2025--2026学年福建省厦门市翔安第一中学高一下册期中考试数学试题 [含答案]

这是一份2025--2026学年福建省厦门市翔安第一中学高一下册期中考试数学试题 [含答案]，共27页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 复数在复平面内对应的点所在的象限为（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
2. 某圆锥的底面半径是2，母线长为4，则圆锥的侧面积为（ ）
A. B. C. D.
3. 已知两个非零向量，满足，则（ ）
A. B. C. D.
4. 已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题中为真命题的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
5. 如图，在正方体中，E是棱的中点，则异面直线DE和所成角的余弦值是（ ）
A. B. C. D.
6. 在边长为2 的等边三角形中，点为 上靠近点的三等分点，则 （ ）
A. B. 2C. D.
7. 猫儿山位于广西桂林，是南岭山脉越城岭主峰、广西第一高峰，因峰顶巨石形似卧猫得名，它是漓江发源地，也是国家级自然保护区，生物多样性丰富，有“华南之巅”的美誉．如图，计划在猫儿山的两个山顶间架设一条索道．为测量间的距离，工作人员在同一水平面选取三个观测点，在处测得山顶的仰角分别为和，测得两个山顶的高分别为，且测得，则间的距离为（ ）
A. B. C. D.
8. 如图，透明塑料制成的长方体容器内灌进一些水，固定容器底面一边于地面上，再将容器绕边倾斜.随着倾斜度的不同，在下面四个命题中错误的是（ ）

A. 没有水的部分始终呈棱柱形
B. 棱始终与水面所在平面平行
C. 水面所在四边形的面积为定值
D. 当容器倾斜如图所示时，是定值
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分.有选错的得0分.
9. 已知复数（i为虚数单位），则下列说法正确的是（ ）
A. 复数z的虚部为4B.
C. 复数z的共轭复数D.
10. 的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则是钝角三角形
C. 若，则为等腰三角形D. 若，则有两解
11. 如图，正方体的棱长为2，E，F分别是，的中点，点P是底面内一动点，则下列结论正确的为（ ）
A. 过B，E，F三点的平面截正方体所得截面图形是梯形
B. 三棱锥的体积为4
C. 若P在线段上，则跟面所成角的正弦值最大为
D. 一质点从A点出发沿正方体表面绕行到的中点的最短距离为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 如图，的斜二测画法的直观图是，其中，那么的面积为____．
13. 若复数是纯虚数，则的值为__________.
14. 如图，在中，，，与相交于点，若（），则__________．

四、解答题：本题有5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知向量，，．
（1）若，求的值；
（2）若，求．
16. 如图，在正四棱柱中，，，是的中点．
（1）求证：平面；
（2）证明：平面．
17. 某无人机测绘队对一块不规则平地进行测量，规划修建步道．
测量数据如下：
1．测量得区域面积为，内角；
2．测得线段，且另一侧；
3．经地形分析，是的角平分线，即．
（1）计算必经步道的长度；
（2）计算区域内的正弦值．
18. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，．
（1）求A．
（2）已知AD平分且交BC于点D，．
（ⅰ）若，求a；
（ⅱ）求周长的最小值．
19. 如图，在四棱锥中，平面，底面为矩形，，；点E在线段上，且．
（1）设平面平面，证明：；
（2）证明：；
（3）线段上是否存在点M，使得平面?若存在，请证明，并求出的长；若不存在，请说明理由．
数学
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1. 复数在复平面内对应的点所在的象限为（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
答案：A
解析：
思路：对化简即可.
解答过程：，复平面内对应的点坐标为，因此位于第一象限.
2. 某圆锥的底面半径是2，母线长为4，则圆锥的侧面积为（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
解答过程：由题意得，圆锥的侧面积为
3. 已知两个非零向量，满足，则（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
思路：根据向量模长计算式，将等式两边平方化简即可
解答过程：由题，即
4. 已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题中为真命题的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
答案：C
解析：
解答过程：对于A，由，可得可能平行，相交或异面，故A错误；
对于B，由可得或，故B错误；
对于C，由，可得，又，则有，故C正确；
对于D，当是平面内两条互相垂直的直线，且时，满足，，但，故D错误.
5. 如图，在正方体中，E是棱的中点，则异面直线DE和所成角的余弦值是（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
思路：设为的中点，连接，可证或其补角即为异面直线DE和所成的角，故可求它的余弦值.
解答过程：
设为的中点，连接，
由正方体的性质可得则四边形为平行四边形，
故，而为所在棱的中点，故，
故，故或其补角即为异面直线DE和所成的角，
设正方体的棱长为2，则，
故，故异面直线DE和所成的角的余弦值为，
故选：C.
6. 在边长为2 的等边三角形中，点为 上靠近点的三等分点，则 （ ）
A. B. 2C. D.
答案：A
解析：
思路：将表示为，利用向量的数量积求解.
解答过程：由已知条件可得，，
则.
7. 猫儿山位于广西桂林，是南岭山脉越城岭主峰、广西第一高峰，因峰顶巨石形似卧猫得名，它是漓江发源地，也是国家级自然保护区，生物多样性丰富，有“华南之巅”的美誉．如图，计划在猫儿山的两个山顶间架设一条索道．为测量间的距离，工作人员在同一水平面选取三个观测点，在处测得山顶的仰角分别为和，测得两个山顶的高分别为，且测得，则间的距离为（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：
思路：根据已知条件先求出中的两边，再利用余弦定理求即可.
解答过程：由题意，可得，
且，在中，可得，
在中，可得，
在中，由余弦定理得：
所以．
故选：D．
8. 如图，透明塑料制成的长方体容器内灌进一些水，固定容器底面一边于地面上，再将容器绕边倾斜.随着倾斜度的不同，在下面四个命题中错误的是（ ）

