，
得，，
，，，，又，，
所以，，所以是等腰直角三角形，选项D正确.
11. 下列说法正确的是（ ）
A. 已知向量，，且，则
B. 向量，，则“的夹角为锐角”是“”的充要条件
C. 若，、分别表示、的面积，则
D. 在中，向量与满足，且，则为等边三角形
答案：ACD
解析：
思路：由平面向量垂直的坐标表示，即可判断A，由向量的坐标运算即可判断B，由向量的线性运算结合三角形重心的性质即可判断CD.
解答过程：对于A，由，故，故，故A正确；
对于B，由的夹角为锐角，得，且不共线，则，
解得且，所以“，的夹角为锐角”是“”的充分不必要条件，
故B错误；
对于C，如图
设，，由
得，
取的中点，连接，则有，所以，即，则点为的重心，
设，，的面积分别为，则，，的面积分别为，由重心的性质可知，
所以，则，故C正确；
对于D，如图，作的内角平分线与相交于点，
因为为的单位方向向量，为的单位方向向量，所以，
所以，
所以.即，所以为等腰三角形，又因为，且，所以，
即为等边三角形，故D正确.
故选：ACD.
第II卷（非选择题92分）
三. 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知向量的夹角为，，，则________．
答案：
解析：
思路：根据题意可得，根据模长的平方关系结合数量积运算律求解即可.
解答过程：因为向量的夹角为，，，
则，
可得，
所以.
故答案为.
13. 在一个底面圆直径和高都是2的圆柱内挖去一个圆锥，圆锥的底面与圆柱的上底面重合，圆锥的顶点是圆柱的下底面中心，这个几何体的表面积为____________.
答案：
解析：
思路：先求得挖去的圆锥的母线长，从而得到圆锥的侧面积，再求圆柱的侧面积和一个底面积，即可求解几何体的表面积.
解答过程：解：挖去圆锥的母线长为，则圆锥的侧面积为，
圆柱的侧面积为，圆柱的一个底面积为，
故几何体的表面积为.
故答案为.
14. 已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，点O为其外接圆的圆心，已知，则当角C取到最大值时△ABC的面积为___________.
答案：
解析：
思路：取AC的中点D，得到OD⊥AC，利用向量的数量积求解得到，用余弦定理和基本不等式得到的最小值，从而得到角C取到最大值时，再使用三角形面积公式进行求解出结果.
解答过程：设AC的中点为D，因为点O为其外接圆的圆心，所以OA=OB=OC，连接OD，由三线合一得：OD⊥AC，则即，所以，由知，角C为锐角，故，因为，所以由基本不等式得：，当且仅当，即时等号成立，此时角C取到最大值，，，△ABC的面积为.
故
四. 解答题：本题共6小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 知复数，复数在复平面内对应的点为
（1）若复数是关于的方程的一个根，，求的值：
（2）若复数满足，求复数的共轭复数.
答案：（1）20 （2）
解析：
思路：（1）将代入一元二次方程即可得到方程组，解出即可；
（2）根据复数的除法和共轭复数的概念即可得到答案.
（1）由题意得，
因为复数是关于的方程的一个根，
所以，
，
，
解得，所以.
（2），
.
16. 已知，，是同一平面内的三个不同向量，其中.
（1）若，且，求；
（2）若，且，求的最小值，并求出此时与夹角的余弦值.
答案：（1）或
（2），此时
解析：
思路：（1）先设,根据坐标求模公式，即可求解.
(2) 根据题意，条件可化简为，再根据基本不等式，即可求解.
（1）因为，且，所以设，
所以，
解得，
所以或.
（2）由，得，
所以，
因为，，可得，
因为，所以，
当且仅当，时取等号.
所以.
设与夹角为，则此时.
17. 在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答.
问题：的内角，，的对边分别为，，.已知______.
（1）求；
（2）若为的中点，，，求的面积.
答案：（1）
（2）解析：
思路：（1）根据所选条件，利用正弦定理将边化角，再利用和（差）角公式及同角三角函数的基本关系计算可得；
（2）依题意可得，将两边平方根据数量积的运算律求出，再利用面积公式计算可得；
（1）解：若选①，
由正弦定理可得，因为，
所以，即，
因为，所以，所以，则.
若选②，则，
由正弦定理可得，又，
所以，即，因为，所以.
若选③，则，
由正弦定理可得，
即，
所以，
所以，又，
所以，因为，所以.
（2）解：因为为的中点，所以，因为，
所以，
即，解得或（舍去），
所以.
18. 如图是在沿海海面上相距海里的两个哨所，位于的正南方向.哨所在凌晨1点发现其南偏东方向处有一艘走私船，同时，哨所也发现走私船在其东北方向上.两哨所立即联系缉私艇前往拦截，缉私艇位于点南偏西的点，且与相距海里，试求：

（1）刚发现走私船时，走私船与哨所的距离；
（2）刚发现走私船时，走私船距离缉私艇多少海里？在缉私艇的北偏东多少度？
（3）若缉私艇得知走私船以海里/时的速度从向北偏东方向逃窜，立即以30海里/时的速度进行追截，缉私艇至少需要多长时间才能追上走私船？
答案：（1）
（2）走私船距缉私艇30海里，在缉私艇的北偏东方向上
（3）小时
解析：
思路：（1）在中根据正弦定理可得结果；
（2）在中根据余弦定理可得结果；
（3）在中由余弦定理可得结果.
（1）由在的南偏东，在的东北偏方向，在中，
，由正弦定理得，
，
代入上式得：海里．
答：走私船与观测点的距离为海里；
（2）在中，海里，海里，，
．
，
，解得海里，
又，
且，所以，
故刚发现走私船时，走私船距缉私艇30海里，在缉私艇的北偏东方向上．
（3）设小时后缉私艇在处追上走私船，则，
又，，
在中，由余弦定理得，
，化简得
解得．故缉私艇至少需要小时追上走私船．

19. 现有一几何体由上，下两部分组成，上部是正四棱锥，下部是正四棱柱（如图所示），且正四棱柱的高是正四棱锥的高的4倍.
（1）若，，求该几何体的体积.
（2）若正四棱锥的侧棱长为，，
（i）求正四棱锥的侧面积.
（ii）若，分别是线段，上的动点，求的最小值.
答案：（1）
（2）（ⅰ）（ⅱ）
解析：
思路：（1）代入四棱锥和四棱柱的体积公式，即可求解；
（2）（ⅰ）根据条件求四棱锥的底边长以及斜高，即可求解；（ⅱ）利用展开图，即可两点间距离，即可求解.
（1）由条件可知，正四棱柱的高，
所以正四棱柱的体积为，
三棱锥的体积为，
所以该几何体的体积为；
（2）（ⅰ），所以，
正四棱锥侧面的高为，
所以正四棱锥的侧面积为；
（ⅱ）如图，将长方形，和展开在一个平面，
，，设
，，
，所以，
所以，
，
当四点共线时，最短，
所以
所以的最小值为.