A. 没有水的部分始终呈棱柱形
B. 棱始终与水面所在平面平行
C. 水面所在四边形的面积为定值
D. 当容器倾斜如图所示时，是定值
答案：C
解析：
思路：对于A：根据棱柱的特点进行判断；对于B：根据线面平行的判定定理来判断；对于C：观察不同倾斜度下的面积变化来判断；对于D：根据水的体积和高均不变来判断.
解答过程：对于A：将容器绕边倾斜，随着倾斜度的不同，平面平面，
平面，平面，平面，平面都是平行四边形，
所以没有水的部分始终呈棱柱形，故A正确；
对于B：面，面，
所以面，即棱始终与水面所在平面平行，故B正确；
对于C：如下图：
水面所在四边形的面积等于长方形的面积，
如下图：
水面所在四边形的面积大于长方形的面积，故C错误；
对于D：当容器倾斜如图所示时，有水的部分形成一个直三棱柱，
三棱柱的底面为三角形，高为，根据水的体积为定值，
可得底面三角形的面积为定值，故是定值，故D正确.
故选：C.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分.有选错的得0分.
9. 已知复数（i为虚数单位），则下列说法正确的是（ ）
A. 复数z的虚部为4B.
C. 复数z的共轭复数D.
答案：BCD
解析：
思路：根据复数的基本概念（虚部、模、共轭复数）以及复数的四则运算法则，逐一判断各选项正误即可。
解答过程：选项A：复数的虚部为，不是4，故A错误；
选项B：复数，所以，故B正确；
选项C：共轭复数的实部与原复数相同，虚部互为相反数，因此，故C正确；
选项D：复数，所以，故D正确。
10. 的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则是钝角三角形
C. 若，则为等腰三角形D. 若，则有两解
答案：AD
解析：
思路：利用大角对大边及正弦定理，结合余弦定理即可求解.
解答过程：对于A，，所以，由正弦定理得，故A正确；
对于B，，故边最长，角最大.
设，
则.
所以角为锐角，故是锐角三角形，故B错误；
对于C，，则或，即或，则为直角三角形或等腰三角形，故C错误；
对于D，，
根据正弦定理
，所以有两解，所以有两解，故D正确.
故选：AD.
11. 如图，正方体的棱长为2，E，F分别是，的中点，点P是底面内一动点，则下列结论正确的为（ ）
A. 过B，E，F三点的平面截正方体所得截面图形是梯形
B. 三棱锥的体积为4
C. 若P在线段上，则跟面所成角的正弦值最大为
D. 一质点从A点出发沿正方体表面绕行到的中点的最短距离为
答案：AD
解析：
解答过程：选项A，由图可知，将线条延伸即可得到梯形.
选项B，三棱锥如下图所示，，.
选项C，因为 平面，所以与面所成角的正弦值即为的正弦值.不难得出正弦值最大时点处于点的位置，.
选项D，将平面与平面沿展开得到下图，可以看到最短的距离便是两点之间的连线，.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 如图，的斜二测画法的直观图是，其中，那么的面积为____．
答案：
解析：
解答过程：斜二测画法中直观图坐标系的夹角为，
由题意，分析可得为等腰直角三角形，
其面积.
斜二测画法中，原图形面积是直观图面积的倍，
所以原图形的面积.
13. 若复数是纯虚数，则的值为__________.
答案：
解析：
解答过程：因为是纯虚数，所以且，解得.
14. 如图，在中，，，与相交于点，若（），则__________．

答案：
解析：
思路：设，，用分别表示，即可得到关于的方程组，进而根据与的关系，即可求得结果．
解答过程：设，，
则，
设，，
则，
又不共线，故，解得，则．
四、解答题：本题有5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知向量，，．
（1）若，求的值；
（2）若，求．
答案：（1）9 （2）
解析：
思路：（1）计算出，根据向量平行得到方程，求出答案；
（2）计算出，根据向量模长得到方程，求出，由向量夹角余弦公式进行求解.
（1），
，故，解得；
（2），
，故，解得，
所以，
.
16. 如图，在正四棱柱中，，，是的中点．
（1）求证：平面；
（2）证明：平面．
答案：（1）证明见详解
（2）证明见详解
解析：
思路：（1）设，连接，利用中点关系，得到，满足线面平行判定定理的条件，从而得出证明；
（2）由正棱柱侧棱垂直底面，进而得到，又正方形对角线互相垂直，从而得到满足线面垂直判定定理的条件，得出证明.
（1）证明：设，连接，
在正四棱柱中，四边形为正方形，
，又是的中点，，
，又平面，平面，
平面.
（2）在正四棱柱中，平面，
又平面，，
在正方形中，，
又，平面，平面，
平面.
17. 某无人机测绘队对一块不规则平地进行测量，规划修建步道．
测量数据如下：
1．测量得区域面积为，内角；
2．测得线段，且另一侧；
3．经地形分析，是的角平分线，即．
（1）计算必经步道的长度；
（2）计算区域内的正弦值．
答案：（1）
（2）解析：
思路：（1）利用三角形面积公式求出边长，再结合余弦定理计算的长度；
（2）在中利用正弦定理求出，根据角平分线性质得到，最后在中利用正弦定理求解.
（1）因为，、、，
所以，解得.
又因为，代入、、，
所以，
因此.
（2）在中， ，代入、、，
所以，解得.
因为平分，所以，故，
在中，已知，由正弦定理：，
代入、、，
所以，解得.
18. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，．
（1）求A．
（2）已知AD平分且交BC于点D，．
（ⅰ）若，求a；
（ⅱ）求周长的最小值．
答案：（1）
（2）（ⅰ）；（ⅱ）
解析：
思路：（1）由，利用正弦定理得到，再利用余弦定理求解；
（2）（ⅰ）由，利用正弦定理得到，再根据AD平分，由求得b，c，再利用余弦定理求解；
（ⅱ）由和得到，利用“1”的代换，得到的最小值，再由余弦定理，得到的最小值.
（1）因为，所以，即，
所以，因为，所以；
（2）（ⅰ）因为，由正弦定理得：，
因为AD平分，
所以，
因为，
所以，
将代入上式得，解得，，
由余弦定理得，解得.
（ⅱ）由，
得，
将代入上式得，即，即，
则，
当且仅当时，等号成立，则的最小值为8；
由余弦定理得，
，
令，则，
因为 ，当时，的最小值为，
则的最小值为，
所以周长的最小值为.
19. 如图，在四棱锥中，平面，底面为矩形，，；点E在线段上，且．
（1）设平面平面，证明：；
（2）证明：；
（3）线段上是否存在点M，使得平面?若存在，请证明，并求出的长；若不存在，请说明理由．
答案：（1）证明见解析
（2）证明见解析 （3）点M为线段上靠近C的四等分点，
解析：
思路：（1）根据线面平行的性质定理证明线线平行.
（2）通过证明线面垂直得平面，进而利用线面垂直的性质定理可证线线垂直.
（3）根据面面平行的判定定理作出平面平面.，再结合平行线分线段成比例定理求的长.
（1）因为四边形为矩形，所以，
因为平面，平面，所以平面.
又平面，平面平面，所以.
（2）因为平面，又平面，所以.
又底面为矩形，所以.
平面，，所以平面.
平面，所以.
在中，，，，
所以，所以.
平面，，所以平面.
又平面，所以.
（3）如图：
过作，交于点，过作交于点.
因为，平面，平面，所以平面.
同理平面.
又平面，，所以平面平面.
由（1）知，，又，则，
则，
因为，.
所以，
所以点M为线段上靠近C的四等分点，.